精品解析：福建省泉州第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

泉州一中2024-2025学年第一学期初三月考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比性质，可得答案. 【详解】解：， ， 代入； 故选：A． 2. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 3. 已知的半径是4，P点到圆心的距离为3，则P点与的位置关系是（　　） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，根据点与圆的位置关系判断即可，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵点到圆心的距离，半径， ∴点与的位置关系是点在内． 故选：B． 4. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，直接根据抛物线的图象和性质判断即可． 【详解】解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C. 相等的弧所对弦相等 D. 长度相等弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可； 【详解】解：A.错误．需要添加此弦非直径的条件； B.错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴； C.正确． D.错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等； 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与周长比为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，，则，，与周长比为，，即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴，，与周长比为， ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 9. 如图，四边形内接于半径为5的⊙，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，．首先证明，推出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ， 点是的外接圆的圆心， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是证明． 10. 如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（　　） A. ﹣1 B. +1 C. 3.2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质得出∠D＝90°，CD＝AB＝8，由勾股定理得出AC＝＝10，设△AD的内切圆O的半径为r，则×10r+×8r+×6r＝×8×6，解得r＝2，连接BQ，易证PM是△BCQ的中位线，得出PM＝BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，则BF＝AB﹣AF＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝4，由勾股定理得出BO＝，则BQ＝BO+OQ＝，即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，CD＝AB＝8， ∴AC＝＝＝10， 设△AD的内切圆O的半径为r， 则×10r+×8r+×6r＝×8×6， 解得：r＝2， 连接BQ， ∵P是BC边上的中点，点M是CQ的中点， ∴PM是△BCQ的中位线， ∴PM＝BQ， 当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最长， 作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F， 则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4， ∴BO＝， ∴BQ＝BO+OQ＝ ∴PM＝BQ＝. 故选：B． 【点睛】此题考查三角形的中位线定理，勾股定理、圆的性质，是一道综合性较强的题，解题中注意综合运用各知识点. 二．填空题（共6小题） 11. 已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 12. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 13. 若为锐角，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值求出的值，继而可求得的值． 【详解】解：，，为锐角， ， 解得：， 则． 故答案为：． 14. 如图，在中，，的周长为32．若与三边分别相切于点E，F，D，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用切线长定理是解决问题的关键．先根据切线的性质得到，则利用的周长为32得到，则，然后证明为等边三角形，从而得到的长． 【详解】解：∵与三边分别相切于点E，F，D， ∴， ∵的周长为32． ∴， 即， ∴， 而， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：4． 15. 已知实数m，n满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可． 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交子点C，且OB=OC=3OA，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE=_____． 【答案】45°． 【解析】 【分析】先求出点D、点C的坐标，得出点B、A的坐标，求出抛物线的解析式，得出抛物线的顶点坐标，根据勾股定理求出BC、CE、BE，由勾股定理的逆定理证明△BCE为直角三角形，∠BCE=90°，由三角函数证出∠DBO=∠CBE，即可得出∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°． 【详解】将x=0代入y=−x+1，y=1， ∴D（0，1）， 将x=0代入y=ax2+bx-3得：y=-3， ∴C（0，-3）， ∵OB=OC=3OA， ∴B（3，0），A（-1，0），∠OBC=45°， 对于直线y=−x+1， 当y=0时，x=3， ∴直线y=−x+1过点B． 将点C（0，-3）的坐标代入y=a（x+1）（x-3）， 得：a=1， ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴抛物线y=x2-2x-3的顶点为E（1，-4）． 于是由勾股定理得： BC=3，CE=，BE=2． ∵BC2+CE2=BE2， ∴△BCE为直角三角形，∠BCE=90°， 因此tan∠CBE==． 又tan∠DBO==， 则∠DBO=∠CBE， ∴∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°． 故答案为45°. 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的解析式的求法及顶点坐标、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数，本题综合性强，有一定难度． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值和二次根式的运算，熟练掌握相运算法则并正确计算是解答的关键．先分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质和二次根式性质计算各数，再加减运算即可求解． 【详解】解： 18. 解方程 （1）；（用公式法） （2）；（用因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求，判断根的情况，再根据求根公式求解即可； （2）先移项，再根据平方差公式进行因式分解，最后求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 【点睛】本题主要考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式和求根公式，以及用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤． 19. 如图，在中，是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 20. 如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：：白开水，：瓶装矿泉水，：碳酸饮料，：非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级有______名同学；并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格元瓶 （3）在饮用白开水的同学中有名班委干部，为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这名班委干部(其中有两位班长记为，，其余两位记为，)中随机抽取名作为良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到名班长的概率． 【答案】（1）50，图见解析 （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：这个班级的学生人数为（人）， 选择C饮品的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：（元）， 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图知共有种等可能结果，其中恰好抽到名班长的有种结果， 所以恰好抽到名班长的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题： 已知，如图所示，及外一点P． （1）按要求完成作图步骤并准确标注字母， 尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接． （2）请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由 （3）设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 是的切线． 理由如下：连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立； （3）连接，由勾股定理求出，得到，再由勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ∵为的垂直平分线 ∴ 在中， ∴， 在中 ． 22. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带AB长为． （1）新传送带______； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断与B点距离为的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】（1）12 （2）货物不需要挪走． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质． （1）先根据等腰直角三角形的性质求出的长，然后再根据直角三角形的性质求出即可； （2）先利用勾股定理求出，然后再根据题意求出的长，最后根据题意判断即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，∵， ∴， 在中，， ， 答：新传送带的长度为； 故答案为：12； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴货物不需要挪走． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）． 素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． 素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）． 问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． 注：测量、计算时，都以“肘”为单位． 【答案】任务1：B，C两点之间的水平距离为肘，铅垂距离（高度差）为肘；任务2：石拱桥拱圈的半径为肘 【解析】 【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可； 任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于，记圆心为O，连接、．观察图形，得出观察图形，、、的长，设，则，根据勾股定理，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径． 【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘， 根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘）， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有块花岗岩的宽，则（肘）， 答：B，C两点之间的水平距离为肘，铅垂距离（高度差）为肘； 任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于，记圆心为O，连接、， 观察图形，（肘），（肘），（肘）， ∴设，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴石拱桥拱圈的半径为肘． 答：石拱桥拱圈的半径为肘． 【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键． 24. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）4，D （3），，，，.（写出其中3个即可） （4）2或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴，交与点，设 ，则F，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线：，设，再分三种情况讨论：为对角线时，为对角线时，为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案． （4）根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 点，点， 二次函数的图象经过，两点， 解得： 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：如图所示：过点作轴，交与点． 设D，则F ∴FD= ∴ ∵ ∴时，S最大，最大值为4. 此时，点D坐标为． 【小问3详解】 存在，理由如下：， 抛物线的对称轴为直线：， 设， 以为对角线时， ， ， 解得：，即， 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 综上：的坐标为：或或或或． 【小问4详解】 如图所示：过点作垂足为，交与点，连接， ，，， ，，， ， 为直角三角形． 取的中点，连接，则， ． ． 当时，则． 设，则，． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为2． 当时，设，，． ， ，， ， ，． ． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为． 综上所述，当点的横坐标为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 已知：四边形为的内接四边形，、相交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点，交于点，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点，当时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，将转化为的内角和即可； （2）过点作交于点，交于点，利用证明，从而证明结论； （3）连接，，，延长交于，过作于，先证，再证，在上取，则四边形为，求得，由，即可求得的值． 【小问1详解】 证明：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作交于点，交于点，如图1， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，在上取，连接，，，延长交于，过作于， 为的中点， ， ， ， 平分， ， ，点在上， ， ， ， ， ， ， ， 在上取， 则四边形为， ，，， ， 设， ，， ， ，3 解得：， ， ，， ， ， 在中，，， ， 弦与相交于， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2024-2025学年第一学期初三月考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 3. 已知的半径是4，P点到圆心的距离为3，则P点与的位置关系是（　　） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 无法确定 4. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C. 相等的弧所对弦相等 D. 长度相等弧是等弧 7. 如图，已知与 是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与 周长比为 C. D. 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于半径为5的⊙，，，则 的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10 10. 如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（　　） A. ﹣1 B. +1 C. 3.2 D. 3 二．填空题（共6小题） 11. 已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 12. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是______． 13. 若为锐角，且，则的值为________． 14. 如图，在 中，， 的周长为32．若与三边分别相切于点E，F，D，则的长为__________． 15. 已知实数m，n满足，则_________． 16. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交子点C，且OB=OC=3OA，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE=_____． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 解方程 （1）；（用公式法） （2）；（用因式分解法） 19. 如图，在 中， 是上一点，已知． （1）求证：； （2）已知，求的度数． 20. 如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：：白开水，：瓶装矿泉水， ：碳酸饮料， ：非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级有______名同学；并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格元瓶 （3）在饮用白开水的同学中有名班委干部，为了养成良好的生活习惯，班主任决定在这名班委干部(其中有两位班长记为，，其余两位记为 ， )中随机抽取名作为良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到名班长的概率． 21. 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题： 已知，如图所示，及外一点P． （1）按要求完成作图步骤并准确标注字母， 尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接． （2）请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由 （3）设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长． 22. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带AB长为． （1）新传送带______； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断与B点距离为的货物是否需要挪走，并说明理由． 23. 根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）． 素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． 素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）． 问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． 注：测量、计算时，都以“肘”为单位． 24. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点 ，二次函数的图象经过， 两点，且与轴的负半轴交于点，动点 在直线下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接 ， ，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： （4）如图2，过点 作于点 ，是否存在点 ，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知：四边形为的内接四边形， 、相交于点 ，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点 作于点 ，交 于点，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交 于点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $