17.5 反证法-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件（冀教版）河北专版

八年级上册 数学 冀教版 2024 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 1.通过实例体会反证法的含义. 2.掌握反证法证明命题的一般步骤，能用反证法进行简单的推理证明. 3.借助实例感受反证法的思想. 学习目标 学习重点：从生活实例中抽取反证法的方法步骤 学习难点：在反证法中如何在正确的推理下得到矛盾 学习重难点 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 导入新课 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢? 思考： 该命题直接去证明，显然比较麻烦，所以，我们如何去证明呢？ 导入新课 已知：如图17-5-1，∆ABC. 求证：在∆ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 学生活动一 【一起探究】 探究新知 证明：假设∆ABC中，有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°. ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C>180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 探究新知 现在你能总结反证法的一般思路吗？ 学生活动二 【归纳总结】 探究新知 反证法证明的一般步骤： 第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。 探究新知 例1：用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知:如图，已知AB ∥CD，直线EF分别于直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角. 求证： ∠1= ∠2. 典例精讲 证明：假设∠1 ≠ ∠2 过点G作直线MN，使得∠EGN= ∠1 . ∵ ∠EGN= ∠1 , ∴MN ∥CD（基本事实） 又∵ AB ∥CD（已知） ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行， 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。 ∴ ∠1 ≠ ∠2的假设是不成立的。 因此， ∠1= ∠2. 典例精讲 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 典例精讲 证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取连接A′D . 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∴AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). 典例精讲 接上页证明∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立， 即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 典例精讲 1．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　　　　.　　　　　　　　2．“a<b”的反面应是 （ ） A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 巩固练习 3．证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ） A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角 巩固练习 4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 巩固练习 5．完成下列证明．在△ABC中，若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立， 则∠B是 或 ， 当∠B是 时，则 ，这与 矛盾； 当∠B是 时，则 ，这与 矛盾． 综上所述，假设不成立． ∴∠B一定是锐角． 巩固练习 反证法证明的一般步骤： 第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。 回顾反思 基础性作业：课本第164页做一做、 习题第1题 拓展性作业：课本164页习题第2题 七彩作业 课后作业 $$