专题6 平面向量（考点精讲）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题6 平面向量 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 6 考点一：向量的概念 6 考点三：利用已知向量表示其他向量 10 考点六：平面向量坐标的基本运算 12 考点七：向量平行(共线)的判定 14 考点八：三点共线的判定及应用 15 考点九：平面向量的数量积运算 16 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 19 【考纲要求】 （1）理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. （2）理解平面向量的几何表示和基本要素. （3）了解空间直角坐标系，并会用其刻画点的位置，了解空间向量的概念. （4）掌握平面向量和空间向量的线性运算及其坐标表示，理解平面向量线性运算的几何意义 . （5）掌握平面向量和空间向量的数量积及其坐标表示，会表示两个平面向量的夹角. （6）了解平面向量和空间向量投影的概念及投影向量的意义. （7）理解平面向量基本定理及其意义，了解空间向量基本定理及其意义. （8）掌握平面向量和空间向量的正交分解及坐标表示. （9）会判断平面向量共线与垂直的关系. 【考向预测】 1. 向量相等、向量共线； 2. 向量加减法运算律的应用； 3. 向量的线性运算； 4. 共线向量定理及其应用； 5. 向量平行(共线)的判定； 6. 三点共线的判定及应用． 7. 平面向量数量积的运算； 8. 利用数量积解决求模问题； 9. 两向量的夹角和垂直问题． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 5. 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 6. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 7. 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 8. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 9. 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 10. 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 11. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念 例1．下列说法中正确的是 (　D　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 [解析]　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确． 例2．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与长度相等的向量； (3)写出与相等的向量． [分析]　(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与的方向相同的向量． [解析]　(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC， ∴与共线的向量为，，，，，，． (2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC． ∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为，，，，． (3)与相等的向量为，． [归纳提升]　相等向量与共线向量的探求方法 寻找相 等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线 寻找共 线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量 C．若，则 D．零向量与任意向量平行 【答案】D 【分析】根据向量的有关概念确定正确选项. 【详解】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确. 故选：D 2．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__①②③__．(填序号) ①＝；②∥； ③与共线；④＝． [解析]　∵与方向相同，长度相等，∴①正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，②正确； ∵AB∥DC，∴∥共线，③正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，④错误． 考点二：向量加减法运算律的应用 例1．化简下列各式： (1)＋＋＋＋； (2)(＋)＋＋＋． [分析]　首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和． [解析]　(1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0． (2)(＋)＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0． 例2．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是 (　C　) A．＝，＝ B．＋＝ C．＋＝＋ D．＋＋＝ [解析]　因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋． 例3．化简：(1)(－)－(－)． (2)－＋． (3)＋＋－－． [分析]　 [解析]　(1)方法一(统一成加法)　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0． 方法二(利用减法)　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0． 方法三(利用＝－)设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0． (2)方法一　－＋＝＋＝0． 方法二　－＋＝＋－＝－＝0． (3)＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝0＋＝． 【变式探究】1．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为 (　C　) A． B． C． D． [解析]　原式＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝． 2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　B　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　连接CF，取CF中点O，连接OE，CE. 则＋＋＝(＋)＋＝. 3．化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． [解析]　①＋－－＝(－)＋(－) ＝＋＝． ②(＋＋)－(－－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0． 考点三：利用已知向量表示其他向量 例1．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于 (　C　) A．(a－b)　　 B．－(a－b) C．(a＋b)　　 D．－(a＋b) [解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b)． 例2．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　D　) A．－　　 B．＋ C．＋　　 D．－ [解析]　＝＋＝＋＝－. [归纳提升]　解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示． 【变式探究】1. 如图所示，已知＝，用，表示． [解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋． 考点四：向量的线性运算 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果； （2）按照向量的运算法则依次计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 【变式探究】1. 下列各式计算正确的有 (　C　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [解析]　(1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b． 考点五：共线向量定理及其应用 例1．已知空间向量，，，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得. 【详解】 ， 由于，且， 所以，则， 所以，则， 所以. 故答案为： 【方法归纳】　用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 【变式探究】1. 已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 【答案】 【分析】由向量共线定理、平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】由题意设，而、是两个不平行的向量， 从而，解得. 故答案为：. 考点六：平面向量坐标的基本运算 例1．已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、、＋、－. [分析]　先计算出，的坐标，再进行向量的线性运算. [解析]　∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8) ∴＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； ＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； －＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3). 例2．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解. 【详解】（1） （2）设，由可得，所以 ，故 【方法归纳】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 【变式探究】1. 已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示＋＋. [解析]　＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)， ∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8). 2．已知，满足的点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意设，由平面向量的坐标运算，直接代入计算即可得到结果. 【详解】设，因为，则， 且，则，解得，所以 故答案为: 考点七：向量平行(共线)的判定 例1．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　B　) A．－6　　 B．6　　 C．2　　 D．－2 [解析]　a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6． 例2．若，，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设并写出坐标，根据及线性关系的坐标表示列方程求坐标值. 【详解】令，则，而， 所以，即，可得， 所以. 故答案为： 【方法归纳】1．向量共线的判定方法 2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 【变式探究】1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____. [解析]　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a＋λb)∥c， ∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝. 2．已知向量，与共线，则 ． 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由题知，， 因为与共线， 所以， 解得. 故答案为： 考点八：三点共线的判定及应用 例1．已知向量＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； [解析]　(1)∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b， ＝a＋5b，∴＝，∴∥， 又、有公共点B，所以A，B，D三点共线. 例2．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，设，根据平面向量基本定理得到方程组，即可得解. 【详解】∵向量与不共线，∴向量与可以作为平面内的一组基底， ∵，，三点共线，∴，设，即， 则，∴. 故选C. 【方法归纳】　若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断. 【变式探究】1．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ [解析]若A，B，C三点共线，则，共线， ∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0． 解得k＝－2或k＝11． 2．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A、B、D三点共线. [证明]　∵＝＋B＋ ＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A， ∴∥. 又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线. 考点九：平面向量的数量积运算 例1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). 【解析】　①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－)＝－3． ②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5． ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34． 例2. 已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积得坐标公式计算即可. 【详解】，解得. 故选：C. 【变式探究】1．已知，与的夹角是120°，则等于（　　） A．3 B．－3 C．－3 D．3 【答案】B 【分析】由数量积的定义计算即可得出答案. 【详解】因为，与的夹角是120°， 由数量积的定义，得. 故选：B 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　C　) A．12　　 B．0　　 C．－3　　 D．－11 [解析]　∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3． 考点十：利用数量积解决求模问题 例1．已知向量与的夹角为，，，则 . 【答案】6 【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解. 【详解】由题意，向量与的夹角为，，， 所以， 所以, 故答案为：6 例2．已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先求出的坐标，再利用坐标求出模即可 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C 例3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【解析】　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. 【方法归纳】　1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. 2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 【变式探究】1．已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据求得结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 2. 已知a＝(1，n)，b＝(－1，n).若2a－b与b垂直，则|a|＝(　C　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．4 [解析]　由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0， 即2a·b－b2＝0． 故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3． 所以，|a|＝＝＝2． 3．已知向量，，且，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求. 【详解】，，，解得， ， ， . 故选：A. 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 例1．若向量满足，则向量夹角的大小为（    ） A． B．. C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式展开可求得，再结合向量夹角的范围即得夹角. 【详解】由两边取平方，， 设向量夹角为，则有，则， 因，故. 故选：D. 例2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__. [解析]　cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍). 例3．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2). (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. [解析]　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2， ∴＝2，∴x2＋y2＝20． 由c∥a和|c|＝2，可得 解得或 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4). (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－， ∴cos θ＝＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 【方法归纳】　1．求向量夹角的方法 求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解. 2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝. 3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数. 【变式探究】1. 已知，，则，夹角的大小为 ． 【答案】120° 【分析】根据向量的夹角公式计算求解即可. 【详解】设，夹角为，， 故答案为：120°. 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】先求出，根据即可求解. 【详解】， 由，可得， 即，解得. 故选：D. 3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝(　C　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ [解析]　由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0， 而ka＋b＝(2－k,3k－1)， a－2b＝(－5,5)， 故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 平面向量 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 6 考点一：向量的概念 6 考点三：利用已知向量表示其他向量 10 考点六：平面向量坐标的基本运算 12 考点七：向量平行(共线)的判定 14 考点八：三点共线的判定及应用 15 考点九：平面向量的数量积运算 16 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 19 【考纲要求】 （1）理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. （2）理解平面向量的几何表示和基本要素. （3）了解空间直角坐标系，并会用其刻画点的位置，了解空间向量的概念. （4）掌握平面向量和空间向量的线性运算及其坐标表示，理解平面向量线性运算的几何意义 . （5）掌握平面向量和空间向量的数量积及其坐标表示，会表示两个平面向量的夹角. （6）了解平面向量和空间向量投影的概念及投影向量的意义. （7）理解平面向量基本定理及其意义，了解空间向量基本定理及其意义. （8）掌握平面向量和空间向量的正交分解及坐标表示. （9）会判断平面向量共线与垂直的关系. 【考向预测】 1. 向量相等、向量共线； 2. 向量加减法运算律的应用； 3. 向量的线性运算； 4. 共线向量定理及其应用； 5. 向量平行(共线)的判定； 6. 三点共线的判定及应用． 7. 平面向量数量积的运算； 8. 利用数量积解决求模问题； 9. 两向量的夹角和垂直问题． 【知识导图】 【知识清单】 一、任意角和弧度制 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 5. 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 6. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 7. 向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 8. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 9. 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 10. 平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 11. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【考点分类剖析】 考点一：向量的概念 例1．下列说法中正确的是 (　 　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 例2．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与长度相等的向量； (3)写出与相等的向量． [分析]　(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与的方向相同的向量． [归纳提升]　相等向量与共线向量的探求方法 寻找相 等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线 寻找共 线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量 C．若，则 D．零向量与任意向量平行 2．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__ __．(填序号) ①＝；②∥； ③与共线；④＝． 考点二：向量加减法运算律的应用 例1．化简下列各式： (1)＋＋＋＋； (2)(＋)＋＋＋． [分析]　首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和． 例2．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是 (　 　) A．＝，＝ B．＋＝ C．＋＝＋ D．＋＋＝ 例3．化简：(1)(－)－(－)． (2)－＋． (3)＋＋－－． 【变式探究】1．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为 (　 　) A． B． C． D． 2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝(　 　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 3．化简：①＋－－； ②(＋＋)－(－－)． 考点三：利用已知向量表示其他向量 例1．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于 (　 　) A．(a－b)　　 B．－(a－b) C．(a＋b)　　 D．－(a＋b) 例2．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　D　) A．－　　 B．＋ C．＋　　 D．－ [归纳提升]　解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示． 【变式探究】1. 如图所示，已知＝，用，表示． 考点四：向量的线性运算 例1．计算： (1)； (2)． 【变式探究】1. 下列各式计算正确的有 (　C　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点五：共线向量定理及其应用 例1．已知空间向量，，，且，，若，则 ． 【方法归纳】　用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 【变式探究】1. 已知、是两个不平行的向量，，，且，则k的值为 . 考点六：平面向量坐标的基本运算 例1．已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、、＋、－. 例2．如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【方法归纳】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 【变式探究】1. 已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示＋＋. 2．已知，满足的点C的坐标是 ． 考点七：向量平行(共线)的判定 例1．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　B　) A．－6　　 B．6　　 C．2　　 D．－2 【方法归纳】1．向量共线的判定方法 2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 【变式探究】1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为__ __. 2．已知向量，与共线，则 ． 考点八：三点共线的判定及应用 例1．已知向量＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； 例2．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（　　） A． B．2 C．1 D． 【方法归纳】　若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下方法： 任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断. 【变式探究】1．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 2．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A、B、D三点共线. 考点九：平面向量的数量积运算 例1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). 例2. 已知向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【变式探究】1．已知，与的夹角是120°，则等于（　　） A．3 B．－3 C．－3 D．3 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 　) A．12　　 B．0　　 C．－3　　 D．－11 考点十：利用数量积解决求模问题 例1．已知向量与的夹角为，，，则 . 例2．已知向量，则等于（    ） A．2 B．3 C．3 D．5 例3．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　 　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 【方法归纳】　1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. 2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误. 【变式探究】1．已知向量与的夹角为，，，则 ． 2. 已知a＝(1，n)，b＝(－1，n).若2a－b与b垂直，则|a|＝(　C　) A．1　　 B．　　 C．2　　 D．4 3．已知向量，，且，则（    ） A．5 B． C．10 D． 考点十一：两向量的夹角和垂直问题 例1．若向量满足，则向量夹角的大小为（    ） A． B．. C． D． 例2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝_ __. 例3．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2). (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 【方法归纳】　1．求向量夹角的方法 求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解. 2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝. 3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数. 【变式探究】1. 已知，，则，夹角的大小为 ． 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝(　 　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$