专题7 等腰三角形与轴对称-最短路线问题（8知识总结+8题型）-2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题7 等腰三角形与轴对称-最短路线问题 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含 30 度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型一．等腰三角形的性质（共9小题） 1．（2024秋•奉化区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•杭锦后旗期中）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D． 3．（2024秋•红桥区校级期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（2024•云南）已知是等腰△底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为　　 A． B．2 C．3 D． 5．（2024•秦州区校级模拟）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D．或 6．（2024春•郓城县期中）如图，中，，其中点为的中点，若，，则阴影部分的面积是　　 A．56 B．28 C．14 D．无法确定 7．（2023秋•佳木斯期末）如图，在△中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线 9．（2023秋•禹城市期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 题型二．等腰三角形的判定（共5小题） 10．（2024秋•东区校级期中）如图，四边形为正方形，点为平面内一点，若点和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，则符合要求的点有　　个． A．1 B．5 C．9 D．13 11．（2024秋•东港区期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点，使得△是等腰三角形，这样的点可以找到的个数是　　 A．3 B．5 C．6 D．8 12．（2024秋•洪山区期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使△为等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2024秋•西城区校级期中）如图，△中，是的平分线，交于点，若，，则的长为 　　． 14．（2024秋•防城区期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使△为等腰三角形的点有 　　个． 题型三．等腰三角形的判定与性质（共6小题） 15．（2024秋•泸县期中）如图，在△中，，分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，，则△的周长为　　 A．19 B．20 C．21 D．30 16．（2024秋•宜州区期中）在△中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是　　 A．△和△是等腰三角形 B． C．△的周长是8 D． 17．（2024秋•南开区期中）如图，在△中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 18．（2024秋•易县期中）如图，在△中，，和的平分线相交于点，过点作边的平行线，交于点，交于点．若△的周长为14，则△的周长是　　 A．7 B．9 C．12 D．19 19．（2024秋•长春月考）如图，在等腰△中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是　　 A．5 B．10 C．15 D．13 20．（2024秋•阜阳期中）如图，在△中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为　　； （2）若，，则的值为　　． 题型四．等边三角形的性质（共6小题） 21．（2024秋•齐齐哈尔月考）如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于　　 A． B． C． D． 22．（2024•连州市一模）如图，，等边的顶点在直线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•洪山区期中）如图，在△中，点在边上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•梨树县期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 25．（2024秋•郫都区校级期中）在等边△中，、分别是、边上一动点，且，则的最小值为 　　． 26．（2024秋•覃塘区期中）已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使． 求证：（1）；（2）． 题型五．等边三角形的判定（共3小题） 27．（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 28．（2023秋•谷城县期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．点、运动　　后，可得到等边． A．1 B．0.5 C．4 D．2 29．（2023秋•琼海校级期末）已知等腰三角形的一个外角是，则它是　　 A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 题型六．等边三角形的判定与性质（共3小题） 30．（2024•平山县校级模拟）如图，从海岛分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里时，两小时后，两艘货船、之间的距离为　　 A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 31．（2024秋•长春月考）如图，已知△是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 32．（2024秋•丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为　　 A． B． C． D． 题型七．含30度角的直角三角形（共7小题） 33．（2024秋•龙江县期中）如图，△中，，，，点是边上的动点，则长不可能是　　 A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 34．（2023秋•江汉区期末）如图，在△中，，，是的中点，于点，下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 35．（2024秋•双城区月考）若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为　　 A．8 B．16 C．24 D．32 36．（2023秋•东西湖区期末）如图，在中，，，．则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•大观区校级期末）如图，△中，，是斜边上的高，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 38．（2024秋•红桥区校级期中）如图，，，，则线段 　　． 39．（2024秋•玉林期中）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 　　． 题型八．轴对称-最短路线问题（共6小题） 40．（2024秋•新抚区期中）如图，在等边△中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边△，连接，当△周长最小时，则的大小是　　 A． B． C． D． 41．（2024秋•宜州区期中）如图，在等边△中，边上的中线，是上的一个动点，是边上的一个动点，在点、运动的过程中，的最小值是　　 A．6 B．4 C．3 D．2 42．（2024秋•建邺区校级期中）如图，等边三角形的边长为8，、、三点在一条直线上，且△△．若为线段上一动点，则的最小值是　　 A．10 B．12 C．16 D．18 43．（2023秋•新宾县期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区，提供牛奶，要使，两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站的位置应该在　　 A． B． C． D． 44．（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 45．（2024秋•三台县期中）如图，等边△的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为　　 A． B． C． D． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 等腰三角形与轴对称-最短路线问题 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点4．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点5．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点6．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点7．含 30 度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点8．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型一．等腰三角形的性质（共9小题） 1．（2024秋•奉化区校级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键． 2．（2024秋•杭锦后旗期中）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可知，若等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，即可得到答案． 【解答】解：①当为顶角时，三个角为，，； ②当为底角时，不符合题意，舍去； 由三角形内角和定理可知这个等腰三角形的顶角的度数为， 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理及等腰三角形定义，熟记三角形内角和定理及等腰三角形定义是解决问题的关键． 3．（2024秋•红桥区校级期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【解答】解：， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 4．（2024•云南）已知是等腰△底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为　　 A． B．2 C．3 D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一，可知也是顶角的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点到直线的距离． 【解答】解：是等腰△底边上的高， 是顶角的平分线， 点到直线的距离为3， 点到直线的距离为3， 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答． 5．（2024•秦州区校级模拟）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析． 【解答】解：①是底角，则顶角为：； ②为顶角；所以顶角的度数为或． 故选：． 【点评】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 6．（2024春•郓城县期中）如图，中，，其中点为的中点，若，，则阴影部分的面积是　　 A．56 B．28 C．14 D．无法确定 【答案】 【分析】先由三线合一定理得到，再证明，推出，则． 【解答】解：，其中点为的中点， ， 又，， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是关键． 7．（2023秋•佳木斯期末）如图，在△中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和，可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【解答】解：，，， ， ，，， 平分， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，①等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（2023秋•禹城市期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得到，由此得到的周长，又，，由此即可求出的周长． 【解答】解：垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 故的周长为． 故选：． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 题型二．等腰三角形的判定（共5小题） 10．（2024秋•东区校级期中）如图，四边形为正方形，点为平面内一点，若点和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，则符合要求的点有　　个． A．1 B．5 C．9 D．13 【答案】 【分析】画图分析点和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，点存在的各种情况． 【解答】解：点和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，符合的点如图所示， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定条件 11．（2024秋•东港区期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点，使得△是等腰三角形，这样的点可以找到的个数是　　 A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以、为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足△是等腰三角形． 【解答】解：如图，使得△是等腰三角形，这样的点可以找到8个． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 12．（2024秋•洪山区期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使△为等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】依题意分三种情况讨论如下：①当为腰，点为顶点时，②当为腰，点为顶点时，③当为底边时，对于每一种情况画出图形，找出满足条件的点即可． 【解答】解：分三种情况讨论如下： ①当为腰，点为顶点时， 以点为圆心，以为半径画弧，与坐标轴交于点，，如图1所示： 点于点，在同一条直线上，不能构成三角形， 该点不符合题意， ， △是等腰三角形， 点是满足条件的点； ②当为腰，点为顶点时， 以点为圆心，以为半径画弧，与坐标轴交于点，，如图2所示： ， △和△均是等腰三角形， 故点，是满足条件的点； ③当为底边时，作的垂直平分线交轴于，交轴于，如图3所示： ，， △和△均是等腰三角形， 故点，是满足条件的点， 综上所述：满足条件的点的个数是5个． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，坐标与图形，理解等腰三角形的判定，坐标与图形是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 13．（2024秋•西城区校级期中）如图，△中，是的平分线，交于点，若，，则的长为 　15　． 【答案】15． 【分析】由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，则，然后由等腰三角形的判定得，即可解决问题． 【解答】解：△中，是的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟知等腰三角形的判定是解答此题的关键． 14．（2024秋•防城区期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使△为等腰三角形的点有 　5　个． 【答案】5． 【分析】分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【解答】解：如图，当为底边时，等腰三角形有3个， 如图，当为腰时，等腰三角形有2个， 综上所述，点有个， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 题型三．等腰三角形的判定与性质（共6小题） 15．（2024秋•泸县期中）如图，在△中，，分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，，则△的周长为　　 A．19 B．20 C．21 D．30 【答案】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，进而可得，，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可． 【解答】解：， ，， 、分别平分和， ，， ，， ，， △的周长， ，， △的周长， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（2024秋•宜州区期中）在△中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是　　 A．△和△是等腰三角形 B． C．△的周长是8 D． 【答案】 【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△和△是等腰三角形，所以，，△的周长被转化为△的两边和的和，即求得△的周长为8． 【解答】解：由角平分线定义可知， 由平行线可知， ， ． 同理，． △和△是等腰三角形； △的周长； ， ， ， 故选项，，正确， 故选：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 17．（2024秋•南开区期中）如图，在△中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】 【分析】只要证明，即可解决问题． 【解答】解：， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 18．（2024秋•易县期中）如图，在△中，，和的平分线相交于点，过点作边的平行线，交于点，交于点．若△的周长为14，则△的周长是　　 A．7 B．9 C．12 D．19 【答案】 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，从而得到，，即可求解 【解答】解：和的平分线相交于点， 根据角平分线的定义得，，， ， ，， ，， ，， ， △的周长为14，， ， △的周长， 所以△的周长是9． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线定义，关键是角平分线定义的熟练掌握． 19．（2024秋•长春月考）如图，在等腰△中，腰长为5，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是　　 A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质得到，因此，判定，同理：，于是得到四边形的周长． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 同理：， 等腰△的腰长为5， ， 四边形的周长． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的判定推出，． 20．（2024秋•阜阳期中）如图，在△中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为　　； （2）若，，则的值为　　． 【答案】；13． 【分析】（1）由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，再对△运用内角和定理即可求解； （2）根据题意证明，，进而可得，即可得出答案． 【解答】解：（1）由角平分线可知， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由平行线可知，，，， ，， ，， ，， ， 故答案为：13． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 题型四．等边三角形的性质（共6小题） 21．（2024秋•齐齐哈尔月考）如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【解答】解：△为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键． 22．（2024•连州市一模）如图，，等边的顶点在直线上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过作直线，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【解答】解：是等边三角形， ， 过作直线， 直线直线， 直线直线， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等． 23．（2024秋•洪山区期中）如图，在△中，点在边上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先证明△是等边三角形得，再根据得，再根据即可得出的度数． 【解答】解：，， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 24．（2023秋•梨树县期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形，若，则△的边长为　　 A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，，再由三角形外角的性质求出，则，同理得，，，由此得出规律，即可求解． 【解答】解：△为等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， △的边长：， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键． 25．（2024秋•郫都区校级期中）在等边△中，、分别是、边上一动点，且，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】由于题中两条线段为两个动点一个定点，故把问题转化为两个定点一个动点，由定弦定角模型确定点和点的轨迹为一段圆弧，再由圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，根据求出的最小值，进而得出的最小值． 【解答】解：如图，假定点不动，为定长，则点在的劣弧上运动，圆周角． 当点在点处，点与点重合，，点恰好与到的中点重合，； 当点运动到点处，点运动到点，，点恰好也与点重合，． △和△都是等边三角形， 四边形是菱形． 线段和互相垂直平分． 点的轨迹是以为直径的劣弧． 连接，交于点，连接． ，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，定弦定角模型的应用，点和圆的位置关系等知识点，把两条线段“两动一定”问题转化为“两定一动”来处理是本题的关键． 26．（2024秋•覃塘区期中）已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使． 求证：（1）；（2）． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到，从而得到，再根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据等边三角形的性质及线段的和差求证即可． 【解答】证明：（1）△是等边三角形，是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）△是等边三角形，是中点， ， 由（1）知，， ， ， ． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 题型五．等边三角形的判定（共3小题） 27．（2023秋•宿城区期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】 【分析】如图，过点作于，于．根据角平分线的性质，由平分，于，于，得，，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【解答】解：如图，过点作于，于． 平分，于，于， ，，． ． 此时，是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，． ． 在和中， ， ． ． △是等边三角形． 当向方向移动，向方向移动，， △是等边三角形． 同理：当向方向移动，向方向移动，也存在无数个满足条件等边． 综上：满足条件的有无数个． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 28．（2023秋•谷城县期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．点、运动　　后，可得到等边． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【答案】 【分析】设点、运动 后，可得到等边，求出 ，，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案． 【解答】解：设点、运动 后，可得到等边， ，， 是等边三角形， ， 时，是等边三角形， ， ， 点、运动后，可得到等边． 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握等边三角形的判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 29．（2023秋•琼海校级期末）已知等腰三角形的一个外角是，则它是　　 A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和外角的关系解答． 【解答】解：①的角为顶角的外角，则顶角为，底角为，三角形为等边三角形； ②的角为底角的外角，则底角为，顶角为，三角形为等边三角形． 故选：． 【点评】解答此题要注意分两种情况讨论： ①的角为顶角的外角； ②的角为底角的外角． 题型六．等边三角形的判定与性质（共3小题） 30．（2024•平山县校级模拟）如图，从海岛分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里时，两小时后，两艘货船、之间的距离为　　 A．60海里 B．40海里 C．30海里 D．20海里 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定定理，易证△是等边三角形，进而即可得到答案． 【解答】解：如图，连接， 甲、乙两艘货船的速度均为20海里时，两小时后，得： （海里），， △是等边三角形， （海里）， 两艘货船、之间的距离为40海里． 故选：． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质，方向角，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 31．（2024秋•长春月考）如图，已知△是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质求出，由得，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求出的度数即可． 【解答】解：△是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，熟记等边三角形的性质、平行线的性质是解题的关键． 32．（2024秋•丛台区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，证明△是等边三角形，得，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接， 由题意可知，， ， ， △是等边三角形， ， 即此时、两点之间的距离为， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 题型七．含30度角的直角三角形（共7小题） 33．（2024秋•龙江县期中）如图，△中，，，，点是边上的动点，则长不可能是　　 A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 【答案】 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据垂线段最短求出的最小值，然后得到的取值范围，从而得解． 【解答】解：△中，，， ， ， ， 点是边上的动点， ， 的值不可能是1.8． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出的取值范围是解题的关键． 34．（2023秋•江汉区期末）如图，在△中，，，是的中点，于点，下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出，在△中，由得，进而根据点是的中点得，由此可对选项进行判断；连接，根据等腰三角形的性质得，，设，在△中，可求出，进而得，再由勾股定理得，据此可得，由此可对选项不进行判断；根据，，，由勾股定理得，由此可对选项进行判断；根据得，由此可对选项进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：，， ， 于点， 在△中，， ， 点是的中点， ， ， 故选项正确，不符合题意； 连接，如图所示： ，点是的中点， ，， 设， 在△中，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即， 故选项错误，符合题意； ，，， 在△中，由勾股定理得：， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， 故选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形底边上的高，底边上的中线、顶角的平分线重合；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半；灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 35．（2024秋•双城区月考）若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为　　 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】 【分析】依据含角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可． 【解答】解：如图所示，过作于， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 36．（2023秋•东西湖区期末）如图，在中，，，．则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，，，． 【解答】解：，， ，， ， ， ， 不符合要求； ， 不符合要求； ， 符合要求； ， ， 不符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准的角所对的直角边，点明斜边，是解题的关键． 37．（2023秋•大观区校级期末）如图，△中，，是斜边上的高，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和． 【解答】解：，， ， 是斜边上的高， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 38．（2024秋•红桥区校级期中）如图，，，，则线段 　2　． 【答案】2． 【分析】由含30度角的直角三角形的性质得到． 【解答】解：，，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 39．（2024秋•玉林期中）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 　60　． 【答案】60． 【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【解答】解：过点作于点，过点作于点， 在△和△中， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：60． 【点评】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 题型八．轴对称-最短路线问题（共6小题） 40．（2024秋•新抚区期中）如图，在等边△中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边△，连接，当△周长最小时，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先证明点在射线上运动，，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，然后判断出△是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，即可得出答案． 【解答】解：连接， ，，， ， △△， ． ， ， 点在射线上运动． 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，△的周长最小． ，，， ， 垂直平分， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强，解题的关键是确定点的运动轨迹． 41．（2024秋•宜州区期中）如图，在等边△中，边上的中线，是上的一个动点，是边上的一个动点，在点、运动的过程中，的最小值是　　 A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接，由题意可得，将转化为，当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小，此时的长度为的最小值． 【解答】解：如图：连接， 由等边三角形三线合一可得：垂直平分， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，值最小，即的值最小． 由题意可得：， 即的最小值是6， 故选：． 【点评】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键． 42．（2024秋•建邺区校级期中）如图，等边三角形的边长为8，、、三点在一条直线上，且△△．若为线段上一动点，则的最小值是　　 A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】 【分析】连接交于点，点、关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【解答】解：连接交于点，过点作直线， 由提议你可得： △是等边三角形，，， 、、三点在同一直线上， △和△关于直线的对称， ， ， ， ， ，， 点、关于直线对称， 当点与点重合时，的值最小， 最小值为线段， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题， 43．（2023秋•新宾县期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区，提供牛奶，要使，两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站的位置应该在　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可． 【解答】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在△中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点的位置． 44．（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得为等边三角形的中线，所在的直线也是等边三角形的对称轴．易得的长度为6，那么，等边三角形的边长为12．作点关于的对称点，根据轴对称图形的性质可得点在线段上．连接交于点，则，那么的最小值也就是的长度．易得△为等边三角形，边长为8，那么的最小值为8． 【解答】解：，， ． 等边三角形中，为的平分线， 为等边三角形的中线．所在的直线为的对称轴． ． ． 作点关于的对称点，则点在线段上． ． ， ． 是等边三角形， ，． ． 连接交于点， ． ， ． 是等边三角形． ． 的最小值为8． 故选：． 【点评】本题考查最短路线问题．用到的知识点为：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置，对称点和另一个点的连线长也就是两个定点和动点的距离和的最小值． 45．（2024秋•三台县期中）如图，等边△的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【解答】解： 过作，交于， ，， ， ， ， 是边上的中线，△是等边三角形， ， ， ， ， 和关于对称， 连接交于，连接， 则此时的值最小， △是等边三角形， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$