2025年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2025年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．综合与探究 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． (1)则点A，B，C的坐标分别是A（　 　，　 　），B（　 　，　 　），C（　 　，　 　）； (2)设经过A，B两点的抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2+k，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图， 抛物线与x轴交于点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E， 点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点， C是第一象限抛物线上一点， 若， 点C的横坐标是5，求证： 四边形 是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当是等腰三角形时，求点 P的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上； （3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； （3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值. 7．如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．    （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求证：是直角三角形； （3）抛物线上存在点（点不与点重合），使，求出点的坐标； （4）若直线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 8．如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． 　　　 （1）求，的值； （2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形． 9．如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标． （2）试判断△BCD的形状，并予证明． （3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A． (1)如图1，求直线的函数解析式； (2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值； (3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，抛物线的对称轴为 ；当时，抛物线的对称轴为 ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为 ． (2)求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． (3)当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为线段的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作，射线ET交线段于点F，C为y轴正半轴上一点，且，抛物线的图象经过A，C两点．    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标． 15．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为的抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为． 求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； 求证：；； 当为等腰三角形时，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)面积的最大值为； (3)存在，，，， 2．(1)2；0；8；0；0；4； (3)（5，4+）或（5，）或（5，4）． 3．(1)抛物线的解析式为 (3)点P坐标为或或或 4．(1) (3)存在， 5．（1）y＝﹣x2+2x+3；（3）直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5． 6．（1），顶点的坐标为；（2）为直角三角形，理由见解析；（3） 7．（1），；（2）是直角三角形（3）；（4）存在，或或或 8．（1）；（2）点的坐标，， 9．(1)y=﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；(2)△DCB为直角三角形；(3) 存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）． 10．(1)， (2)的最大值是，点的坐标是 (3)存在，点F的坐标为或或 11．(1)； (2)四边形的面积最大为16； (3)点的坐标为或． 12．(1) (2) (3)可以，点D坐标为或 13．(1)直线；直线；直线 (2)抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； (3)点M的坐标为． 14．(1) (3)或 15． ，D坐标为；t的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$