精品解析：重庆市第十一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

重庆市第十一中教育集团2026级八年级上12月数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有下列各数：，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，其中是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义“无理数是无限不循环小数”即可得． 【详解】解：，， 即在，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，中，是无理数的有，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形）对各选项依次计算后即可解答． 【详解】选项A，因为12+22≠32，不能组成直角三角形； 选项B，因为22+32≠42，不能组成直角三角形； 选项C，因为32+42=52，能组成直角三角形； 选项D，因为52+62≠72，不能组成直角三角形. 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 3. 估计的值在哪两个数之间（ ） A. 4与5 B. 5与6 C. 6与7 D. 7与8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． 先估算的范围，然后再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 7. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 8. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，故①正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入可求得， ∴， 把代入，可得：， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 乙的速度：， 乙的时间：， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②正确； 甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达B城，； 综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不正确； 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第55个点是第10列最上面一个数，，然后对应得出坐标规律求解即可． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第55个点是第10列最上面一个数， ∵第10列有10个数，y轴上方比下方多一个， ∴x轴上方有5个，x轴上有1个，x轴下方有4个， ∵x轴上的点的坐标为 ∴最上面的点的坐标为． 故选C． 10. 如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①②⑤ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】如图1，根据同角的余角相等，即可判断①； 通过证明得 进而得出从而可以判断②； 由再证，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④； 通过证明 即可判断⑤. 【详解】解：设于， 于，如图所示， ， ， ∴， 故①正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 若， 则为等边三角形， ∴， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴的周长为：， ∵， ∴， ∴， ∴的周长，故④错误； 如图所示，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ，即， ， ； 故⑤正确； 故选： A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段的和差、同角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质与添加适当的辅助线是解答此题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 二次根式中的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件：二次根式中被开方数必须大于等于0，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件分式有意义的条件即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 数据、、、、、的平均数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据平均数的公式计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 14. 已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 15. 如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是平行线的判定与性质、平行公理及推论，掌握其性质定理是解决此题的关键．如图，过点作的平行线，则有，进而根据平行线的性质及平角的意义可进行求解 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ． ∵， ， ， ． ∵，， ∴； ； 故答案为． 16. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ， 故关于的方程组的解是． 故答案为：． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边的延长线上的处，经过的中点，其中，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，先证明≌（AAS），由全等三角形的性质得出D＝CF，M＝MF，设CF＝x，则D＝x，得出AD＝BC＝16﹣x，CM＝4，由勾股定理得出x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝5，则可得出答案． 【详解】解：∵M为CD的中点， ∴CM＝DM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DM＝∠MFC， ∵∠DMB'＝∠FMC， ∴≌（AAS）， ∴D＝CF，M＝MF， 设CF＝x， 则D＝x， ∵A＝16，AB＝8， ∴AD＝BC＝16﹣x，CM＝4， ∴BF＝16﹣x﹣x＝16﹣2x， ∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在边AD的延长线上的B'处， ∴BF＝F＝16﹣2x， ∴MF＝F＝8﹣x， 在RtMFC中，CF2+CM2＝MF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 18. 对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义：______；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则______． 【答案】 ①. 595 ②. 198 【解析】 【分析】本题考查了数字类的新定义题型．正确理解题意是解题关键．根据定义即可计算；确定的值，利用能被整除确定的值即可． 【详解】解：； ∵， ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵为“砺新数”， ∴， ∵，，x、y为整数， ∴，或， 当时，（舍去）， 当时，， 则． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化简绝对值，零指数幂，二次根式的除法，然后合并即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法． （1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 原方程组化简为： 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 21. 2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100． 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为： 80，80，80，80，82． 根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 30% 九年级 71 80 b （1）请填空：______，______，______； （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀． 【答案】（1）70，80，55； （2）九年级成绩相对更好，理由见解析 （3）425人 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握众数、中位数的意义和求法是解题的关键． (1)根据众数、中位数和优秀率的定义进行计算即可； (2)可以从众数、中位数以及优秀率三个方面进行判断即可解答； (3)根据样本估计总体的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数； 九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、81， 故中位数为， 九年级的优秀率为． 故答案为：70，80，55． 【小问2详解】 解：九年级成绩相对更好，理由如下： 九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级． 【小问3详解】 解： (人)， 答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀． 22. 如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离． 【详解】解：（1）根据勾股定理： 所以梯子距离地面的高度为：AO米； （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5米， 根据勾股定理：OB′＝2米， 所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米， 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 23. 在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）性质：当时，随的增大而增大；图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：在上和在上，根据勾股定理和面积法即可求解； （2）根据题意画出图象即可解答； （3）结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 如图，当时，点在上， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， 如图，当时，点在上， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，； 【小问2详解】 由图象可知，当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，有最大值； 【小问3详解】 如图： 若直线与函数图象有个交点，则直线在直线与之间， 直线过点，则； 直线过点，则； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了直角三角形的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． （1）求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； （2）经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少元，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加元，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 【答案】（1）97份，39份 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，根据“已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元”，进行列二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）依题意，列出一元一次方程，再解出，即可作答． 【小问1详解】 解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得 解得； ∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份， 【小问2详解】 解：由题意得, ， ∴ 解得． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）若，求点D的坐标； （3）点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）若，即，则，设点，由翻折得：，即，即，利用消元思想求解即可． （3）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入直线得： ， 解得： ， ∴； 【小问2详解】 解：若，即，则， 设点， 由翻折得：， 即， 即， 即， 上述两式相减并整理得：， 则， 解得：， 则， 即点； 【小问3详解】 解：分两种情况： 若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， ， 设直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 同理，若点P在直线的下方，构造，如图， 可得，直线的函数解析式为． 综上可知，直线的函数解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键． 26. 在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，． （1）如图，若，，，求的面积； （2）如图，连接，若，，点为的中点，连接，求证：； （3）如图，若是等边三角形，，为直线上一点，将绕点逆时针方向旋转到，连接，为线段上一点，，为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据，推出，求出的长度，根据求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）延长到点，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知证明，得到，即可解题； （）根据题意得到在距离为，且平行于的直线上运动，作点关于的对称点，过作的垂线分别交、于点、，此时的值最小，最小值为，求出的值即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图， 延长到点，使，连接，在上截取，连接， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 作，并截取，设交的延长线于， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴点共圆， ∴， 作于，作于， ∴，， ∴在距离为，且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，过作的垂线分别交、于点、，此时的值最小，最小值为， 作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，最短路径问题，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，由题意得到的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中教育集团2026级八年级上12月数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有下列各数：，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，其中是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 3. 估计的值在哪两个数之间（ ） A. 4与5 B. 5与6 C. 6与7 D. 7与8 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 6. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 7. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①②⑤ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是_____． 12. 二次根式中的取值范围是________． 13. 数据、、、、、的平均数为，则______． 14. 已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简：_______． 15. 如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则=________． 16. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是__________． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边的延长线上的处，经过的中点，其中，，则______． 18. 对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义：______；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程组： （1）； （2）． 21. 2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100． 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为： 80，80，80，80，82． 根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 30% 九年级 71 80 b （1）请填空：______，______，______； （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀． 22. 如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 23. 在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围． 24. 麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． （1）求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； （2）经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少元，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加元，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）若，求点D的坐标； （3）点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 26. 在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，． （1）如图，若，，，求的面积； （2）如图，连接，若，，点为的中点，连接，求证：； （3）如图，若是等边三角形，，为直线上一点，将绕点逆时针方向旋转到，连接，为线段上一点，，为直线上一点，分别连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $