精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度上学期高三12月月考试卷 数学 2024.12 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：高考范围（不含随机变量和统计分析）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合 ，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念，以及复数的乘除运算即可求得结果. 【详解】因为 ，所以． 故选：D. 3. 已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，列式求出夹角的余弦. 【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得， 所以. 故选：C 4. 已知双曲线，点 在 上，过点 作 两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，若，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式以及双曲线的离心率公式求解. 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即，故有， 所以． 故选:D. 5. 的展开式中的系数为，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再根据二项式展开式通项公式分别求出系数，再计算求参. 【详解】 的展开式的通项公式为，所以． 令解得， ，令解得． 展开式中的系数为，可知，所以． 故选：A. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,, ，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当 时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为,母线长． 圆台的高， 则圆台上下底面面积为， 由圆台的体积计算公式可得：． 故选：C． 8. 设椭圆的弦 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，，若直线 的斜率 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，，利用向量的坐标表示可得，，代入椭圆方程结合斜率公式即可求解. 【详解】如图所示，设，，，，直线， 因为，所以， 所以，， 即，， 所以，， 因为在椭圆上，所以，，两式相减得，即, 又因为，且，， 所以，即，所以， 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种金属材料的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ） A. 该金属材料的长度的极差为0.04cm B. 该金属材料的长度的众数为3.63cm C. 该金属材料的长度的中位数为3.625cm D. 该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，最大值减去最小值，得到极差；B选项，3.62cm出现次数最多，为众数；C选项，从小到大排序，选取第4个和第5个的数的平均数作为中位数；D选项，利用百分位数的定义进行求解. 【详解】A选项，最小值为3.61cm，最大值为3.65cm，故极差为cm，A正确； B选项，3.62cm出现了3次，出现次数最多，故众数为3.62cm，B错误； C选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65， 选取第4个和第5个的数的平均数作为中位数，即cm，C正确； D选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65， ，故选取第7个数作为第80百分位数，即3.64cm，D错误. 故选：AC. 10. 已知定义在R上的函数满足，当 时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当 时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令 得，故B正确；C选项，令，且，当 时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又 ，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令 得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当 时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又 ，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 11. 若数列前 项和为，满足，其中 、，则称是数列，则下面选项正确的是（ ） A. 若 ，则是数列 B. 若，则是数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题中定义、等差中项法、等比中项法逐项判断即可. 【详解】对于A，由 可得，等式两边同时取倒数，可得， 所以，所以是数列，故A错误； 对于B，由可得，所以， 即有， 所以是数列，故B正确； 对于C，已知数列，则有， 当 时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列，故选项C正确； 对于D，因为数列是数列，所以， 所以，． 当 时，（i），（ii）， （i） （ii）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以等比数列，故选项D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（ 、 为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】由分步计数原理可得，先安排甲，再将其余3人分组分配即可. 【详解】完成这件事，可分为3个步骤： 第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法； 第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法； 第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法， 故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种. 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形为，再把看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于的不等关系，再利用不等关系表达所求式，并求其范围探究最值即可. 【详解】由，可得. 令，则在上单调递增，所以， 由对恒成立， 所以，则，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3. 故答案为： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则， ， 则，解得或（舍），又，所以， 解得 ，所以 【小问2详解】 ， 所以 16. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知，，． （1）求的值； （2）若点 在边 上，且，求 ． 【答案】（1） （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求 ，或者应用向量关系平方计算即可. 【小问1详解】 如图，在 中，因为，，， 所以． 【小问2详解】 方法一 因为点 在边 上，且， 所以，， 又因为， 所以在 中，由余弦定理得，可得 ． 方法二 ， ， ， ，即 ． 17. 如图，在四棱锥 中， ， E为AD的中点， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接BD， 由已知， ， ，即 ， 且 与 是平面 内的两条相交直线， ∴平面 . 又 平面 ，所以 ， 由于 ，E为AD的中点，且 ， 所以四边形为正方形，即 ，又可得 为平行四边形， 所以 ， ， 平面， ∴平面，又 平面 ， 所以平面 平面 ； （2） 【解析】 【分析】(1) 连接BD，先证 ， ，由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ； (2)利用空间向量研究线面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,利用方程组求平面 一个法向量,再利用向量数量积求直线 方向向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系确定直线 与平面 所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 平面，∴ 为二面角 的平面角，从而 . 如图所示，在平面 内，作 ， 以A为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴建立空间直角坐标系 ， 设 ，则， ∴， 设平面 的法向量， 则，取 ，则， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）点P在抛物线上，直线 与直线交于Q点，过点F且平行于 的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. （2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可. 【小问1详解】 因为点 到焦点F的距离为2， 所以点 到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点 的横坐标为， ，解得， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为， 联立，消 得， 设， 又， ∵，则直线OP的方程为 ， 联立，消 得， 令，则， ，故的值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可． 19. 已知，，若函数有两个零点m，n，且. （1）a的取值范围； （2）证明：当 时，； （3）证明：（注： 是自然对数的底数）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由在上的极大值为正，可求 的取值范围. （2）把问题转化成，再换元，设，，只需证，构造新函数，证即可. （3）由得到，由（2）可得，所以，推出，根据（1）的结论，可得. 【小问1详解】 （ ），所以， 由. 若 ，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以在不可能有两个零点. 若 ，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，；当 时，. 所以函数在有两个零点，可转化为：， ∴．所以． 【小问2详解】 证明：要证只需证， 只需证，即证， 故令，，只需证， 构造新函数，则， 函数在上单调递增，故，不等式得证. 【小问3详解】 由函数有两个零点m，n，且知 ∴ ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ∴ 由（1）得，∴，∴ 【点睛】关键点点睛：第二问的证明，关键是利用分析法进行问题的转化.先根据函数的解析式，把转化为，在根据 和对数的运算及分式的性质，转化为，随后设，，只需证即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高三12月月考试卷 数学 2024.12 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：高考范围（不含随机变量和统计分析）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线，点 在 上，过点 作 两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，若，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 8. 设椭圆的弦 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，，若直线 的斜率 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种金属材料的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ） A. 该金属材料的长度的极差为0.04cm B. 该金属材料的长度的众数为3.63cm C. 该金属材料的长度的中位数为3.625cm D. 该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm 10. 已知定义在R上的函数满足，当 时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当 时， 11. 若数列前 项和为，满足，其中 、，则称是数列，则下面选项正确的是（ ） A. 若 ，则是数列 B. 若，则是数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种． 13. 已知，则______. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 16. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知，，． （1）求的值； （2）若点 在边 上，且，求 ． 17. 如图，在四棱锥 中， ， E为AD的中点， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）点P在抛物线上，直线 与直线 交于Q点，过点F且平行于 的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 19. 已知，，若函数有两个零点m，n，且. （1）a的取值范围； （2）证明：当 时，； （3）证明：（注： 是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $