专题10 因式分解（9知识总结+9题型）-2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题10 因式分解 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2公因式． 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点4．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点5．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点6．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点7．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点8．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点9．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型一．因式分解的意义（共4小题） 1．（2024秋•张店区期中）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•东坡区期中）下列各式由左到右边的变形中，是分解因式的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•烟台期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•浙江模拟）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 题型二．公因式（共3小题） 5．（2023秋•渝中区期末）多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•大东区期末）多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•微山县期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 题型三．因式分解-提公因式法（共7小题） 8．（2024秋•东坡区期中）计算后的结果是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•北湖区校级期中）分解因式的正确结果是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•安庆期中）计算的结果为　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•长春月考）计算后的结果是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•遵义期末）如图，长方形的长和宽分别是，，它的周长为14，面积为10，则的值为　　 A．140 B．70 C．14 D．10 13．（2024秋•儋州期中）因式分解： 　　． 14．（2024秋•龙海区期中）计算所得的结果是 　　． 题型四．因式分解-运用公式法（共7小题） 15．（2024秋•文登区校级期中）下列多项式能用公式法进行因式分解的是　　 ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 16．（2024秋•唐河县期中）下列多项式，能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•淄博期中）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•衡阳期中）已知，若，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 19．（2023秋•隆昌市校级期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 20．（2024秋•鲤城区校级期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•淄博期中）因式分解：　　． 题型五．提公因式法与公式法的综合运用（共10小题） 22．（2023秋•交城县期末）下列多项式分解因式结果不含因式的是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•襄汾县期末）下列各式中不是多项式的因式的是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•沙坪坝区校级期末）因式分解：　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•五峰县期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•桃源县期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 27．（2024春•和平区期末）下列因式分解不正确的是　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•任城区期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•南岗区校级期末）把多项式分解因式的结果是 　　． 30．（2024•五华区校级模拟）分解因式：　　． 31．（2024秋•东山县期中）因式分解： （1）； （2）． 题型六．因式分解-分组分解法（共4小题） 32．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有这个因式的是　　 A． B． C． D． 33．（2024秋•让胡路区校级期中）分解因式： 　　． 34．（2024秋•栖霞市期中）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 35．（2024秋•衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： （1）； （2）． 题型七．因式分解-十字相乘法等（共4小题） 36．（2024秋•南靖县期中）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•阳信县期末）下列因式分解错误的是　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•天府新区校级期中）因式分解：　　． 39．（2024秋•长乐区校级月考）多项式可因式分解为　　． 题型八．实数范围内分解因式（共3小题） 40．（2023秋•遂宁期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是　　 A． B． C． D． 41．（2024秋•徐汇区校级期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是　　 A． B． C． D． 42．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是　　 A． B． C． D． 题型九．因式分解的应用（共10小题） 43．（2024秋•张店区期中）若实数满足，则的值为　　 A． B． C．2024 D．2025 44．（2024秋•蓬莱区期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．爱蓬莱 B．我爱游 C．爱我蓬莱 D．我游蓬莱 45．（2024秋•张店区期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为　　 A． B． C．5 D．13 46．（2024•罗湖区校级模拟）已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 47．（2024秋•文登区校级期中）对于任意整数，都　　 A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 48．（2023秋•中江县期末）已知，，，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 49．（2024春•花山区校级期中）若多项式分解因式的结果为，则的值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 50．（2024秋•乐陵市期中）若，，为整数，且，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．2024 51．（2023秋•高青县期末）已知，求的值是　　 A．2023 B．2024 C．1 D．0 52．（2024秋•甘井子区校级期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 因式分解 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2公因式． 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点4．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点5．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点6．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点7．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点8．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点9．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型一．因式分解的意义（共4小题） 1．（2024秋•张店区期中）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可． 【解答】解：是整式的乘法运算，则不符合题意； 属于因式分解，则符合题意； 是整式的乘法运算，则不符合题意； 右边不是几个整式积的形式，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024秋•东坡区期中）下列各式由左到右边的变形中，是分解因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式． 【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解的定义，熟练掌握定义是关键． 3．（2024秋•烟台期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因式分解是指把一个多项式写成几个整式的积的形式，根据题意，逐项判断即可． 【解答】解：中不是多项式，不是因式分解，则不符合题意； 中等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，则不符合题意； 是整式的乘法，不是因式分解，则不符合题意； 中是因式分解，则符合题意． 故选：． 【点评】本题考查因式分解的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024•浙江模拟）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可． 【解答】解：，选项没有写成积的形式，故，不符合题意； 选项，不是整式，故选项不符合题意； 选项，，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 题型二．公因式（共3小题） 5．（2023秋•渝中区期末）多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据公因式的定义进行解答即可． 【解答】解：， 各项的公因式是． 故选：． 【点评】本题考查公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 6．（2024春•大东区期末）多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案． 【解答】解：多项式的公因式是：． 故选：． 【点评】此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键． 7．（2023秋•微山县期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【解答】解：、和的公因式是，不符合题意； 、和，没有公因式，符合题意； 、和的公因式是，不符合题意； 、和的公因式是5，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 题型三．因式分解-提公因式法（共7小题） 8．（2024秋•东坡区期中）计算后的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接提取公因式，进而得出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 9．（2024春•北湖区校级期中）分解因式的正确结果是　　 A． B． C． D． 【分析】确定公因式是，然后提取公因式即可． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1． 10．（2024秋•安庆期中）计算的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则把化为，再逆用乘法的交换律，最后利用符号法则得结论． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键． 11．（2024秋•长春月考）计算后的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先提公因式，再计算即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解提公因式法，有理数的混合运算，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 12．（2023秋•遵义期末）如图，长方形的长和宽分别是，，它的周长为14，面积为10，则的值为　　 A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】 【分析】先根据题意得出，，再将进行因式分解，最后代入求值即可． 【解答】解：该长方形的周长为14，面积为10， ，，则， ， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式分解因式是关键． 13．（2024秋•儋州期中）因式分解： 　　． 【答案】． 【分析】直接提取公因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查分解因式，熟练掌握提取公因式是关键． 14．（2024秋•龙海区期中）计算所得的结果是 　　． 【答案】． 【分析】根据乘法分配律简便计算即可求解． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算顺序是关键． 题型四．因式分解-运用公式法（共7小题） 15．（2024秋•文登区校级期中）下列多项式能用公式法进行因式分解的是　　 ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】 【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：①，无法运用平方差公式分解因式，不符合题意； ②，能运用平方差公式进行因式分解，符合题意； ③，无法运用完全平方公式分解因式，不符合题意； ④，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意； ⑤，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意． 综上，能用公式法进行因式分解的是②④⑤， 故选：． 【点评】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 16．（2024秋•唐河县期中）下列多项式，能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 、，能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 、，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意； 、，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 17．（2024秋•淄博期中）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差与完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：平方差公式：的条件：两项平方差． ，． 故排除，． 完全平方公式：的结构特征：首平方，尾平方，首尾乘积的两倍在中央． 不满足，不能使用完全平方公式分解，． 故选：． 【点评】本题考查用公式法因式分解，正确掌握平方差，完全平方差公式的结构特征是求解本题的关键． 18．（2024秋•衡阳期中）已知，若，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】先利用作差法，再分解因式进行求解． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解．作差法是解题的关键． 19．（2023秋•隆昌市校级期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：不能因式分解； ，它能用平方差公式因式分解； 不能因式分解； ，它能用完全平方公式因式分解； ，它能用完全平方公式因式分解； ，它能用完全平方公式因式分解； 综上，能用公式法分解因式的有4个， 故选：． 【点评】本题考查公式法因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 20．（2024秋•鲤城区校级期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：．由于，所以不符合完全平方公式的结构特征，不能利用完全平方公式，因此选项符合题意； ．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项不符合题意； ．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项不符合题意； ．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 21．（2024秋•淄博期中）因式分解：　　． 【答案】． 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再提取公因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了提取公因式和平方差因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型五．提公因式法与公式法的综合运用（共10小题） 22．（2023秋•交城县期末）下列多项式分解因式结果不含因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可． 【解答】解：、，含因式，不符合题意； 、，含因式，不符合题意； 、，不含因式，符合题意； 、，含因式，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，因式分解的意义，熟练掌握因式分解的提公因式和公式法是解题的关键． 23．（2023秋•襄汾县期末）下列各式中不是多项式的因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式 ， 则不是多项式的因式的是， 故选：． 【点评】本题考查提公因式及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（2023秋•沙坪坝区校级期末）因式分解：　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可得出答案． 【解答】解：原式 ； 故选：． 【点评】本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 25．（2023秋•五峰县期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用提公因式法同时结合公式法进行因式分解即可． 【解答】解：．，分解因式不彻底，故此选项错误； ．不能分解因式，而，故此选项错误； ．，故此选项错误； ．，故此选项正确． 故选：． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 26．（2024春•桃源县期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可． 【解答】解：．，因此选项不符合题意； ．，因此选项不符合题意； ，因此选项不符合题意； ．，因此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握，是正确应用的前提． 27．（2024春•和平区期末）下列因式分解不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论． 【解答】解：，故选项分解正确； ，故选项分解正确； ，故选项分解正确； ，故选项分解错误． 故选：． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 28．（2023秋•任城区期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【解答】解：、，故错误，不符合题意； 、，原分解错误，不符合题意； 、不能因式分解，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了公式法分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止；因式分解是恒等变形． 29．（2024秋•南岗区校级期末）把多项式分解因式的结果是 　　． 【答案】． 【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键． 30．（2024•五华区校级模拟）分解因式：　　． 【答案】． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是关键． 31．（2024秋•东山县期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）连续利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 题型六．因式分解-分组分解法（共4小题） 32．（2024秋•宝山区期中）下列整式中不含有这个因式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断． 【解答】解：、，含有因式，故此选项不符合题意； 、，不含有因式，故此选项符合题意； 、，含有因式，故此选项不符合题意； 、，含有因式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 33．（2024秋•让胡路区校级期中）分解因式： 　　． 【答案】． 【分析】利用分组分解法，先对因式分解得，再利用平方差公式因式分解． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 34．（2024秋•栖霞市期中）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ； （3）原式 ． 【点评】本题主要考查了分解因式：熟练掌握因式分解是关键． 35．（2024秋•衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 题型七．因式分解-十字相乘法等（共4小题） 36．（2024秋•南靖县期中）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据因式分解的定义，对各个选项进行判断即可得到答案． 【解答】．运算错误，故该选项不正确，不符合题意； ．分解时漏掉项，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了提公因式法和公式法，熟练掌握因式分解是关键． 37．（2023秋•阳信县期末）下列因式分解错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论． 【解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法等以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 38．（2024秋•天府新区校级期中）因式分解：　　． 【答案】． 【分析】连续利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 39．（2024秋•长乐区校级月考）多项式可因式分解为　　． 【答案】． 【分析】根据十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型八．实数范围内分解因式（共3小题） 40．（2023秋•遂宁期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式对选项进行判断即可． 【解答】解：．，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； ．，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； ．，能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； ．，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键． 41．（2024秋•徐汇区校级期中）把二次三项式因式分解，下列结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把看出已知数求出关于的方程的解，再分解因式即可． 【解答】解：， △， 则， 所以， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程的解是解此题的关键． 42．（2024秋•长宁区校级期中）下列关于的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】令关于的二次三项式等于0得到一元二次方程，然后利用根的判别式的意义判断方程是否有实数解，若有实数解，则能说明二次三项式在实数范围内因式分解． 【解答】解：对于一元二次方程， △， 方程有两个实数解， 一定能在实数范围内因式分解． 故选：． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）． 题型九．因式分解的应用（共10小题） 43．（2024秋•张店区期中）若实数满足，则的值为　　 A． B． C．2024 D．2025 【答案】 【分析】由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【解答】解：由题意可得：，， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查了代数式求值，等式的性质，正确进行计算是解题关键． 44．（2024秋•蓬莱区期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．爱蓬莱 B．我爱游 C．爱我蓬莱 D．我游蓬莱 【答案】 【分析】综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解， 【解答】解：由， ，，2，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬， 呈现的密码信息可能是“爱我蓬莱”， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键． 45．（2024秋•张店区期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为　　 A． B． C．5 D．13 【答案】 【分析】将化为，即可求解． 【解答】解：原式 ， ，即的最大值为13． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，正确进行计算是解题关键． 46．（2024•罗湖区校级模拟）已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解， 【解答】解：， ，即：， ，且，即：，， ， 是等边三角形， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握因式分解． 47．（2024秋•文登区校级期中）对于任意整数，都　　 A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断． 【解答】解：原式 ， ，既能被2整除又能被4整除， 又、是连续整数， 、必有一个是偶数， 能被8整除，即能被8整除， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解，正确进行计算是解题关键． 48．（2023秋•中江县期末）已知，，，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】先根据已知条件，求出，和的值，然后把所求代数式写成的形式，再利用完全平方公式进行分解因式，然后把，和的值整体代入，进行计算即可． 【解答】解：，，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了分解因式的应用，解题关键是熟练掌握把多项式进行分解因式． 49．（2024春•花山区校级期中）若多项式分解因式的结果为，则的值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 【分析】将因式分解的结果进行乘法运算，得到原多项式，即可求出的结果． 【解答】解： 则， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘法计算以及平方差公式的运用，正确进行计算是解题关键． 50．（2024秋•乐陵市期中）若，，为整数，且，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】 【分析】根据幂的意义得出和中有一个为1一个为0，再代入求解． 【解答】解：由题意得：和中有一个为1一个为0， ， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握幂的意义是解题的关键． 51．（2023秋•高青县期末）已知，求的值是　　 A．2023 B．2024 C．1 D．0 【答案】 【分析】先根据已知条件，求出，然后把所求代数式进行拆项，分解成含有的形式，然后把它的值整体代入求值即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用拆项法进行分解因式． 52．（2024秋•甘井子区校级期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 【答案】 【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式继续分解，然后根据分解因式的结果，进行判断即可． 【解答】解： ， ，，，，，分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城， 结果呈现的密码信息可能是美丽大连， 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法，注意分解因式要分解到底． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$