精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2025届初三年上学期第二次质量监测数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r, ∵d=OA=3, ∴d<r， ∴点A在圆内， 故选：B． 2. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可． 【详解】解：A、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意； B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意； C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意； D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 4. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故选：B． 5. 如图，点A、B、C在上，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可得，掌握圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 7. 如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 8. 如图，的中线与交于点G，连接，下列结论不正确的是（ ） A. 点G叫做的重心 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的重心的定义和性质对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，需要用到三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍． 【详解】解：的中线与交于点， 是的重心，故A选项结论是正确； 的中线与交于点， ，， ，故B选项结论是正确； 的中线与交于点， 是的中位线， ，， ， ，故C选项结论是正确； ， ， ， ，故D选项结论错误； 故选：D． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 10. 若二次函数的解析式为．若函数过点和点，则q的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式为，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于m的二次函数，再根据m的取值范围，即可得到q的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵函数过点和点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，q随m的增大而减小， ∵， ∴当时，q取得最大值；当时，q取得最小值， ∴q的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到q和m的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点， ∴，解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 13. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相切 【解析】 【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切． 【详解】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图， ∵O是等腰△ABC的底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OE=OF， ∵腰AB与⊙O相切， ∴OE为⊙O的半径， ∴OF为⊙O的半径， 而OF⊥AC， ∴AC与⊙O相切． 故答案为：相切． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径，过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质． 14. 如图，四点都在上，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，利用圆的内接四边形对角互补计算即可，熟练掌握内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、、、四点都在上，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点为的边上一点，，．若，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：， ， 即， 或（不合题意，舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键． 16. 如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为_____． 【答案】4． 【解析】 【详解】解：如图，连接OP，OC，PC，则有OP≥OC－PC． 当O、P、C三点共线时，OP=OC－PC． ∵∠APB=90°，OA=OB， ∴点P在以AB为直径的圆上， ∴⊙O与⊙C相切时，OP取到最小值． 设⊙O与⊙C的切点为P′，则OP′=OC－CP′=2， ∴此时AB=2OP′=4． 故答案为4． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，算术平方根，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，算术平方根，以及求出，再运算加减，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， 则， ∴或， 解得． 18. 如图，在和中，，平分． （1）证明：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 19. 如图，直线y1＝﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2＝a（x﹣h）2的顶点为A，且经过点B． （1）点A的坐标 ，点B的坐标 ； （2）求该抛物线对应的函数解析式； （3）根据图像直接写出时，自变量x取值范围是 ． 【答案】（1）(-2，0)，(0，-2) ；（2）y2＝（x+2）2；（3）-2<x<0 【解析】 【分析】（1）在y1＝﹣x﹣2中，令y=0则可求得点A的坐标，令x=0则可求得点B的坐标； （2）由题意可得y2＝a（x+2）2，再由抛物线过点B，把点B的坐标代入即可求得a，进而求得抛物线对应的函数解析式； （3）观察图象即可求得结果． 【详解】（1）在y1＝﹣x﹣2中，令y=0，则x=-2，所以点A的坐标为(-2，0)；令x=0，则y=-2，所以点B的坐标为(0，-2)； 故答案为：A(-2，0)，B(0，-2) （2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点为A ∴y2＝a（x+2）2 ∵抛物线经过点B ∴a（0+2）2=−2 ∴ 即所求函数解析式为：y2＝（x+2）2 （3）当时，观察图象知：−2<x<0 故答案为：−2<x<0 【点睛】本题考查了直线与两坐标轴的交点、求二次函数解析式、根据图象确定不等式的解集，涉及到数形结合的思想． 20. 列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 【答案】原正方形铁皮的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．然后根据题意列出方程，再解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 【答案】（1）有两个实数根，见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式即可判断； （2）利用公式法求得（或表示）两根，再根据根的情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得： ， ∴方程有两个实数根． （2）依题意得： ∴，即，． ∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根的判别式和利用公式法求一元二次方程．掌握公式法和根的判别式是解题关键． 22. 如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． （1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径． 【答案】（1）如图所示，点O即为所求 ； （2）如图所示，补全图形如下： ，的半径为 【解析】 【分析】（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心； （2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线， ∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， ∵AC=4， ∴PC==5，BC=5-3=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， ∴， 解得x=， 故圆的半径为． 23. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【答案】（1）；喷出水的最大射程为 （2） （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据图形及题意将数据转化成函数图像上点的坐标，设函数解析式为，将点代入求解，再令，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）求出对称轴，根据轴对称性质求出点的对称点，结合函数的平移关系即可得到答案； （3）如图，先看上边缘抛物线，求解点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，可得．可得．求解的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，可得的最小值为2，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，时，， 由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 24. 如图，是的直径，弦于，点是上一点，交于点，延长至点，使，分别延长相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接．根据等边对等角可得：，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：，由垂直定义得：，得，所以是的切线； （2）如图2，根据平行得角相等，证明，列比例式可得结论； （3）如图3所示，连接，，由（1）知，根据，设，则，，列式先求的值，再求出圆的半径，最后根据三角函数列式可得的长． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ； 【小问3详解】 解：连接，，如图3所示， ， ， ， 设，则，， ，， ， ． 在中，根据勾股定理得， 即，解得． ，， 设半径为，在中，，， 由勾股定理得：， 即，解得， 为切线， 为直角三角形， 在中，，， ． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初三年上学期第二次质量监测数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 2. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C在上，，则（　　） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，的中线与交于点G，连接，下列结论不正确的是（ ） A. 点G叫做的重心 B. C. D. 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 10. 若二次函数的解析式为．若函数过点和点，则q的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 13. 如图，为等腰三角形，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 14. 如图，四点都在上，若，则_____________． 15. 如图，点为的边上一点，，．若，则的长为__． 16. 如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 18. 如图，在和中，，平分． （1）证明：； （2）若，，求和的长． 19. 如图，直线y1＝﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2＝a（x﹣h）2的顶点为A，且经过点B． （1）点A的坐标 ，点B的坐标 ； （2）求该抛物线对应的函数解析式； （3）根据图像直接写出时，自变量x取值范围是 ． 20. 列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 22. 如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． （1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径． 23. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 24. 如图，是的直径，弦于，点是上一点，交于点，延长至点，使，分别延长相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $