专题07 特殊平行四边形期末复习（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题07 特殊平行四边形 菱形的性质和判定 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是_____ cm2． 2.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（   ） A．12 B．15 C． D． 3.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在菱形中，，则的长为（  ）       A． B．1 C． D． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ．    5.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，连接，，，则的长为 ． 6.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．24 B．18 C．12 D．9 7.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．四边形是菱形 C． D．四边形与四边形是位似图形 8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在菱形中，，，点是上不与点和点重合的一个动点，过点分别做和的垂线，垂足为，则的值为（     ）    A． B．2 C． D．4 9.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D．无法确定 10.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 11.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（  ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在菱形中，点分别在边上，，则的长为 ． 13.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，在△ABC中，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交边于点M，交边于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P； ③作射线交边于点E； ④分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点G，H； ⑤作直线，分别交，于点D，F； ⑥连接，． 求证：四边形为菱形． 14.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 15.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 矩形的性质和判定 1.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在矩形中，对角线，BD交于点O，已知，，则的长为 ． 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，矩形中，，．在边AD上取一点E，使．过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 3.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（  ） A．1 B． C． D．4 4.（23-24辽宁省鞍山市九上期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 5.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　） A．8° B．10° C．15° D．20° 6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（   ） A．小明，小红都对 B．小明，小红都错 C．小明错误，小红正确 D．小明正确，小红错误 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ）    A． B． C． D．4 8.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，点，之间距离的最大值是 ．    9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以，为边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 10.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在△ABC中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s． (1)用含t的代数式表示 ； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 12.（23-24辽宁省大东区九上期末）【问题初探】 （1） “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在△ABC中，，是腰上的高，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求证：； 如图，小丽同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作于点，将线段，，之间的关系转化为线段，，之间的数量关系． 如图，小亮同学从，，均为三角形腰上的高出发，连接，用等面积方法得到结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图，在矩形中，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 13.（23-24辽宁省丹东市九上期末）2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务． 【方法解析】 求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，△ABC中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．    （1）请你按材料中的分析写出证明过程； 【数学思想】 （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 【知识迁移】 （3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长． 正方形的性质综合 1.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 2.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（  ） A．1 B． C．2 D． 3.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接，若，则的长度为 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 5.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接是的中点，连接，设与和分别相交于点G和N，则4个结论：①；②若，则；③；④，其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，正方形的边长为3，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（   ）    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．    9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 10.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若． (1)求证：； (2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明） 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角的平分线上一点，且．求证：． (1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： (2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． (3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 12.（23-24辽宁省大东区九上期末）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    特殊平行四边形的折叠问题 1.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 2.（22-23辽宁省锦州市九上期末）如图，在矩形中，E为中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若F为中点，，则的面积为（    ）    A．2 B．3 C． D． 3.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，正方形的边长为4，，，分别是边，，上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 4.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 5.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，连接将沿折叠，点A对应点为F，延长交于点G，点M，N分别是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 6.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，将长为4，宽为3的矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边上，点A，B的对应点分别为E，F，当点E为三等分点时，的长为 ． 7.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，矩形纸片，点分别在上，把纸片沿折叠，点的对应点分别为，直线交边于点，则的值为 ． 8.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ． 特殊平行四边形综合 1.（23-24辽宁省本溪市九上期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（  ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2.（23-24辽宁省锦州市九上期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（  ） A．对边相等 B．对角线互相垂直 C．邻边垂直 D．对角线互相平分 3.（23-24辽宁省阜新市九上期末）下列命题中，不正确的是（  ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线垂直平分的四边形是菱形 C．矩形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）下列命题正确的是（  ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 5.（23-24辽宁省辽中区九上期末）下列四个命题，其中真命题为（  ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形； B．两条对角线相等的四边形是矩形； C．矩形是轴对称图形，且有两条对称轴； D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且，则图2中对角线的长为（   ） A． B． C． D． 7.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，矩形的对角线AC、BD相交于点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8.（22-23辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，，则的长度为（    ）    A．8 B．10 C． D． 9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 10.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若为中点，，求的长． 11.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 12.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）[问题情境] 如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点． 【特例感知】 （1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：； 【深入探究】 （3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．    中点四边形 1.（23-24辽宁省丹东市九上期末）下列命题中，错误的是（  ） A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形 B．点，都在反比例函数图象上，且，则 C．线段的长度是2，点是线段的黄金分割点且，则 D．对于任意的实数，方程有两个不相等的实数根 2.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 3.（23-24辽宁省阜新市九上期末）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    4.（23-24辽宁省丹东市九上期末）【问题初探】 数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质． 首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形；接下来张老师提出问题：如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，则中点四边形是什么形状？中点四边形的面积与原四边形的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程． 班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形是平行四边形，且中点四边形的面积是原四边形面积的一半． 证明如下： 证明：如图2，连接， 点，分别为，的中点 是的中位线，根据三角形中位线定理可得： 与的位置关系为________，数量关系为________． 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， 根据线段，的关系，进而可得， （1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整． 且________．同理： ； 【类比探究】 （2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形的周长与对角线，长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空） ①当对角线，满足________关系时，中点四边形为菱形？ ②当对角线，满足________关系时，中点四边形为矩形？ ③中点四边形的周长与对角线，长度有怎样的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形内部有一点，连接，，，，点，分别是，的中点，连接，若，，，，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 特殊平行四边形 菱形的性质和判定 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是_____ cm2． 【答案】24 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 2.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（   ） A．12 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形中， ∴AB=BC ∵ ∴△ABC为等边三角形 ∴AB=BC=AC=3 ∴该菱形的周长为3×4=12． 故选A． 3.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在菱形中，，则的长为（  ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ．    【答案】5 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 5.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，连接，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，为的中点， ∴△ABC是等边三角形，， ∴， 故答案为：． 6.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（   ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：A． 7.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．四边形是菱形 C． D．四边形与四边形是位似图形 【答案】A 【详解】解：∠BAD不一定等于为， ∴不一定都是等边三角形，A错误，符合题意； ∵四边形为菱形， ， ∵，分别是边、、的中点， ， ∴四边形是菱形，B正确，不符合题意； ∵四边形为菱形，点，分别是边、、的中点， ， ，C正确，不符合题意； 四边形与四边形都是菱形，点，分别是边、、的中点，点A为公共点， ∴四边形与四边形是以A为位似中心的位似图形，D正确； 故选：A． 8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在菱形中，，，点是上不与点和点重合的一个动点，过点分别做和的垂线，垂足为，则的值为（     ）    A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】连接 交于点,    四边形是菱形， ∴, ∴, ，， ， ∴, ∴ , 故选 A . 9.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长． 故选：A． 10.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（  ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 综上所述：选择①③④，使得四边形是菱形， 故选：C． 12.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在菱形中，点分别在边上，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，过点A作于点K，过点D作交的延长线于点P， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：3 13.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，在△ABC中，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交边于点M，交边于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P； ③作射线交边于点E； ④分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点G，H； ⑤作直线，分别交，于点D，F； ⑥连接，． 求证：四边形为菱形． 【详解】证明：记，的交点为， 由作图可得：是的垂直平分线， ∴，，， ∴， 由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 14.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴OA=OC=2， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 15.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ； （2）解：由（1）可知，是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 矩形的性质和判定 1.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在矩形中，对角线，BD交于点O，已知，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，矩形中，，．在边AD上取一点E，使．过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 即 解得 故选：B 4.（23-24辽宁省鞍山市九上期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D为AB中点， ∴DF=AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 即， 解得：DE=8， ∴EF=DE - DF=3， 故选B． 5.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　） A．8° B．10° C．15° D．20° 【答案】B 【详解】解：由题意得MN垂直平分AB， ∴AD=BD，∠ADE=90°， ∵∠ACB＝90°， ∴CD=AD=BD， ∴∠BCD=∠B＝40°， ∴∠ADC=2∠B＝80°， ∴∠CDE=∠ ADE -∠ADC=10°， 故选：B． 6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（   ） A．小明，小红都对 B．小明，小红都错 C．小明错误，小红正确 D．小明正确，小红错误 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 射线是的角平分线， 故小明的说法正确； 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， 射线是的角平分线， 故小红的说法正确． 故选：A． 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，   矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 8.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，点，之间距离的最大值是 ．    【答案】 【详解】如图所示，取的中点，连接，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴当点，，三点共线时，有最大值， ∴最大值， 故答案为：． 9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以，为边作平行四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作交的延长线于点， 交的延长线于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作交的延长线于点，于点， 则 ， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 10.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在△ABC中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s． (1)用含t的代数式表示 ； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）∵动点P从点A开始沿边以的速度运动， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由题意得，， ， 当四边形为矩形时，， ∴， ∴． （3）当时，如图1，过点Q作于E， ∴，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，如图2，过点Q作于E， ∴， 当时，， ∴， 解得：； ∴或9． 12.（23-24辽宁省大东区九上期末）【问题初探】 （1） “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在△ABC中，，是腰上的高，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求证：； 如图，小丽同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作于点，将线段，，之间的关系转化为线段，，之间的数量关系． 如图，小亮同学从，，均为三角形腰上的高出发，连接，用等面积方法得到结论． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图，在矩形中，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，，，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，求的值． 【详解】（1）证明：过点作， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ，，， ， ， ， ． （2）解：设与的交点为，连接， 四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得：； （3）解：，，， ， ， ，， ， ，， ． 13.（23-24辽宁省丹东市九上期末）2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务． 【方法解析】 求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，△ABC中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．    （1）请你按材料中的分析写出证明过程； 【数学思想】 （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 【知识迁移】 （3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长． 【详解】（1）证明：延长到，使得，连接、， ∵是斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）根据将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，体现了转化思想，故选A； （3）解：过点，在上方作，过点作于，过点，在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，    则四边形、四边形、四边形都为矩形， ∴四边形、四边形均为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点，分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形， ∴点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 正方形的性质综合 1.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 【答案】22.5 ° 【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°， 又∵CE=AC， ∴∠E==22.5°． 故答案为：22.5°． 2.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 3.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接，若，则的长度为 【答案】 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与， ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故答案为：． 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中， ∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点 ∴OM=ON， ∵∠MPN=90°， ∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°， ∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°， ， 故选：C． 5.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接是的中点，连接，设与和分别相交于点G和N，则4个结论：①；②若，则；③；④，其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形中， ∴ ∴ 又 ∴， ∴， ∴即 又 ∴ 又是正方形的对角线， ∴ ∴ 又 ∴,故①正确； 连接过点M作于点H，如图，    ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴ ∴即 ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵M是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ 由于无法判断，故②说法错误； ∵ 又 ∴，故③正确； ∵ ∴， ∴ ∴，故④正确， 综上，正确的是①③④， 故选：B 6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，正方形的边长为3，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵正方形的边长为3，点是的中点，为正方形的对角线 ∴，，， ∴ ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故①正确； ∵， 根据勾股定理 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②正确； 如图，作于 ∵， 根据勾股定理可得 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴垂直平分 ∴ 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即 解得GH＝ 故④正确． 故选：D． 7.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（   ）    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④不正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示，    由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③. 故选：D. 8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，正方形，点是射线上的动点，过点作，交直线于点，连接，取中点，连接并延长交直线于点，若，，则的长为 ．    【答案】或/或 【详解】解：点在线段上时，如图，作于，   四边形是正方形，， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点在射线上时，如图，作于，   四边形是正方形，， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 【详解】（1）延长到点G，使， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 延长到点G，使， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接． 则：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若． (1)求证：； (2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明） 【详解】（1）证明：在上截取，连结． 是等边三角形， ，． ，， ． 又平分， ， ． 又，， ， 即． 为等边三角形， ∴， ， 即， ∴≌， ． （2）成立． 在上取一点E，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴≌， ∴. 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角的平分线上一点，且．求证：． (1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： (2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． (3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图③，延长到，使，连接、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的外角的平分线上一点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：选（1），证明如下： 由等边三角形的性质，外角平分线，可得，， 如图①，延长到，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12.（23-24辽宁省大东区九上期末）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 特殊平行四边形的折叠问题 1.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设折痕为，连接交于点， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 折叠后点与点重合， ， ， 解得：， 在和中， ， ≌， ， EF= 故答案为：． 2.（22-23辽宁省锦州市九上期末）如图，在矩形中，E为中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若F为中点，，则的面积为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】连接，如图所示    由折叠性质得：， ∴ ∵点是 的中点 ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 在 与 中 ∴ ∴ ∵点恰好是的中点 在中， 即 解得 故选C． 3.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，正方形的边长为4，，，分别是边，，上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 【答案】 【详解】过点H作HG⊥CD于点G，连接DE， DE交FH于点Q， 则∠HGF=∠HGD=90°， ∴∠HFG+∠FHG=90°， ∵正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°， ∴四边形DAHG中，∠AHG=90°， ∴四边形DAHG是矩形， ∴GH=AD， ∴GH=CD， 由折叠知，FH⊥DE， ∴∠DQF=90°， ∴∠QFD+∠QDF=90°， ∴∠GHF=∠CDE， ∵∠HGF=∠C=90°， ∴△DCE≌△HGF(ASA)， ∴FH=DE， ∵E是BC中点， ∴CE=BC=2， ∴， ∴FH= 故答案为． 4.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示， ∵正方形面积为2， ∴， 由折叠的性质：， ∴图中阴影部分的周长为： ． 故选:D． 5.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，正方形的面积为12，点E在边上，且，连接将沿折叠，点A对应点为F，延长交于点G，点M，N分别是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为：， 在中，，， ∴， ∴， ∵沿折叠，点A对应点为F， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 连接， 在中：， ∵点M，N分别是，的中点， ∴； 故选A． 6.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，将长为4，宽为3的矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边上，点A，B的对应点分别为E，F，当点E为三等分点时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，过点M作于H，则四边形都是矩形，设交于T， ∴， 由折叠的性质可知，， 当点E是靠近点D的三等分点时， ∴，， 设，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 同理，当E为靠近点C的三等分点时，； 综上所述，或； 故答案为：或． 7.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，矩形纸片，点分别在上，把纸片沿折叠，点的对应点分别为，直线交边于点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，设与交于点O，如图所示： 由折叠与对应易知：， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ． 【答案】或10． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 特殊平行四边形综合 1.（23-24辽宁省本溪市九上期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（  ） A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 2.（23-24辽宁省锦州市九上期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（  ） A．对边相等 B．对角线互相垂直 C．邻边垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C. 邻边垂直是矩形具有，菱形不具有的性质，故该选项符合题意； D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 3.（23-24辽宁省阜新市九上期末）下列命题中，不正确的是（  ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线垂直平分的四边形是菱形 C．矩形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 【答案】A 【详解】A. 对角线相等的菱形是正方形,原选项错误，符合题意； B. 对角线垂直平分的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C. 正方形的对角线平分且相等，正确，不符合题意； D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； 故选A. 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）下列命题正确的是（  ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【答案】D 【详解】解：A选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，故本选项为假命题． B选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故本选项为假命题． C选项：两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题． D选项：两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 已知：四边形ABCD，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， 求证：四边形ABCD为正方形， 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形为平行四边形，又AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题． 故选：D． 5.（23-24辽宁省辽中区九上期末）下列四个命题，其中真命题为（  ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形； B．两条对角线相等的四边形是矩形； C．矩形是轴对称图形，且有两条对称轴； D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 【答案】C 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误； B．对角线相等互相平分的四边形是矩形，故B错误； C． 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴，故C正确； D． 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D错误． 故选：C． 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且，则图2中对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中， 记交于点， ，于点，，，且△ABC为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 7.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，矩形的对角线AC、BD相交于点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为：， 故选D． 8.（22-23辽宁省锦州市九上期末）如图，在正方形中，点E在对角线上，于点F，于点G，连接，若，，则的长度为（    ）    A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接    ∵四边形 是正方形 于点F， 故选B． 9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，平分，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小无法判断， ∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意； 故选：B 10.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若为中点，，求的长． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； （2）连接， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ，， ． 11.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【详解】 证明：（1）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∵BE=DF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； ∵∠AED＝45°， ∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED， ∴OA=OE， ∴AC=EF， ∴四边形AECF是正方形； （2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3， DF＝BE， ∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10， ∴OE=EF=5， ∵∠AED＝45°，AC⊥EF， ∴OA=·OE=·5=5， ∴AC=10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×5=25． 故答案为：25． 12.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）[问题情境] 如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点． 【特例感知】 （1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：； 【深入探究】 （3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．    【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图，    由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△AOB为等边三角形，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）①当点在线段上时，过点作与点，    由（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 设交与点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图：    同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 中点四边形 1.（23-24辽宁省丹东市九上期末）下列命题中，错误的是（  ） A．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形 B．点，都在反比例函数图象上，且，则 C．线段的长度是2，点是线段的黄金分割点且，则 D．对于任意的实数，方程有两个不相等的实数根 【答案】B 【详解】解：A、顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形，本选项命题正确，不符合题意； B、点都在反比例函数图象上，当或时，，故本选项命题错误，符合题意； C、线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则，本选项命题正确，不符合题意； D、， ∴对于任意的实数b,方程有两个不相等的实数根，本选项命题正确，不符合题意； 故选：B． 2.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 【详解】（1）证明：因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线， 所以是的中位线，是的中位线， 故，，，， 那么，， 所以四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 因为E是的中点，H是的中点， 所以是的中位线， 则，， 因为，且结合由（1）知， 所以， 因为四边形是平行四边形， 因为 因为四边形是平行四边形， 故 3.（23-24辽宁省阜新市九上期末）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．   ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和， 证明如下：∵点分别是边的中点， ∴． ∴． 同理． ∴四边形的周长． 即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和． 4.（23-24辽宁省丹东市九上期末）【问题初探】 数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质． 首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形；接下来张老师提出问题：如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，则中点四边形是什么形状？中点四边形的面积与原四边形的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程． 班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形是平行四边形，且中点四边形的面积是原四边形面积的一半． 证明如下： 证明：如图2，连接， 点，分别为，的中点 是的中位线，根据三角形中位线定理可得： 与的位置关系为________，数量关系为________． 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， 根据线段，的关系，进而可得， （1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整． 且________．同理： ； 【类比探究】 （2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形的周长与对角线，长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空） ①当对角线，满足________关系时，中点四边形为菱形？ ②当对角线，满足________关系时，中点四边形为矩形？ ③中点四边形的周长与对角线，长度有怎样的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形内部有一点，连接，，，，点，分别是，的中点，连接，若，，，，求的长． 【详解】问题初探： 证明：如图2，连接，， ， 点，分别为，的中点 是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：与的位置关系为，数量关系为， 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ； 类比探究： 解：①当对角线，满足时，中点四边形为菱形， 由问题探出可得：四边形是平行四边形，， 同理可得， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：； ②当对角线，满足时，中点四边形为矩形， 由问题探出可得：四边形是平行四边形，， 同理可得， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：； ③中点四边形的周长， 理由如下： 由问题探出可得， 同理可得：， 中点四边形的周长； 学以致用： 解：如图，取的中点，连接，，，，设与交于点，与交于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，即， ， ， ， ， 为的中点，为中点， 为的中位线， ，， ， 同理可得：，，， ， 过点作交的延长线于， ， ， ， ，， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$