精品解析：湖北省黄冈市2024-2025学年九年级上学期12月联考数学试题

2024年秋季九年级第二次测评数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点式为， 其顶点坐标为：． 故选：D 2. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（    ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法． 根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为大于半径， ∴点P在圆外， 故选：B． 3. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴． 故选：C． 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，掌握旋转的性质，找出旋转角，确定角度关系是解题的关键． 根据旋转得到，由旋转的性质得到，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得， ∴，， ∴， 故选：B ． 5. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为，则，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”得出，根据勾股定理得出即可作答． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径长是5， 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，先根据“圆的内接四边形对角互补”求出，再得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，一元二次方程的定义，把代入方程再结合一元二次方程的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理．作于B，连结，如图，设的半径为r，先根据切线的性质得，则点A的坐标为，得到B点坐标为，然后在中，根据勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：作于B，连结，如图，设的半径为r． ∵与y轴相切于原点O， ∴， ∴点A的坐标为． ∵， ∴． ∵轴，， ∴B点坐标为． 在中，． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴N点坐标为． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）． 故答案为（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为_____． 【答案】π． 【解析】 【分析】根据弧长公式S=解答即可． 【详解】解：该弧的长度＝＝π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记公式即可解题，属于基础题． 13. 若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 14. 如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长交于点，连接，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，设的半径为，则，利用勾股定理求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，即，是的直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当取最大值时，也取得最大值， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的每一个外角的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，则正多边形的内角和是外角和的3倍，据此列方程即可求解； （2）根据正多边形的外角都相等进行求解即可． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n， ∵一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍， ∴正多边形的内角和是外角和的3倍， ∴， 解得， 答：这个多边形的边数是8； 【小问2详解】 ， 答：这个多边形的每一个外角的度数为． 【点睛】此题考查了正多边形的外角与内角问题，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 17. 如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：，是直径， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为是直径，所以，结合圆周角定理，即可作答． （2）因为是直径，所以，即，故，则，再运用弧长公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，． ，是直径， ， ， ， ， ， 的长． 18. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度（精确到，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与垂径定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点作于点，连接，由垂径定理得到，由直径为，得到，在中，根据勾股定理得到的值，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， 直径为， ， 在中，根据勾股定理，可得， ∴， 水的最大深度为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，． （1）顶点D的坐标为； （2）将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标． 【答案】（1）顶点的坐标为， （2） 如图： 顶点坐标为，，，． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知，顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：顶点，，，绕点O逆时针旋转得到，，，，依次连接，，，，得到正方形，则正方形即为所求， ∴顶点坐标为：，，，． 20. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，根据圆周角定理，以及等腰三角形的性质得到，据此可得到结果； （2）作辅助线，根据题意可得到是等边三角形，然后根据勾股定理可解得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：过点作于，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， 在， ， 在， ， ． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题、圆周角定理、圆的切线定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理解三角形，找到角度之间的关系是解题的关键． 21. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【解析】 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 22. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 23. 如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） （1）求圆弧所在圆的半径： （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 【答案】（1） （2）能通过， 在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得， 由点O到的距离为， 故点G到到的距离为， 故这辆货运卡车能通过该隧道． 【解析】 【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可求解； （2）在圆弧上取一点H，过点H作于点G，且使得， 根据勾股定理，得，进而求出点G到到的距离，然后与车高进行大小比较即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：设圆心为点O，半径为，连接，设与交于点F， ∵ 隧道的顶端E是圆弧的中点，高出道路（）， ∴， ∵ 矩形的长为宽为， ∴，且之间的距离为， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆弧所在圆的半径为． 【小问2详解】 解：略． 24. 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）N点坐标为或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题． （1）利用待定系数法解二次函数解析式即可； （2）利用待定系数法解得直线的函数解析式为，过P点作轴交于点Q，设，则，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线，分别作出图形求解即可． 【小问1详解】 解：将，，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 过P点作轴交于点Q， 设，则， ， ， 当时，的面积最大，此时； 【小问3详解】 设，， 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，或，， 或； 当为平行四边形的对角线时，，， 解得，（舍）或，， ； 综上所述：N点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级第二次测评数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（    ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断 3. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 9. 如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为_____． 13. 若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 14. 如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是______． 15. 如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形的每一个外角的度数． 17. 如图，在中，是直径，弦，垂足为点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 18. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度（精确到，，，）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，． （1）顶点D的坐标为； （2）将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标． 20. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 22. 如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 23. 如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为宽为，隧道的顶端E（圆弧的中点）高出道路（） （1）求圆弧所在圆的半径： （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高宽，那么这辆货运卡车能否通过该隧道? 24. 如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $