精品解析： 辽宁省大连市嘉汇集团2024-2025学年上学期12月八年级联考数学试题

2024-2025学年度第一学期学情测试八年级数学试卷 本试卷共3页，三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ） A B. C D. 4. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式的是图（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A. B. C. D. 9. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是________． 13. 若分式值为0，则x的值是______． 14. 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____． 15. 如图，中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若点为的中点，则______． 三、解答题（本题共8小题，其中16题8分，17题8分，18题7分,19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知：直线，直线分别交，于点，． （1）实践与操作 尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：试猜想线段和的数量关系，并说明理由． 18. 计算：． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出关于直线l对称的（A与，B与，C与相对应）； （2）在直线l上找一点P，使得最小； （3）在（2）的条件下，若点P到的距离为，到的距离为，则______（填“”，“”或“”）． 20. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 21. 综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． （2）【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． （3）【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 22. 综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若 为“十字分式方程”，则______；______． （2）若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 23. 在 中，点 D 在线段上，点 E，F分别在线段上，，． （1）如图1，当点B、F重合时，求证：点E 是线段的中点； （2）如图2，当 时，过点 D作 于点 G，请补全图形，探究线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，过点 F作于点K，探究线段与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学情测试八年级数学试卷 本试卷共3页，三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原数写成a×10﹣n，原数小数点左边起第一个不为零数字看小数点向右移动了几位，即为n的值． 【详解】解：0.0000000052＝5.2×10﹣9； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值小于１的科学记数法，确定a和n是解答本题的关键． 3. 如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边可知路径最短． 【详解】解：由“三角形两边之和大于第三边”可知： ， ， ， 故：路径最短． 故选：A． 【点睛】本题考查了“三角形两边之和大于第三边”；熟练掌握该性质是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，积的乘方和幂的乘方指数是相乘． 根据同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据比例基本性质，可知A、B、C不正确，D是分子分母同除以a，故正确. 故选：D. 7. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式的是图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形的面积逐一分析即可得解． 【详解】A．由图形面积可得，故本选项不符合题意； B．由图形面积可得，故本选项不符合题意； C．由图形面积可得，故本选项不符合题意； D．由图形面积可得，故本选项不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了多项式乘单项式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何验证，熟记完全平方公式是解题的关键． 8. 如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得∠且，再利用外角的性质得，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 故选：B． 9. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得， ． 故选：B 【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 10. 如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质和角平分线的定义．利用基本作图得到，平分，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 13. 若分式值为0，则x的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得x−1＝0且2x＋1≠0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 14. 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____． 【答案】144°． 【解析】 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答． 【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠C＝＝108°，BC＝DC， ∴∠BDC＝＝36°， ∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144°． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键． 15. 如图，中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若点为的中点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作于点，设，则，再根据的角所对的直角边等于斜边的一半得，，故，然后证明，根据全等三角形的性质得，然后解出的值即可，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，其中16题8分，17题8分，18题7分,19题8分，20题9分，21题10分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键． （1）利用多项式除以单项式法则计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，已知：直线，直线分别交，于点，． （1）实践与操作 尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：试猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图作垂直平分线，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可； （2）根据平行线的性质可得，，再由垂直平分线的性质得，即可证明，进而得到结论． 【小问1详解】 解：直线为所求． ； 【小问2详解】 解：， 理由如下：∵， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出关于直线l对称的（A与，B与，C与相对应）； （2）在直线l上找一点P，使得最小； （3）在（2）的条件下，若点P到的距离为，到的距离为，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解，三角形全等的判定与性质． （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）利用成轴对称的性质求解即可； （3）如图，连接，设点P到的距离为，到的距离为，证明，由即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：连接交直线于点P，点P即为所求； ， 当点三点共线时，有最小值， 有最小值； 【小问3详解】 解：连接，设点P到的距离为，到的距离为， 由对称的性质得：， ， ， ， ，即． 20. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 【答案】60亩 【解析】 【分析】设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键． 21. 综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． （2）【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． （3）【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）③④⑤ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． 【小问2详解】 证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． 【小问3详解】 解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 22. 综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若 为“十字分式方程”，则______；______． （2）若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】（1）， （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：可化为， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由已知得，， ∴； 【小问3详解】 解：原方程变为， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 23. 在 中，点 D 在线段上，点 E，F分别在线段上，，． （1）如图1，当点B、F重合时，求证：点E 是线段的中点； （2）如图2，当 时，过点 D作 于点 G，请补全图形，探究线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，过点 F作于点K，探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，设，则，则，由得到，，故，由互余关系得到，故，即可得到； （2）过点作交于点，连接，则，均为等腰直角三角形，那么，证明，则，可得也为等腰直角三角形，则 ，利用线段和差即可证明； （3）在上取点，连接，使得，连接，设，证明，则，，取的中点，连接，由得到，则，导角得到，则，故． 小问1详解】 证明：连接， 设 ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段中点； 【小问2详解】 解：，理由如下： 证明，补全如图，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴也为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下， 证明：在上取点，连接，使得，连接 设 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形的性质，难度较大，正确条件辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$