精品解析： 重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年九年级上学期第二次联考数学试卷

2024-2025学年重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校九年级（上）第二次联考数学试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过 ．年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 3. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥﹣1且k≠0 B. k≥﹣1 C. k≤1 D. k≤1且k≠0 4. 关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是  （ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D. 在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有 朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则 一定等于（　　） A. α B. C. D. 10. 是由交替排列的个多项式，其中，将这个多项式中的任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（ ，且均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当时，第1次操作后可能得到：或或． 下列说法： ①当为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的个多项式的和为0； ②当时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合； ③当时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若点与点关于原点对称，则_____． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 13. 在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是___________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 15. 如图，在中，已知， ，过点C与的中点，并以为直径作半圆，与边和分别交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 _________．（结果保留）） 16. 在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为______．（结果保留根号） 17. 若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为______． 18. 对于一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，，因为，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是_______；若“凤翔数”，使二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值为_________． 三、解答题（第19题8分，第20-26题每小题8分，共78分） 19. 解一元二次方程． （1） （2） 20. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 21. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空： ________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．已知在年“十一”长假期间，东部华侨城景区共接待游客达万人次，其中该景区的成人票每张 元，学生票按成人票五折优惠．某班在该景区内组织活动，教师和学生一共去了人，门票共需元． （1）参与活动的教师和学生各有多少人？ （2）在该景区内有一家奶茶店销售的一款奶茶备受游客喜爱，店家决定在年“十一”期间进行降价促销活动，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现相应的利润额．请依据以下对话，完成本题． 23. 如图，为直径，点C为上一点，平分 ，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 24. 如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒， 的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出 的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 26. 在等边中，点D为边上一点，连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，将线段绕A点顺时针旋转 至位置，连接，交于点F，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，若点D为直线上一点，过点E作于点G，，连接 FG， BE，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市江津实验中学、李市中学、白沙中学等五校九年级（上）第二次联考数学试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过 ．年月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥﹣1且k≠0 B. k≥﹣1 C. k≤1 D. k≤1且k≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=22-4k×（-1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得k≠0且△=22-4k×（-1）≥0， 解得k≥-1且k≠0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4. 关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是  （ ） A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D. 在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及几何变换，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向下；对每个选项分析、判断即可； 【详解】解：、由二次函数得，对称轴为直线；故本项错误； 、由二次函数得，顶点坐标为；故本项错误； 、由二次函数的图象可由二次函数的图象向上平移1个单位得到；故本项错误； 、由二次函数得，其开口向下，顶点为，则在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小；故本项正确； 故选：D 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ；；； ∴． 故选：C． 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月末累计进馆1456人次，列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 7. 如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据垂径定理得出的度数，最后利用等边对等角即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴点C为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：A． 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有 朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 9. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则 一定等于（　　） A. α B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰直角三角形的性质，先由，得出 ，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以再结合等边对等角，即可作答． 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴ ． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即 ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 故选：A． 10. 是由交替排列的个多项式，其中，将这个多项式中的任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（ ，且均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当时，第1次操作后可能得到：或或． 下列说法： ①当为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的个多项式的和为0； ②当时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不合； ③当时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的加减和添去括号性质等知识点，依据题意，读懂题目然后根据添去括号法则进行化简判定即可得解，解题时注意结合分类讨论是关键． 【详解】①为奇数时，无论经过多少次操作后，得到的个多项式中的个数与的个数不会相同，①正确，符合题意； ②3次操作后，只需6个多项式中有3个含，3个含，不用考虑： 原多项式： 第一次操作： 第二次操作： 第三次操作：，此时它们的和为零， 故②正确，符合题意； ③时 如果对6个进行3次操作，其结果可能出现：1负5正或3负3正或5负1正． 因为是从6个多项式中任意选出3个添加负号，由任意性可知：6个多项式进行3次操作后可能出现的结果：其中1个或3个或5个多项式整体添加了负号： 1．若其中1个添加了负号：整体添加负号，其余不变，则和为整体添加负号，其余不变，则和为 ； 2．若其中3个添加了负号：3个整体添加负号，其余不变，则和为；3个整体添加负号，其余不变，则和为；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为 ；2个和1个整体添加负号，其余不变，则和为； 3．若其中5个添加了负号：若不变，其余均整体添加了负号，则和为；不变其余均整体添加了负号，则和为； 所以有8种可能出现的结果， 故③正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， ． 故答案为：1． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用化学变化的卡片数除以卡片总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有3张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，且化学变化（火柴燃烧）的卡片有1张， ∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴； 由图可知： 当或 时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或 ； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 15. 如图，在中，已知， ，过点C与的中点，并以为直径作半圆，与边和分别交于点E、F，则图中阴影部分的面积为 _________．（结果保留）） 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据勾股定理求出 的长，利用直角三角形的特征可求出的面积，再证 ， 为等边三角形，分别求出面积以及扇形的面积，利用求出最后结果即可． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 设，则， ，即， 解得：， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求解，扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形特征，勾股定理，一元一次方程的应用，根据题意得到是解题的关键． 16. 在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值代入函数关系式，就可以求出时间的最大值．注意负值舍去． 【详解】解：根据题意：，即， 解得：（舍去）， 故答案为：． 17. 若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18. 对于一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，，因为，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是_______；若“凤翔数”，使二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 ①. 1010 ②. 8978 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与轴的交点，不等式的性质．对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，由此得千位上的数字为1，百位上的数字为0，再根据“凤翔数”的定义得十位上的数字为1，个位上的数字为0，据此可得出最小的“凤翔数”；先由“凤翔数”，得，，， ，且，，，均为整数，，再根据二次函数与轴有且只有一个交点，得，由此可得出，，进而根据，得，然后根据“凤翔数”为最大，得、均为最大，此时取最大值8，取最大值9，从而得 ，，据此可得出的最大值． 【详解】解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小， 千位上的数字为1，百位上的数字为0， 又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和， 十位上的数字为1，个位上的数字为0， 最小的“凤翔数”是1010； “凤翔数”， 显然，，， ，且，，，均为整数， 根据“凤翔数”的定义得：， 二次函数与轴有且只有一个交点， ， ， 整理得：， ， ， 又， ， 解得：， “凤翔数”为最大， 、均为最大， 取最大值8，取最大值9，此时，， 的最大值为：8978． 故答案为：1010；8978． 三、解答题（第19题8分，第20-26题每小题8分，共78分） 19. 解一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴． 20. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中， 于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中， 于点，于点F．求证：四边形 是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①_________． ． 在和中，， ． ，②_________． ，即③_________． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④_________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，② ． ，即③ ． ∴四边形 是平行四边形． 又 ， ∴四边形 是矩形． 过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④矩形． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空： ________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3 8.5 7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为 、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为 ， 故答案为， ，； 【小问2详解】 （名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 22. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．已知在年“十一”长假期间，东部华侨城景区共接待游客达万人次，其中该景区的成人票每张 元，学生票按成人票五折优惠．某班在该景区内组织活动，教师和学生一共去了人，门票共需元． （1）参与活动的教师和学生各有多少人？ （2）在该景区内有一家奶茶店销售的一款奶茶备受游客喜爱，店家决定在年“十一”期间进行降价促销活动，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现相应的利润额．请依据以下对话，完成本题． 【答案】（1）参与活动的老师有人，学生有人 （2）元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元二次方程的应用， （1）设参与活动的教师有人，学生有人，根据“该景区的成人票每张 元，学生票按成人票五折优惠；教师和学生一共去了人，门票共需元”可得关于、的二元一次方程组，求解可得结论； （2）设每杯奶茶降价元，则每杯奶茶的售价为元，利润为元，根据“店家此款奶茶实际平均每天元的利润额”列出一元二次方程，求解可得结论； 根据题意找到等量关系正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设参与活动的教师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：， 答：参与活动的老师有人，学生有人； 【小问2详解】 设每杯奶茶降价元，则每杯奶茶的售价为元，利润为元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵让顾客获得最大优惠， ∴， 答：当每杯奶茶降价元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额． 23. 如图，为直径，点C为上一点，平分 ，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）的直径长为20 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出 ，然后利用切线的判定即可得证； （2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得 ，即可求的直径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵平分 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的半径； ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点I， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴的直径长为20． 24. 如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒， 的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出 的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值1.0或2.5 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时： ， ，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时： ，， ， ； 综上所述：， 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 函数图像如图： 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） 【小问3详解】 解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），此时 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，求出，由三线合一定理可得，设， 求出，则，，可得则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的解析式为，当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线l的对称点E，则，由轴对称的性质可得，则可得，即可得到点M即为线段与抛物线的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得 ，则，求出直线解析式为 ，进而求出，证明，则点M即为射线与抛物线的交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 当时，， ∴ ， ∴， 设，直线的解析式为 ， 将点代入，得， 解得：， ∴，，， ∴ ∴ ∵，开口向下，且， ∴当 时，， 此时 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为， 当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线 的对称点E，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为线段与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得 ， ∵， ∴， ∴直线解析式为 ， 设， ∴， 解得， ∴， ∴直线解析式为 ∵直线解析式为 ，直线解析式为， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴点M即为射线与抛物线的交点， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 综上所述，点M的横坐标为或． 26. 在等边中，点D为边上一点，连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，将线段绕A点顺时针旋转 至位置，连接，交于点F，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，若点D为直线上一点，过点E作于点G，，连接 FG， BE，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，求出，得到，利用勾股定理得到，再证明，得到，则； （2）如图所示，在上截取 ，连接交于T，证明，得到，，证明，由旋转的性质可得，进而推出 ，，则，，由此证明，得到 ，即可证明； （3）如图所示，将绕点A顺时针旋转度得到，连接，易证，得到，则点E在直线上运动，设直线交直线于S，证明，得到，由（2）可得，则由直角三角形的性质可得；如图所示，左点B关于直线 的对称点H，连接，过点H作交直线于R，连接分别交于，则当三点共线时，最小，即此时最小，且此时点E和点F分别与点、点重合，易证，由轴对称的性质可得，进一步推出，则，证明，得到，则． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，在上截取 ，连接交于T ∵是等边三角形， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，将绕点A顺时针旋转度得到，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点E在直线上运动， 设直线交直线于S， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 如图所示，左点B关于直线 的对称点H，连接，过点H作交直线于R，连接分别交于， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，且此时点E和点F分别与点、点重合， ∴ ∵， ∴， 取 的中点W，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知与重合，即点W与点B重合， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，直角三角形的性质等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $