精品解析：河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高一上学期阶段性考试（三）数学试题

环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第一学期阶段考试（三） 高一数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，再利用集合运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以. 故选：A 2. 下列函数中与函数是同一个函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项比对定义域及化简后的解析式即可选出答案. 【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数与函数的定义域都是，对应法也相同，所以是同一函数； 对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 4. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项. 【详解】函数定义域为R，排除选项A,B， 当时，，排除选项D. 故选：C. 5. 著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 16分钟 B. 18分钟 C. 20分钟 D. 22分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意代值计算即可. 【详解】由题知， 所以，可得， 所以，即. 故选：D. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 7. 设函数，则使成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可. 【详解】因为函数定义域是， ，所以函数为偶函数. 当时，由复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质可知，函数在上单调递减. 所以等价于， 进而等价于，即， 所以，解之可得或. 故选：B. 8. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】赋值法得到关于中心对称，在R上单调递增，，从而将不等式转化为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】， 令得，， 由于时，，令得， 故，即， 所以在上单调递增， 在中，令得， 令得， 故的图象关于中心对称，故在上单调递增， 又，且时，所以在R上单调递增， 由题意得， 故， 因为，中， 令得，所以， 由得，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合指数幂与对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以A正确； 对于B中，由，，且，可得，则， 所以， 当且仅当时，的最小值为，所以B正确； 对于C中，由，所以，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为， 又由， 所以的最大值为，所以C不正确； 对于D中，因为，可得. 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 所以D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由定义域和解析式相同可得A正确；由抽象函数的定义域求法可得B错误；由函数的单调性可得C正确；由二次方程根的分布可得D错误； 【详解】对于A，因为与的定义域都为，解析式相同，故A正确； 对于B，由的定义域为，则，所以的定义域为，故B错误； 对于C，由函数知，且为增函数，所以，值域为，故C正确； 对于D，令，由题意则或， 即或，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算性质求解AB,根据二次函数的性质即可求解C，根据对称即可求解D. 【详解】当时，，所以. 由题意作出函数的图象如图， 对于A，由题意结合图像可知， 因为，所以，即， 所以A选项正确： 又结合图象得，所以， 即所以B选项错误； 因为当时，， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以， 又，此时在上单调递增，所以，C选项正确： 因为与与关于直线对称，所以. 又与关于直线对称，所以， 所以，所以. 结合图象可知，所以,D选项正确， 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】应用分段函数解析式计算求解. 【详解】当时，，得（正值舍去）， 当时，，得（负值舍去）， 所以或. 故答案为：或 13. 已知，且，则的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由指对互化可得，再利用对数的换底公式和对数的运算性质计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：1. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）单调递增，. 【解析】 【分析】（1）根据对称性的定义证明或者由函数的对称性进行证明； （2）利用对称性把不等式化为，再根据单调性转化求解. 【小问1详解】 解法1：显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 由题意，， 所以， 所以函数的图象关于点对称. 解法2：由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. 【小问2详解】 由复合函数单调性可知单调递增， （证明：设，则，，从而， 所以，即，所以是增函数.） 由（1）知函数的图象关于点对称，故有，即， 所以， 因为，所以， 因为是单调递增函数，所以，即， 解得，所以实数的取值范围为. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元. 【解析】 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）因为， 所以； （2）时，， 时，， 时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，， 综上，（万台）时，年利润最大，最大利润为1360万元． 18. 已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）①当时，函数的定义域为：②当时，函数的定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数真数部分大于零分和解不等式； （2）含参恒成立问题可以转化为求的最大值，将其化简并利用换元法，进一步应用基本不等式得出最大值，即可得出参数的最小值. 【小问1详解】 令关于的不等式，有. ①当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为： ②当时，解不等式，可得， 此时函数的定义域为； 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 令， 有 令，可得， 因为，所以， 有， 由，当且仅当时取等号， 有，有， 所以，故的最小值为. 19. 已知，定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为2.求实数的取值范围； （2）若在上的截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）求范围. 【答案】（1）且 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意转化为有两个不同实数解，由即可求出的取值范围； （2）（i）由题意可得在上有两个解，不妨设，令，讨论函数的单调性，求出在上存在两个零点时的取值范围； （ii）由（i）得和，消去得，结合的取值范围即可求解. 【小问1详解】 当时，， 因为在上的截点个数为2， 即关于的方程有两个不同实数解， 所以且，即且. 【小问2详解】 （i）当时，， 因为在上的截点为与， 所以关于的方程在上有两个解， 即在上有两个解，不妨设， 令， 因为时，，所以在上至多一个解， 若，则就是的解， 从而，这与题设矛盾. 因此， 由得，所以， 由得，所以， 当时，方程在上有两个解. （ii）由和消去得， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的解题技巧： 求解此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环际大联考 “逐梦计划”2024~2025学年度第一学期阶段考试（三） 高一数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中与函数是同一个函数的是( ) A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 16分钟 B. 18分钟 C. 20分钟 D. 22分钟 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则使成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若方程有两个根，其中一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则__________. 13. 已知，且，则的值是__________. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数. （1）证明：函数的图象关于点对称； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 18. 已知函数且. （1）求函数的定义域； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值. 19. 已知，定义点集与的图象的公共点为在上的截点. （1）若在上的截点个数为2.求实数的取值范围； （2）若在上的截点为与. （i）求实数的取值范围； （ii）求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $