精品解析：山西省长治市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期阶段评估（四） 九年级数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 买 张这种彩票，不可能中奖 B. 买 张这种彩票，可能有 张中奖 C. 买 张这种彩票，一定有 张中奖 D. 若 人每人买 张这种彩票，一定会有一人中奖 4. 关于抛物线 的判断，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口方向向上； B. 抛物线的对称轴是直线； C. 当时，y随x的增大而减小； D. 抛物线与y轴的交点坐标为． 5. 如图所示，中，， 分别交边 于D，E两点，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 8. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面 处用高的测量仪测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点分别在 和 上，， 为边上一点，连接交于点，若，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间x（单位：s）函数解析式是，飞机着陆后滑行__________m才能停下来． 13. 出门即公园，入眼皆美景．近年来随着“口袋公园”的相继建设，市民的幸福感在不断提升．如图，在某口袋公园内有一块长，宽的矩形小广场，中间建造了一个面积为小广场面积一半的喷泉景观，已知喷泉四周小路的宽度都相等．如果设小路的宽度为，那么列出的方程为______． 14. 周一我校举行升旗仪式，面对冉冉升起的五星红旗，聆听雄壮嘹亮的国歌，庄严感、自豪感油然而生．仪式结束后，某同学想测量旗杆的高度，如图，他在某一时刻测得 米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为 米，留在墙上的影高为 米，则旗杆的高度为______米． 15. 如图，在中，为边上的中线， 是的角平分线，交于点F．则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，校外活动是课堂教学的延伸和补充，它帮助同学们实现理论和实践的结合，据我校对今年毕业班学生三年来参加的市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率． 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”，“园艺”、“厨艺”及“编程”五门校本课程以提升课后服务质量，促学生全面健康发展，学校面向九年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有______名学生参与了本次问卷调查； （2）小刚和小强分别从“礼仪”、“陶艺”和“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 19. 如图，中，， ，点， 分别在的边 ， 上，且， （1）求证； （2）如果，，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 21. 项目化学习 项目主题：测量校园古槐的高度． 项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，山西人对槐树有着特殊的感情，槐香处处，是这座城市温馨的名片之一，在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度． 研究步骤： （1）小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图． 备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段长表示该树的高度，点均在同一竖直平面内； （2）准备测量工具：测角仪，皮尺； （3）实地测量并记录数据； 方案一 方案二 问题解决：请你选择一种方案计算这棵古愧树的高度．（结果精确到）（参考数据：） 22. 学科实践 暑假期间，我市某公园为打造专属夜景景观特别安装了喷水装置，为保持人行绿道干燥，水柱要喷入河中，水柱可近似看作抛物线．如右图是截面图，已知人行绿道宽，是河道坝高，坝面 的坡比为 ，在距离喷水口O处时，水柱距离人行道的高度达到最大值，以点O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，求护栏的最大高度． （2）当水面距离人行道的竖直距离为多少时，水柱恰好落在河水中（水面与 交点处）？ 23. 一副三角板分别记作和，其中 ，， ， ．作 于点 ， 于点，如图1． （1）求证： ； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点 与点 重合记为 ，点 与点重合，将图2中的 绕 按顺时针方向旋转 后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形 为正方形； ②当 时，写出线段，，的数量关系，并证明；当 时，直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段评估（四） 九年级数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：，即A不是最简二次根式，不符合题意； ，即B不是最简二次根式，不符合题意； ，即C不是最简二次根式，不符合题意； 无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】∵ ，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当 ＞0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根． 3. 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 买 张这种彩票，不可能中奖 B. 买 张这种彩票，可能有 张中奖 C. 买 张这种彩票，一定有 张中奖 D. 若 人每人买 张这种彩票，一定会有一人中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键是正确理解概率的意义． 【详解】、买 张这种彩票，可能中奖，原选项不符合题意； 、买 张这种彩票，可能有 张中奖，可能会发生，原选项符合题意； 、买 张这种彩票，不一定有 张中奖，原选项不符合题意； 、 人每人买 张这种彩票，不一定会有一人中奖，原选项不符合题意； 故选：． 4. 关于抛物线 的判断，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口方向向上； B. 抛物线的对称轴是直线； C. 当时，y随x的增大而减小； D. 抛物线与y轴的交点坐标为． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是将二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的图像和性质． 【详解】解：∵抛物线 ， ∴该抛物线的开口向下，抛物线的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C不符合题意； ∵当 时， ， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项D符合题意． 故选：D． 5. 如图所示， 中，， 分别交边 于D，E两点，若，则与 的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 故选C． 6. 把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，把点向左平移3个单位，再向下平移5个单位，所得对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为， 故选：B． 7. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键． 先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长， 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选：A． 8. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面 处用高的测量仪测得的仰角为 ，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交 于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 9. 如图，在 中，点分别在和上，， 为边上一点，连接交于点，若，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查面积比，相似三角形判定及性质．根据题意证明，再利用性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即A成立， ∵， ∴， ∴， ∴，即B成立， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，即C不成立， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，即D成立， 故选：C． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于 的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题可先计算根号内有理数的乘方，再计算算术平方根即可得到结果． 【详解】解：． 12. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间x（单位：s）函数解析式是，飞机着陆后滑行__________m才能停下来． 【答案】450 【解析】 【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数的最大值即可． 【详解】解： 所以当时，该函数有最大值450． 故答案为：450． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握运用配方法求二次函数最值是解题关键． 13. 出门即公园，入眼皆美景．近年来随着“口袋公园”的相继建设，市民的幸福感在不断提升．如图，在某口袋公园内有一块长，宽的矩形小广场，中间建造了一个面积为小广场面积一半的喷泉景观，已知喷泉四周小路的宽度都相等．如果设小路的宽度为，那么列出的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别表示出长方形喷泉的长和宽，再根据喷泉面积为广场面积的一半建立方程即可． 【详解】解；由题意得，长方形喷泉的长为，长方形喷泉的宽为， ∵长方形喷泉面积为长方形的一半， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意表示出长方形喷泉的长和宽是解题的关键． 14. 周一我校举行升旗仪式，面对冉冉升起的五星红旗，聆听雄壮嘹亮的国歌，庄严感、自豪感油然而生．仪式结束后，某同学想测量旗杆的高度，如图，他在某一时刻测得 米长的竹竿竖直放置时影长为米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为 米，留在墙上的影高为 米，则旗杆的高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行投影及相似三角形的应用，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长定值． 同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，得到，进而可得，代入数据即可求得的长，即可求得的长． 【详解】解：如图， 过点 作于点，则米，米， 某一时刻竹竿和影长构成的三角形为，此时米，米， 根据题意，同一时刻，， ， ， 米， （米）， 故答案为：． 15. 如图，在 中，为边上的中线， 是 的角平分线，交于点F．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵ 是 的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数特殊值计算，二次根式化简，解一元二次方程等． （1）先将每项计算出来，再从左到右依次计算即可； （2）先将常数项移项到等号右侧，再利用配方法解出本题答案． 【详解】解：（1）原式， （2）， ， ， 解得：． 17. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，校外活动是课堂教学的延伸和补充，它帮助同学们实现理论和实践的结合，据我校对今年毕业班学生三年来参加的市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年中获奖人次的平均年增长率为 ，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为 ，则八年级获奖人次为，九年级获奖人次为， 则可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两年中获奖人次的平均年增长率为． 18. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”，“园艺”、“厨艺”及“编程”五门校本课程以提升课后服务质量，促学生全面健康发展，学校面向九年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有______名学生参与了本次问卷调查； （2）小刚和小强分别从“礼仪”、“陶艺”和“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）120 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率； （1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数； （2）用画树状图法求得概率即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 故答案为： ． 【小问2详解】 把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C 共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 19. 如图， 中，， ，点，分别在 的边，上，且， （1）求证； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，即，再结合利用“两角对应相等，两个三角形相似” 即可证明结论； （2）先求得 ，再根据相似三角形的性质及已知条件可得 ，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴分别交于点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标： （2）如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；点B的坐标为 （2）当时，最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象及性质，最值问题等． （1）将点代入中即可求出抛物线解析式，再令 即可求出点B的坐标； （2）待定系数法求出直线的表达式为 ，设点，则，继而表示出线段表达式，利用二次函数最值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 令 ，则， 解得：， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 21. 项目化学习 项目主题：测量校园古槐的高度． 项目背景：古树因城而增色，古城因树而厚重，山西人对槐树有着特殊的感情，槐香处处，是这座城市温馨的名片之一，在我校校园里也有着一棵历经沧桑的古槐，我班数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度． 研究步骤： （1）小组成员讨论后，设计了如下两种测量方案，并画出相应的测量草图． 备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段长表示该树的高度，点均在同一竖直平面内； （2）准备测量工具：测角仪，皮尺； （3）实地测量并记录数据； 方案一 方案二 问题解决：请你选择一种方案计算这棵古愧树的高度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意选择方案一，由题意得．且，设，则，再列式即可求出古槐树的高度的长． 【详解】解：方案一： 设交于点， ， 由题意得．且， 四边形都是矩形， 设， 在中，， ， 在中，， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴， 答：这棵古槐树的高度为． 方案二： 如图，延长交于点， ， 由题意得．且， 四边形都是矩形， 设， 在中，， ， 在中， ， ， ，解得， ， 答：这棵古槐树的高度约为． 22. 学科实践 暑假期间，我市某公园为打造专属夜景景观特别安装了喷水装置，为保持人行绿道干燥，水柱要喷入河中，水柱可近似看作抛物线．如右图是截面图，已知人行绿道宽，是河道坝高，坝面的坡比为 ，在距离喷水口O处时，水柱距离人行道的高度达到最大值，以点O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）出于安全考虑，在坝顶A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，求护栏的最大高度． （2）当水面距离人行道的竖直距离为多少时，水柱恰好落在河水中（水面与交点处）？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、解直角三角形的应用、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出二次函数的顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数的解析式，将代入计算求解即可得； （2）设水面与的交点为点 ，过点 作于点，根据坡比可得，设，则，从而可得点 的坐标为，代入二次函数的解析式求出的值即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的表达式为， 这个二次函数的图象经过原点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为 ， 当时，， 答：护栏的最大高度为． 【小问2详解】 解：如图，设水面与的交点为点 ，过点 作于点， 则， 设，则， ∴点 的坐标为． 将代入 ，得， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当水面距离人行道的竖直距离为时，水柱恰好落在河水中． 23. 一副三角板分别记作 和，其中 ，， ， ．作 于点 ， 于点，如图1． （1）求证： ； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点 与点重合记为 ，点与点重合，将图2中的 绕 按顺时针方向旋转 后，延长交直线于点 ． ①当时，如图3，求证：四边形 为正方形； ②当 时，写出线段，，的数量关系，并证明；当 时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1） 证明：设 ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （2） ①∵ ，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∵ ，即 ， 而， ∴ ， ∴四边形 是正方形； ②当 时，线段，，的数量关系为；当 时，线段，，的数量关系为； 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明 ， ，可得 ，证明 ，可得四边形 为矩形，结合 ，即 ， 而，可得 ，从而可得结论；②如图，当 时，连接，证明 ，可得 ，结合 ，可得；②如图，当 时，连接，同理 ，结合 ，可得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①略 ②如图，当 时，连接， 由（1）可得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴； ②如图，当 时，连接， 由（1）可得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $