17.5 反证法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

17.5 反证法 数学（冀教版） 八年级 上册 第十七章 特殊三角形 学习目标 1.理解反证法的概念及证明的步骤. 2.会运用反证法来解决简单的证明题，理解反证法解题的注意事项. 　 温故知新 综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、基本事实等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果. 条件 结论 数学推理 条件 定理 公理 定义 P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q … 由因导果 　 导入新课 分析法 从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件. 要证： 只要证： 只需证： 显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立 要证：     所以 结论成立 格 式 讲授新课 知识点一 反证法 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢？ 讲授新课 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 知识点 利用反证法进行证明 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设∠A=∠B =90°. ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 讲授新课 归纳 上面的证明过程，是先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明的方法. 讲授新课 典例精析 【例1】用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图.直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 讲授新课 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∵∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直 线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且 只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 讲授新课 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： （1）第一步，假设命题的结论不成立. （2）第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果． （3）第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 归纳总结 讲授新课 练一练 1、用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 讲授新课 证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取C'D=CB，连接A′D. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∵AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理). 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立，即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 讲授新课 基本概念 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法. 否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 原结论成立 合理的推理 讲授新课 在证明一个命题时,先假设命题不成立，从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 反证法定义: 讲授新课 1、求证在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交 l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3∥l2 l1∥l2 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 这与“____________________________ _____________”矛盾. 证明: 假设____________,那么_________. 因为已知_________, 所以_________,即求证的命题正确. 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 假设 推理 矛盾 假设不成立 命题成立 讲授新课 1.提出假设 2.推理论证 3.得出矛盾 4.结论成立 以假设为条件，结合已知条件推理. 这与“......”相矛盾 所以假设不成立，所求证的命题成立. 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 反证法的步骤： 得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 当堂检测 1.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600. 证明： 假设所求证的结论不成立，即 ∠Ａ＿＿60°， ∠Ｂ＿＿60°， ∠Ｃ＿＿60° 则　∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ　＜　1800 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 所以假设＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立． ＜ ＜ ＜ 三角形三个内角的和等于180° 不成立 Ａ Ｂ Ｃ 当堂检测 假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P 2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1， l3∥l2 求证： 而l1∥l2,l3 ∥l1 这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 所以假设不成立，即l3∥l2 证明： l1 l3 l2 P 当堂检测 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C都不是锐角， 则∠B≥90°，∠C≥90°， ∴∠B＋∠C≥180°. 则该三角形的三个内角的和一定大于180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立， 即∠B和∠C都是锐角． ∴等腰三角形的底角是锐角． 3.用反证法证明等腰三角形的底角是锐角． 已知：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B和∠C都是锐角． 当堂检测 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 4、用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. A B C A' B' C' 当堂检测 假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取C′D=CB，连接A′D. 在△ABC和△A′DC′ 中，∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D，∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∵AB = A′B′ (已知)，∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 证明： A B C A' B' C' D 当堂检测 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立， 即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. A B C A' B' C' D 当堂检测 5.用反证法证明在一个三角形中，不能有两个角是钝角. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角． 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角． 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨 设∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞ 180°，这与三角形的内角和定理相矛盾. 故 ∠A， ∠B均大于90°不成立． 所以在一个三角形中不能有两个钝角． 当堂检测 6、阅读下列文字，回答问题. 例题：在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，若∠ A ≠45°，求 证： AC ≠ BC . 证明：假设 AC ＝ BC ，∵∠ A ≠45°，∠ C ＝90°， ∴∠ A ≠∠ B . ∴ AC ≠ BC ，这与假设矛盾， ∴ AC ≠ BC . 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方 法；若有错误，请予以改正. 当堂检测 【解】有错误.改正： 假设 AC ＝ BC ，则∠ A ＝∠ B . 又∵∠ C ＝90°，∴∠ B ＝∠ A ＝45°， 这与∠ A ≠45°矛盾， ∴ AC ＝ BC 不成立，∴ AC ≠ BC . 课堂小结 反证法 否定问题结论 推演过程中引出矛盾 肯定结论 与题设相矛盾 与假设相矛盾 与定义、公理、定理、公式相矛盾 自相矛盾 谢 谢~ $$