精品解析：山东省淄博市周村区第二中学（五四制）2024-2025学年上学欺九年级12月月考数学试题

九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y1＜y2 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 如图，已知A、B两点的坐标分别为（―2，0）,（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，―1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ) A. 4 B. C. D. 3 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 反比例函数的图象经过点和点，则的值是______． 12. 正五边形的中心角的度数是_____． 13. 如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则__________． 14. 已知实数满足，则的最小值为______． 15. 如图，点A，C均在半径为的上，点是内一点，于点．若______． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 求下列各式的值： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）所在圆的圆心M的坐标为 ； （2）求扇形MAC的面积．（结果保留π） 18. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)． （1）求b，c的值； （2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标； 19. 某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元． 销售单价x（元/千克） 10 11 销售量y（千克） 300 270 （1）求y与x的函数关系式： （2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 20. 如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B． （1）求k，m的值； （2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线PA交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标． 22. 如图1，点C是半圆上一点（不与A，B重合），O为圆心，交弧于点D，交弦于点E，连接交于点F． （1）如图1，如果，求的大小； （2）如图2，如果，求的值； （3）连接，若圆O的直径为4，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 23. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． 图1图2 （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点为二次函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）如图2，将直线向下平移，与二次函数的图象相交于M，N两点，直线相交于点，求点的横坐标（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 2. 点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义； 根据题意画出图形，结合三角函数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得，如图所示， 在中 ，， ， 设与轴正半轴的夹角为， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 3. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 4. 点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y3＜y2＜y1 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y1＜y2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可 【详解】解：∵中，k＝2＞0， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵﹣1＜0， ∴A点在第三象限， ∴y1＜0， ∵2＞1＞0， ∴B、C两点在第一象限， ∴y2＞y3＞0， ∴y1＜y3＜y2. 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移方法“左加右减，上加下减”，由此可直接排除选项． 【详解】解：由抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，图象与x轴的一个交点坐标是， ∴根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点是， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根是：，， 故选：A． 7. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 8. 如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴圆锥的底面周长为6π， ∵圆锥的高是6， ∴圆锥的母线长为 设扇形的圆心角为n∘， ∴ =6π， 解得n=120. 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°. 故选B. 点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接OE，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=10，BC=B′C=8，从而得出四边形OEB′H是矩形且OE=OD=OC=5，继而求得B′E=OH= =4，由A′E=A′B′-B′E可得答案． 【详解】解：连接OE，作OH⊥B′C于点H， 则∠OEB′=∠OHB′=90°， ∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′， ∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=10，BC=B′C=8， ∴四边形OEB′H是矩形，OE=OD=OC=5， ∴B′H=OE=5， ∴CH=B′C-B′H=3， ∴B′E=OH==4， 则A′E=A′B′-B′E=10-4=6， 故选C． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质等知识点． 10. 如图，已知A、B两点的坐标分别为（―2，0）,（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，―1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ) A. 4 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积． 【详解】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大． 连接AC， ∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC， ∴AD=AO=2， 连接CD，设EF=x， ∴DE2=EF•OE， ∵CF=1， ∴DE=， ∴△CDE∽△AOE， ∴， 即， 解得x=， S△ABE== = ． 故选B． 【点睛】本题是一个动点问题，考查切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大． 二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分） 11. 反比例函数的图象经过点和点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．把A点坐标代入解析式，即可求出k的值．再将B点坐标代入解析式解出m即可．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 【详解】把代入解析式得： ， 解得：， ∴反比例函数， 将B点坐标代入解析式得：， 解得：． 故答案为：． 12. 正五边形的中心角的度数是_____． 【答案】72°． 【解析】 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正五边形的中心角为： ． 故答案为72°． 【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义． 13. 如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解． 【详解】解：∵圆O是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵圆O是的内切圆， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键． 14. 已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，表示出关于的函数解析式是解题的关键． 由得到，即可得到，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：∵， 的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，点A，C均在半径为的上，点是内一点，于点．若______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接，先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接， 则， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， 在和中， ， ， ，即， 解得， ， ， ，， 则在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分） 16. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）1． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解； （2）据此即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）所在圆的圆心M的坐标为 ； （2）求扇形MAC的面积．（结果保留π） 【答案】（1）M（2，1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据扇形的面积公式，即可求得． 【小问1详解】 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）； 故答案为：（2，1）． 【小问2详解】 连接MA、MC，如图所示： . 由作图知，∠AMC=90°， 所以扇形PAC的面积为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键． 18. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)． （1）求b，c的值； （2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标； 【答案】（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）． 【解析】 【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可； （2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标． 【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得： ， 解得：， ∴，； （2）设直线AB的解析式为：， 将点A、点B坐标代入函数解析式可得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 由（1）得二次函数解析式为：， 对称轴为：， 直线与的交点为M， ∴当时，， ∴交点M的坐标为（2，-3）． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键． 19. 某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元． 销售单价x（元/千克） 10 11 销售量y（千克） 300 270 （1）求y与x的函数关系式： （2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 【答案】（1）y=－30x+600 （2）当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法设y=kx+b(k≠0)，代入数值组成二元一次方程组求解即可； （2）设每天获得的纯利润为W元，可列出二次函数表达式，根据二次函数的性质可得． 【小问1详解】 解：设y=kx+b(k≠0) 根据题意得： ， 解得： ∴y=－30x+600 【小问2详解】 解：设每天获得的纯利润为W元，根据题意得： W=(－30x+600)(x－6) －200 =－30x2+780x－3800 =－30(x－13)2+1270 ∵－30＜0 ∴抛物线开口向下 ∵抛物线对称轴为x=13，销售单价不得高于12元 ∴当x≤12时，W随x的增大而增大 ∴当x=12时，W有最大值， =－30× (12－13)2+1270=1240 （元） 答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元 【点睛】本题考查的是求一次函数的解析式和二次函数的应用，学会用待定系数法求解析式和求最大值是解题的关键． 20. 如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1． ∵是⊙的切线，是⊙的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质可得出，利用垂直的定义可得出，利用等腰三角形的性质可得出，利用余角的性质可得出，再利用等腰三角形的判定即可得证； （2）先利用正弦定义求出，利用勾股定理求出，在和中利用勾股定理可得出，然后代入数值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2． ∵，是的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，． 在中，． ∴，解得． 即的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B． （1）求k，m的值； （2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线PA交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，1）或（，3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）分两种情况讨论，通过证得△APQ∽△ACB，从而得到，即可求得P点的坐标． 【详解】（1）将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2， ∴k＝1， 将点A（1，2）代入（x＞0）中得m＝2； （2）①当点P在点A下方时， 过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H， ∵PQ平行于x轴， ∴△APQ∽△ACB， ∴＝， ∴， ∵点A（1，2）， ∴点P纵坐标为1． ∵m＝2， ∴． ∴P点坐标为（2，1）． ②当点P在点A上方时， 过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H． ∵PQ平行于x轴， ∴△APQ∽△ACB． ∴（）2＝， ∴， ∵点A（1，2）， ∴P点纵坐标为3． 代入得，， ∴P点坐标为， ∴P点坐标为（2，1）或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、待定系数法求函数解析式，还用到分类讨论思想． 22. 如图1，点C是半圆上一点（不与A，B重合），O为圆心，交弧于点D，交弦于点E，连接交于点F． （1）如图1，如果，求的大小； （2）如图2，如果，求的值； （3）连接，若圆O的直径为4，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）可利用同圆中等弦对等弧以及垂径定理判断的关系，再求弧所对的圆周角即可． （2）根据题目给的与的比值构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示含的直角三角形的三条边，利用解直角三角形计算正弦值即可． （3）分类讨论，，排除不符合题意的情况，针对不同情况，结合等腰三角形“三线合一”的性质，圆的性质及勾股定理求解，相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： 是半径， 【小问2详解】 解：连接， 是直径 设 【小问3详解】 解：当时， 连接 ∵半圆直径为4 是等边三角形 当时， 连接，过点作，垂足为 设 解得： （3）因为点在圆内，所以 ∴不存在 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆和相似三角形的性质，三角函数值，熟练掌握圆和相似三角形的性质及三角函数值的解法是解决本题的关键． 23. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． 图1图2 （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点为二次函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）如图2，将直线向下平移，与二次函数的图象相交于M，N两点，直线相交于点，求点的横坐标（直接写出答案）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）由待定系数法即可求解； （2）过作于，过作轴于，过作于，设，求出，由，知是等腰直角三角形，可证，故，，即，解得)，求出直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为)； （3）由得直线的表达式为：，设直线的表达式为，联立，可得，设，则，由点、得直线的表达式为：，由得直线的表达式为：，联立，得． 【小问1详解】 解：将，点代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过作于，过作轴于过作于，如图： 设， 在中，令得 解得或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 由得直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴的坐标为； 【小问3详解】 点的横坐标是， 由得直线的表达式为：， ∵直线向下平移，与二次函数的图象相交于两点， 设直线的表达式为 联立， 整理得：， 设， 则， ∴， 由点得直线的表达式为：， 由得直线的表达式为：， 联立， 整理得， Q的横坐标是为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $