精品解析：河南省洛阳市东升第二初级中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年第一学期八年级检测数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、考号填写在答题卡的指定位置上． 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 3. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、当时，，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选： D． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】A．，，，两角夹一边，形状固定，根据能画出唯一△ABC，所以可作唯一三角形，故本选项符合题意。 B．，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； C．，，两个锐角也不确定，不能根据画出唯一三角形，也可画出多个三角形，故本选项不符合题意； D．，，，不能根据画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，是高，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中再次利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到． 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选：C ． 7. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   故选： B． 8. 如图，在中，度，点，分别在，上，则的大小为多少度（ ） A. 140 B. 190 C. 250 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，再由三角形外角的定义及性质得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵在中，度， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，若AB＝，AE＝，BE＝．则重叠部分（即△BDE）的面积是（　　　　） A. 10 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到∠EBD=∠DBC，∠EDB=∠DBC，易得ED=EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠2=∠1， ∵长方形纸片ABCD ∴ADBC, ∴∠3=∠1， ∴∠2=∠3， ∴ED=EB=5cm， ∵AB=4cm，AE=3cm，BE=5cm， ∴=DE×AB=×5×4=10()． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，以及三角形的面积公式．解决本题的关键是掌握折叠的性质． 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得（n-2）·180°=360°+540°， 解得：n=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、解一元一次方程，熟知多边形的外角和等于360°，内角和等于（n-2）·180°是解题的关键． 12. 若分式的值为的值是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据分式有意义的条件得出，根据分式的值为0，得出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 14. 当，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边，于E，F两点，M为线段上一动点，D为的中点，连接，．在点M的运动过程中， 的周长存在最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 连接、，等腰三角形中D为的中点，则，根据三角形面积公式求出的长度，根据垂直平分线的性质证得，进而证得，故的长为的最小值，据此得出结论即可． 【详解】解：连接、 是等腰三角形，D为的中点 是的垂直平分线 点关于的对称点为点 有最小值， 的周长存在最小值为 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，，代入原式即可求解． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 18. 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）若平分，交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形外角的性质是解题的关键．先根据三角形外角的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数． 【小问1详解】 解： ，， ． 【小问2详解】 解：是边上的高， , ． 又平分，由（1）得， ， 又, ． 19. 如图，，点在上． （1）作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于． （2）在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 【答案】（1） 如图所示： （2），证明如下： 平分，， ． 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，及垂直平分线的性质，三角形外角的性质，掌握基本的尺规作图的步骤，作出图形是解决问题的关键． （1）根据角平分线、垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）由角平分线可知，由垂直平分线可知，，，进而可知，利用外角可得，可得，进而可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； （2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【答案】（1）①，SSS （2） 证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题； (2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【小问1详解】 解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分） 故答案为：①，SSS； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 21. （1）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____． （2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图3的正方形． ①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系_____． ②若，，求的值． （3）【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】（1）；；（2）①，②；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，正确地计算图形的面积是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法计算图|中大正方形的面积即可得出答案；用两种不同的方法计算图2中大正方形的面积即可得出答案； （2）①用两种不同的方法计算图3中大正方形的面积即可得出代数式，，之间的等量关系；②根据①得，再将，代入计算即可得出的值； （3）设正方形的边长为，的边长分别为，则，， 根据得．由此可得的面积． 【详解】解：（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即， 图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为； 所以面积为， 所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故答案为：①②； （2）①大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为， ； ②由（1）得： ，， ； （3）设正方形和的边长分别为，， ，， ， ， ． 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 【答案】（1）４； （2）， 理由：如图，若是等边三角形，此时点在上， 点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【小问1详解】 解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 23. 实践与探究 点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动． 在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 ①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______； ②请写出线段、、的数量关系，并进行证明． （2）猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______； （3）拓展延伸 如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积． 【答案】（1）①； ②，证明如下： ， ， ， ． （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）①先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ②根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ，， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ， 由旋转的性质得：， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 则的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级检测数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、考号填写在答题卡的指定位置上． 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 3. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 6. 如图，在中，，是高，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 如图，在中，度，点，分别在，上，则的大小为多少度（ ） A. 140 B. 190 C. 250 D. 320 9. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，若AB＝，AE＝，BE＝．则重叠部分（即△BDE）的面积是（　　　　） A. 10 B. C. D. 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为______． 12. 若分式的值为的值是，则的值是_____． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为_____． 14. 当，则的值为________． 15. 如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边，于E，F两点，M为线段上一动点，D为的中点，连接，．在点M的运动过程中， 的周长存在最小值为________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）若平分，交于点，求的度数． 19. 如图，，点在上． （1）作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法． ①作的角平分线； ②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于． （2）在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明． 20. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； （2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 21. （1）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____． （2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图3的正方形． ①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系_____． ②若，，求的值． （3）【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 23. 实践与探究 点和线是最基本的图形，点、线运动带来的动态几何问题是常见的热点题型之一．解这类题目要“以静制动”，把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变． 为了培养学生的数学思维与探究能力，在数学实践与探究课上，王老师让同学们以“图形的运动”为主题开展数学学习活动． 在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接． （1）操作发现 ①当点D在线段上时，如图1．请你直接写出与的位置关系______； ②请写出线段、、的数量关系，并进行证明． （2）猜想论证 当点D在直线上运动时，如图2，点D在射线上．请写出线段、、的数量关系______； （3）拓展延伸 如图3，点D在射线上．若，，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $