精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年重庆市长寿中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：中，有两个未知数，不是一元二次方程，故A不符合要求； ，不是整式方程，不是一元二次方程，故B不符合要求； ，是一元二次方程，故C符合要求； ，次数为3，不是一元二次方程，故D不符合要求； 故选：C． 2. 一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把-5移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 4. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 二次函数 的顶点为：，对称轴为直线，故C，D选项错误不符合题意， ∵， ∴当时，有最小值，开口向上，故B选项错误，不符合题意，A选项正确，符合题意， 故选：A． 5. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：对方出“剪刀”．这个事件是是随机事件， 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，随增大而减小， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 7. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于度，求出，从而由圆周角定理得，最后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答，②当绕点旋转圈数时，，即可得到答案． 【详解】解：①如图， ∵， ∴， ∵绕点旋转到得到， ∴， ∴， ∴． ②当绕点旋转圈数时，， 故最小旋转度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 9. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ） A. 或5 B. 5或6 C. 或6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，根据切线的性质及垂径定理可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案． 【详解】如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接， ∵的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上， ∴设， ∵与轴相切于，， ∴轴，，， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得：，， ∴或， ∴半径是或6， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键， 根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵点C的纵坐标在～之间， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵令相等，则 ∴，解得（舍），， ∴，故④正确； 故选A． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案填在答题卡上． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵平面直角坐标系内的点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：7． 12. 一种药品经过两次降价，药价从每盒50元降至32元，平均每次降价的百分率是______． 【答案】 【解析】 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于0且小于1的值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得：， 解得：（舍去）， ∴平均每次降价的百分率是， 故答案为：． 13. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 15. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 16. 如图，矩形中，以D为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．，，则图中阴影部分的面积___________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点F，根据矩形四个角都是直角，推出四边形是矩形，得到，根据，得到，，推出，推出． 【详解】过点E作于点F， 则， ∵矩形中， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的边角性质，含的直角三角形的边的性质，扇形的面积计算公式，梯形面积计算公式，熟练掌握把不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 17. 若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数之和为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题以及不等式组的求解．正确的计算出a的取值范围是解题的关键．根据二次函数图象与y轴的交点纵坐标为非正数可得且，再结合不等式组有且只有三个整数解，求得a的取值范围即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为非正数， ∴且， ∴且， 解不等式组，根据不等式有解集，可得， ∵不等式组有且只有三个整数解 ∴， ∴， 结合且，可得，且， ∴符合条件的所有整数a有4、5， ∴， 故答案为：． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若个位与千位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“唯善呈和数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“唯善呈和数”，并规定，则______；若已知数m为“唯善呈和数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最大值为______． 【答案】 ①. 27 ②. 9449 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的乘除，完全平方数， 根据定义可得的值，设为，则为，根据题中定义可得的值，再根据题意推导得，即可解答．理解新定义的概念是解题的关键． 【详解】解：根据定义可得：， 设为，则为， 根据题意 整理得： ， 是一个完全平方数，且x，y不相等，，，则， 为1， ， ，，要使得最大， ，， 即满足条件的m的最大值为． 故答案为：27，9449． 三、解答题（本大题共8小题，第19题8分，第20题到第26题每小题8分，共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解． （1）利用求根公式直接求解即可得到答案； （2）利用因式分解法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程变形得， ， 因式分解得，， ∴，． 20. 关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）若比大7，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）化为一般式为，进而求得判别式，根据，即可求解； （2）由根与系数的关系，得．可得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 化为一般式为． 则． 由已知，关于的方程有两个实数根，， ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得． ∵ ． 得． 解得，或． 由（1）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转所得的； （3）在（2）的条件下，求扫过图形的面积． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，勾股定理，扇形的面积， （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据“扫过图形的面积的面积扇形的面积”计算即可； 掌握旋转变换的性质，正确得出“扫过图形的面积”的表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，点、、分别为点、、关于原点对称的对应点， 连接、、， 则即为所作，此时的坐标为； 【小问2详解】 如图，点、分别为点、绕点顺时针旋转所得的对应点， 连接、、， 则即为所作； 【小问3详解】 由图形可知， ， ∴扫过图形的面积的面积扇形的面积 ， ∴扫过图形的面积为． 22. 如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得． （1）求证：为半圆O的切线； （2）若，求半圆O的半径长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，，再由三角形内角和推出即可证明为半圆O的切线； （2）连接，设半圆O的半径长为r，根据勾股定理得到，即，求解次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设半圆O的半径长为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴半圆O的半径长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，三角形内角和等知识，熟练掌握切线的判定，正确作出辅助线，利用勾股定理联立方程是解决问题的关键． 23. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育运动项目：A．足球B．篮球C．射箭D．羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种体育运动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的射箭项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加射箭比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 【答案】（1）200 （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的识别、概率的求法： （1）根据图中A的人数及其占扇形的圆心角即可求出总人数； （2）用总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而可补全条形统计图； （3）画出树状图求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得这次被调查的总人数为：（人）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：C的人数：60（人），补全图形，如图所示： ； 【小问3详解】 解：画出树状图： 总共12种可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种， 故概率为． 24. 商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2）这种水果的售价25元/千克或35元/千克； （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意可以写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为； （2）面积的最大值是，此时点P的坐标为 （3）的坐标为或．求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）连接，过作轴交于，求出，可得直线函数表达式为，设，即可得，由为的中点，有，根据二次函数性质可得答案； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位，得新抛物线，新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，且；②若，为对角线，；③若，为对角线，． 【小问1详解】 解：把，点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， 由，得直线函数表达式为， 设，则， ， ， 为的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时，， 面积的最大值是，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：，， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 新抛物线， 新抛物线的对称轴为直线， 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 此时方程组无实数解； ②若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； ③若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 26. 为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． （1）如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； （2）如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论； （3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：；理由如下： 延长，取，连接，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，绕点A逆时针旋转， ∴，且当、B、E三点共线时，等号成立， ∴当点E在线段上时，最小，如图所示： 过点D作于点N， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市长寿中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，有最大值 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 5. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 6. 已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于圆，为圆的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 9. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ） A. 或5 B. 5或6 C. 或6 D. 5 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案填在答题卡上． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 一种药品经过两次降价，药价从每盒50元降至32元，平均每次降价的百分率是______． 13. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 14. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 15. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 16. 如图，矩形中，以D为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．，，则图中阴影部分的面积___________．（结果不取近似值） 17. 若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数之和为_____． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若个位与千位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“唯善呈和数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“唯善呈和数”，并规定，则______；若已知数m为“唯善呈和数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，第19题8分，第20题到第26题每小题8分，共78分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）若比大7，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点顺时针旋转所得的； （3）在（2）的条件下，求扫过图形的面积． 22. 如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得． （1）求证：为半圆O的切线； （2）若，求半圆O的半径长． 23. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育运动项目：A．足球B．篮球C．射箭D．羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种体育运动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的射箭项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加射箭比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 24. 商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 26. 为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． （1）如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； （2）如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $