精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024年高二上学期数学月考试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知向量，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. D. 或 2. 下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. x–y–3=0 B. x+y+3=0 C. x+y–3=0 D. x–y+3=0 5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若等比数列满足，则（ ） A. B. 1012 C. D. 1013 9. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 11. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 等差数列为单调递增数列 B. 数列是递增数列 C. 有最小值 D. 存在正整数，当时，总有 12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 14. 写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 15. 阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数，所有满足（为动点）的点的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点点是圆上的动点，则的最小值为__________. 16. 直线的斜率为，若，则直线的倾斜角的范围是__. 四、解答题（共70分） 17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD． （1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD． （2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长． 18. 已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议的学生选报物理，的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位） （2）这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差． （3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率． 20. 已知 （1）求与方向相同的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求，. 21. 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 22. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二上学期数学月考试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知向量，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行得坐标的比相同，即可解得实数的值. 【详解】由向量，且得， 解得. 故选：B. 2. 下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 3. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 4. 已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. x–y–3=0 B. x+y+3=0 C. x+y–3=0 D. x–y+3=0 【答案】C 【解析】 【分析】若P（1，2）为弦的中点，则圆心与P的连线与AB垂直，可得AB的斜率，即可写出AB的方程. 【详解】圆（x+1）2+y2=9的圆心坐标为C（–1，0），又P（1，2），∴， 则直线AB的斜率为–1，又∵直线AB过点P， ∴以P为中点的弦AB所在直线方程为y–2=–1（x–1），即x+y–3=0．故选C． 【点睛】本题主要考查了圆的弦的几何性质，直线方程的求法，属于中档题. 5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种， 而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成： 先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法， 由分步乘法计数原理，可知方法数有种. 由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为. 故选：D. 6. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，确定，由直线与圆相切于点，求出，再求出，，，再由得到，进而求出离心率. 【详解】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 7. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 8. 若等比数列满足，则（ ） A. B. 1012 C. D. 1013 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 9. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知A与点B关于直线l对称，可求出直线l方程，C与点D也关于直线l对称，可得CD中点在直线l上，且kCD=-，即可求出结果. 【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称. 易知kAB=-，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)， 则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3， 因为CD中点在直线l上，且kCD=-， 所以可列方程组为解得所以m+n=. 故选：A 【点睛】本题考查了点关于点的对称直线，考查了计算能力，属于一般题目. 二、多选题（每题5分，共20分） 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；取，确定的位置关系判断B；由垂直关系求出判断C；取判断D. 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误. 故选：AC 11. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 等差数列为单调递增数列 B. 数列是递增数列 C. 有最小值 D. 存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题设得公差即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由以及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 所以等差数列为单调递增数列，故A正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误； 对于C，因为，， 所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确； 对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案． 【详解】因为， 所以所求直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为， 由直线方程的斜截式得：， 化为一般式得：． 故答案为：． 14. 写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 15. 阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数，所有满足（为动点）的点的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点点是圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据是圆上的点，求出点坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得. 【详解】由题意，设，， 所以， 则， 由于是圆上的点, 所以，解得，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，，根据是圆上的点，求出点坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得. 16. 直线的斜率为，若，则直线的倾斜角的范围是__. 【答案】，， 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为，， 所以，又， 所以，，. 故答案为：，，. 四、解答题（共70分） 17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD． （1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD． （2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD， 又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD， 又AC∩PA=A，则BD⊥平面PAC， ∵BD在平面QBD内， ∴平面PAC⊥平面QBD； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设P(0,1,a)（a>0），求出平面PBC与平面PDC的法向量，利用向量夹角公式建立关于a的方程，解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设P(0,1，a)(a>0)， 则， 设平面PBC的一个法向量为， 则，则， 同理可求平面PDC的一个法向量为， ∴，解得a2=2， ∴． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查了计算能力，属于中档题． 18. 已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，即可得到，从而得到答案. （2）首先利用错位相减法得到，从而得到，即可得到答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，得或. 又数列的各项均为正数，. 【小问2详解】 由（1）得，， ，① ，② ①-②得， . 由，化简得， 对任意的恒成立. 又的最大值为，所以， 的取值范围为. 19. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议的学生选报物理，的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位） （2）这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差． （3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率． 【答案】（1）； （2）30.25 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）求出80分以上的小矩形的面积和，进而求出80分以上的总人数，再求平均数和方差； （3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【小问1详解】 依题意得，， 又， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适 【小问2详解】 成绩位于内的学生的人数为， 成绩位于内的学生的人数为， 成绩在80分及以上的学生成绩的平均分为（分）， 该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为， 【小问3详解】 依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率 20. 已知 （1）求与方向相同的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求，. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知向量除以模长得出单位向量； （2）应用垂直坐标表示及模长公式列式求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ∵，， ∴，． 联立解得或． 21. 已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）0；（ii）. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出. （2）（i）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算计算即得；（ii）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式可得，再借助判别式求出范围. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是. 22. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由： 由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】 由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以， 又点在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $