期末复习-专题05 期末压轴题训练（压轴题型归纳+专题训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题05 期末压轴题训练 （题型归纳+专题训练） 【题型1 将军饮马之最值问题】 【题型2 全等三角形与动点的分类讨论问题】 【题型3 等腰三角形存在性个数的讨论】 【题型4 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型5 等边三角形中动点综合问题】 【题型6 多个结论问题】 【题型7 全等三角形-一线三等角模型】 【题型8 全等三角形-手拉手模型】 【题型9 全等三角形-半角模型】 【题型10 全等三角形-对角互补模型】 【题型11 全等三角形-倍长中线法模型】 【题型12 分式方程中含参数问题】 【题型1 将军饮马之最值问题】 1．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 2．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（      ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点值上，， ，，，， ， ， 的最小值为2.4． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 6．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 【答案】A 【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示： 由对称性可知OP＝O＝O＝2， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ ＝2×60°＝120°， ∴∠＝∠ ＝30°， ∵OP＝2，OC⊥， ∴OC＝O＝1； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′=90°， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 【题型2 全等三角形与动点的分类讨论问题】 1．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 2．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 3．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 4．如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)①；② (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）①根据求解即可． ②根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：6； （2）解：①当点在边上，； ②由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 【题型3 等腰三角形存在性个数的讨论】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 2．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 3.如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 【题型4 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质； （1）根据三角形的面积公式，直接求的面积； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可求：，即，且，即可证，可得； （3）根据的面积是的面积的两倍，列出方程可求的值． 【详解】（1）解：， ； （2）证明：如图：连接， ，是中点， 平分， 又， ， ， 依题意得：， 在与中， ， ， ； （3）解：如图：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 解得：或 综上所述：当或． 2．如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）根据题意和平角算出，再根据等边对等角算出，最后根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据等边对等角得出，当时，得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出． （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）解：当线段的长度等于7时，． 理由：， ． ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：的度数为或． 分三种情况：①如图，当时， ， 则， ． ． ②如图，当时， 则， ， ， 此时． ③当时，， ，， ，不符合题意，舍去； 综上所述，和同时为等腰三角形时，的度数为或． 3．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形性质得，，在根据可得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出线段之间的数量关系； （2）设点M为延长线上以点，N为延长线上以点，先求出，再根据，点P在的延长线上，得与全等时，点E在的延长线上，此时，然后根据点E，P的运动速度和时间得，则，最后根据可求出t的值． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系是：，证明如下： 如图1所示：连接， 在中，，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2所示：设点M为延长线上以点，N为延长线上以点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，点P在的延长线上， ∴当与全等时，点E在的延长线上， 此时，根据点E，P的运动速度和时间得：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当t为时，与全等． 4．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则 或． 【题型5 等边三角形中动点综合问题】 1．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)点运动6秒后重合 (2)当点运动2秒时，是等边三角形 (3)当或或或时，是直角三角形 (4)当点M、N运动8秒时，是等腰三角形 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，解一元一次方程． （1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）分四种情况，由直角三角形的性质，可列方程求解，即可得出结论； （4）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设点、运动秒后重合， 则， 解得， ∴点、运动6秒后重合； （2）解：设点、运动秒后，是等边三角形， ∵等边， ∴， 如图，，， 当时，是等边三角形， 即 ， 解得， ∴当点、运动2秒时，是等边三角形； （3）解：设点运动秒后，是直角三角形， ∵等边， ∴， ①如图2：，， 则有， 解得； ②如图3：，，则有， 解得； ③如图4：点N运动到中点时， 是直角三角形此时点运动，则有， 解得； ④如图4：点运动到中点时，，即， 解得：， 此时点运动，与点重合； 综上所述，当或或或时，是直角三角形； （4）解：如图 设点、运动秒 则， 假设是等腰三角形且MN是它的底边 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 ∴当点、运动8秒时，是等腰三角形． 2．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 3．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； (3)如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (4)如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) (4)t的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，（秒），分点P在线段上和射线上，求出的长； （2）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （3）证明，则，即可求解； （4）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则， （秒）， ∴当时，点P在线段上，； 当时，点P在射线上，； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：根据题意得，，， ∴， 分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 综上可得，t的值为或． 4．如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)当点在线段上运动时，求之间的数量关系． (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①60；②见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意得和，进而证明结论； （2）利用等边三角形的性质得到，证明可得，再根据线段和差以及等量代换即可解答； （3）①利用等边三角形的性质得到，证明可得即可求得答案；②由，结合题意可得，利用即可证明结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ∵， ，即， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ∵是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：①∵和都是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，即． ②证明：∵和都是等边三角形， ， ∵， ， ∴． ， ，． 由①可得： ，即． 5．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 【题型6 多个结论问题】 1．如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③ ．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．根据，易证，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得，结论②成立，和只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，故①结论正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； 和仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等，故③结论错误． 故选：B． 3．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 4．如图，点分别在的边的延长线上，的角平分线交于点，垂足分别为．下列结论：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】①过点P作于点D，根据角平分线的性质即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据， ,即可进行判断；④由三角形的外角性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点P作于点D， ∵的角平分线交于点P，， ∴，， ∴， ∴平分， ∴①正确； ②∵， ∴ ， ∴； 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∴②不正确； ③∵ ，， ∴，， ∴， ∴③正确； ④∵， ∴， ∴④不正确． ∴正确答案为：①③． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质，全等三角形的判断及性质，三角形面积，三角形外角性质．熟记相关结论是解题关键． 5．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 6．如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，证明即可． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形； 故②③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平角的定义，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 7．如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件解答即可． 本题考查了等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故③正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∴， 故④错误． 故选：C． 8．如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤由，通过，可证，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接OB.   ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ，，， ， ， ，， ，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF＋AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④SABD∶SACDAB∶AC，其中正确结论的个数是（    ）    A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，根据全等三角形的判定推出Rt≌Rt，根据全等三角形的性质得出AE=AF，再逐个判断即可． 【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，故②正确； 在Rt△AED和Rt△AFD中 ， ∴Rt≌Rt（HL）， ∴AE=AF， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥EF，故③正确； ∵在中，AF+DF＞AD， 又∵AE=AF， ∴AE+DF＞AD，故①正确； ∵ DE=DF， ∴故④正确； 即正确的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 10．如图，在中，，90°，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③④四边形的面积是的面积的一半．上述结论中一定正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可得：，所以可知和是等腰直角三角形，由等腰直角三角形可计算，所以的长决定的长，可判断与不一定相等，根据全等三角形面积相等可得，问题得解． 【详解】解：①，是的中点 ， ， ， 是斜边上的中点，， ，， 在和中， ， ， ，，故①正确； ②， 是等腰直角三角形，故②正确； ③是等腰直角三角形 点，分别在边，运动， 的长不确定，则的长不确定 ， 与不一定相等，故③错误； ④ ， ，故④正确． 结论中始终正确的有①②④． 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用，另外利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法． 【题型7 全等三角形-一线三等角模型】 1．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 2．（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系推导全等条件，结合全等三角形的对应边相等分析线段关系． （1）①通过直角条件推导，结合，用证；②利用全等三角形对应边相等，得、，从而推出． （2）通过推导，结合、，用证． 【详解】（1）①证明： 三点都在直线m上，， ， ， ， 在和中， ； ②成立．理由如下： ，， ． （2）成立．理由如下： 如图2，， 由三角形内角和及平角性质得： ， ，， 在和中， ， ， 3.如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． (1)如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (3)等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，证明，则有，，又点坐标为，的坐标为，所以，，则，故点的坐标； （）同（）理可求解； （）分为点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （2）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （3）解：如图，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，过作轴于点， 同理可得：， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 综上可得：，，之间的关系为或． 4．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 5．【问题情境】如图①所示，在直角三角形中，，于点D，可知：   （不需说明理由） 【特例探究】（1）如图②所示，，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，于点F，于点试说明： 【归纳说明】（2）如图③所示，点B，C分别在的边，上，点E，F在内部的射线上．已知，试说明： 【拓展应用】（3）如图④所示，在中，，点D在边上，，点E，F在线段上，若的面积为24，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）面积之和为 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）利用角的关系得出，再利用证明 （2）先证明，，再利用证明 （3）先根据三角形的面积求出与面积分别为8，再利用全等三角形的性质得出与面积相等，再根据与的面积之和为的面积求解即可． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， 在和中， ， （2）， ， ，，， ， 在和中， ， ≌ （3）在等腰三角形中，，， 与等高，底边之比， 与面积比为：， 的面积为24， 与面积分别为：8， 与（2）同理可得≌， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为 【题型8 全等三角形-手拉手模型】 1．如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据角的和差得出相等的角，证明，得出对应边相等即可； （2）根据（1）的结论，通过全等三角形得出对应角相等，再根据三角形内角和定理以及对顶角相等，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理； （1）①由，可得，进而可证明，结论即可得证； ②由可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）由（1）可得，，又因为P，Q分别为，的中点，可得，进而可证明，可得，，由，可得，即可得出的形状. 【详解】（1）①证明：∵ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ ②解：如图所示： 由①得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴. （2）解：是等腰直角三角形，证明如下： 由（1）得， ∴，， ∵P，Q分别为，的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形. 【题型9 全等三角形-半角模型】 1．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 2．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（ⅰ）中的结论不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； （2）（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 3．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 4．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【题型10 全等三角形-对角互补模型】 1．已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质,构造全等三角形是解题关键． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵, ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 2．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 【题型11 全等三角形-倍长中线法模型】 1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    【答案】（1）证明见解析 （2） （3）且 【分析】（1）根据题意易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而证得； （2）延长到点，使，连接，由（1）知，，在中，利用三角形的三边关系进行解答即可； （3）延长到点，使，连接，由（1）知，得到、，进而得到，从而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 、， ； （2）解：延长到点，使，连接，如图：    由（1）知， ， 在中，、， ，即， 即， 边上的中线的取值范围为； （3）解：且， 如图，延长到点，使，连接，    由（1）得， 、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键． 2．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 【题型12 分式方程中含参数问题】 1．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 2．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 3．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程根的情况求参数，解分式方程，分式方程有增根时，增根为使分母为零的值，即，解分式方程得出，结合求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将原方程化为， 去分母可得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 5．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后方程矛盾，无解；二是解出的根使分母为零，为增根．先化简方程，利用分母关系简化，再求解关于x的方程，讨论m的值． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 6．若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解求参数， 首先解不等式组，得到解集为，由解集非空且至多有3个整数解，可得的取值范围为，再解分式方程，得到，由解为整数且，求出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴能被3整除，且，即， ∵，且为整数， ∴， 即符合题意的整数的值为2， 因此所有满足条件的整数的和为； 故答案为：2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习-专题05 期末压轴题训练 （题型归纳+专题训练） 【题型1 将军饮马之最值问题】 【题型2 全等三角形与动点的分类讨论问题】 【题型3 等腰三角形存在性个数的讨论】 【题型4 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型5 等边三角形中动点综合问题】 【题型6 多个结论问题】 【题型7 全等三角形-一线三等角模型】 【题型8 全等三角形-手拉手模型】 【题型9 全等三角形-半角模型】 【题型10 全等三角形-对角互补模型】 【题型11 全等三角形-倍长中线法模型】 【题型12 分式方程中含参数问题】 【题型1 将军饮马之最值问题】 1．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 4．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（      ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 6．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 7．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【题型2 全等三角形与动点的分类讨论问题】 1．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 2．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 3．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【题型3 等腰三角形存在性个数的讨论】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 2．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【题型4 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 2．如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 3．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 4．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【题型5 等边三角形中动点综合问题】 1．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 2．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 3．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； (3)如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (4)如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 4．如图1，在等边三角形中，．点E，F分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)当点在线段上运动时，求之间的数量关系． (3)如图2，当点在线段的延长线上运动时， ①_________； ②如图3作，再以为边向右侧作等边三角形，连接，证明：． 5．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【题型6 多个结论问题】 1．如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③ ．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 3．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，点分别在的边的延长线上，的角平分线交于点，垂足分别为．下列结论：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④ 5．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF＋AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④SABD∶SACDAB∶AC，其中正确结论的个数是（    ）    A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．如图，在中，，90°，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③④四边形的面积是的面积的一半．上述结论中一定正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【题型7 全等三角形-一线三等角模型】 1．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 2．（1）如图1在中，，，直线m经过点A，，，垂足分别为点D，E． ①求证：； ②请判断是否成立，并说明理由． （2）将（1）中的条件改为：如图2在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 3.如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． (1)如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (3)等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 4．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 5．【问题情境】如图①所示，在直角三角形中，，于点D，可知：   （不需说明理由） 【特例探究】（1）如图②所示，，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，于点F，于点试说明： 【归纳说明】（2）如图③所示，点B，C分别在的边，上，点E，F在内部的射线上．已知，试说明： 【拓展应用】（3）如图④所示，在中，，点D在边上，，点E，F在线段上，若的面积为24，请直接写出与的面积之和． 【题型8 全等三角形-手拉手模型】 1．如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【题型9 全等三角形-半角模型】 1．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 2．已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 3．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 4．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【题型10 全等三角形-对角互补模型】 1．已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 2．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【题型11 全等三角形-倍长中线法模型】 1．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    2．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 3．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【题型12 分式方程中含参数问题】 1．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．或 B． C． D． 4．若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 5．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 6．若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $