专题05 图形的相似期末复习(9大题型)-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 图形的相似 成比例线段 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）已知（，），下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意； B，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意； C，由可得，与已知不符，故变形不正确，不合题意； D，由可得，与已知相符，故变形正确，符合题意； 故选D． 2.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知，则 ． 【答案】//1.25 【详解】解：由题意设，，， ∴． 故答案为：． 3.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知、、满足，、、都不为0，则 ． 【答案】/ 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 4.（23-24辽宁省阜新市九上期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 5.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）已知，若，则 ． 【答案】5 【详解】解：， ，， ， 故答案为：5． 6.（22-23辽宁省丹东市九上期末）若，则＝ ． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为： 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）已知，且， ． 【答案】9 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 8.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，，， ∴，即， 解得：． 故选：A． 9.（23-24辽宁省大东区九上期末）在比例尺为的山西地图上，小贤量得长治到太原的距离约为，则两地的实际距离约为 ． 【答案】220 【详解】解：根据比例尺的性质， 两地的实际距离约， 故答案为：220． 平行线分线段成比例 1. （23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，    则，即， 解得：， ∴． 故选：C． 3.（23-24辽宁省辽中区九上期末）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（     ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【详解】解：直线， ， ∵，，， ， ， 故选：B． 4.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知线段a,b,c,求作线段x，使，下列作法中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据平行线的性质一一分析． 解：A、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误； B、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误； C、根据平行线的性质得，故x=，故此选项错误； D、根据平行线的性质得故x=，故此选项正确． 故选D． 5.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，已知，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】4 【详解】∵， ∴，即， ∴． 故答案为：4． 相似多边形 1.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，四边形四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，，，， ∴． 故选：D． 3.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是相似形的是甲和丙 故选B． 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的长，宽， 则， 矩形与矩形相似， ，即， 即． ． 故选：A． 相似三角形的判定及应用 1.（23-24辽宁省辽中区九上期末）下列说法不正确的是（     ） A．所有的等边三角形都相似 B．所有的正方形都相似 C．有一个角的等腰三角形都相似 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【详解】A、由于所有的等边三角形的各角是，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项正确，不合题意； B、由于正方形的边长都相等，四个角都相等，故所有的正方形一定相似，故本选项错正确，不合题意； C、等腰三角形的底角与顶角均能确定，故本选项正确，不合题意； D、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项错误． 故选：D． 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【答案】A 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 3.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似； 图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似； 图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似； 图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似； 综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确． 故选：C． 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 5.（22-23辽宁省丹东市九上期末）如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 由，，可得；本选项不合题意； B. 由，，可得；本选项不合题意； C. 由，，可得；本选项不合题意；     D. ，不能得证；本选项符合题意； 故选：D 6.（23-24辽宁省辽中区九上期末）如图，已知，，若的长度为2，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的长度为2， ∴的长度为3， 故选：A． 7.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm． 【答案】16 【详解】∽ ， 又 ． 9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】B 【详解】由题意知， 可得， ∴， ∵（米），米， ∴， ∴米， 故选B. 10.（23-24辽宁省锦州市九上期末）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图2可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：B． 11.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A．120mm B．30mm C．75mm D．27mm 【答案】C 【详解】解：由题意得：CB∥DF， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm， ∴， ∴BC=75（mm）， 故选：C． 12.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是 ．    【答案】27 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∽， ，， ：：， ：：，即：：， ． 故答案为：． 13.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵点E是BC中点， ∴BC=2BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，BC∥AD，BO=OD， ∴AD=2BE， 设BF=a， ∵OF=1， ∴BO=DO=a+1， 则DF=a+2， ∵BC∥AD ∴△BEF∽△DAF， ∴ 解得a=2， 经检验a=2是原方程的解 ∴BF=2， ∴BO=DO=3， ∴BD=6 故选：B． 14.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在△ABC中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【答案】C 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 15.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，有一张锐角三角形纸片，边，高，要把它加工成正方形纸片，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形纸片的周长为（     ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 设正方形的边长为x， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴正方形纸片的周长为， 故选：C． 16.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（ ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①② 【答案】D 【详解】解：∵在▱ABCD中，AO＝AC， ∵点E是OA的中点， ∴AE＝CE， ∵ADBC， ∴△AFE∽△CBE， ∴＝， ∵AD＝BC， ∴AF＝AD， ∴＝；故①正确； ∵S△AEF＝3，， ∴S△BCE＝27；故②正确； ∵， ∴， ∴S△ABE＝9，故③错误； ∵BF不平行于CD， ∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误， 故选：D． 17.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在菱形中，，点，分别是，上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②若，则；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴，①符合题意； ∴， 由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴④符合题意； ③当点E，F分别是，中点时， 由（1）知，，为等边三角形， ∵点E，F分别是，中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴③不符合题意； 过点F作交于P点，如图， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故②符合题意； 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 18.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，有一正方形，边长为，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A，B，F的三角形与顶点为D，E，F的三角形相似时，的值为是 ． 【答案】3或4/4或3 【详解】依题意可得：， 因为点E是边的中点， 故 设，则有． 当时， 由，即， 解得，． 当时， 由，即， 解得，， 综上所述，的值为3或4． 故答案为：3或4． 19.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ． 【答案】3或 【详解】解：由勾股定理得，， 由折叠可知，，当与相似时．分，两种情况求解： ①当时，即，， ∴， ∴； ②当时，即，两点重合，在的延长线上， ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，的值为3或， 故答案为：3或． 20.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 21.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长。 【详解】解：设DE=CF=x，则AD=5-x 四边形CDEF是正方形， ∴DE//CF. ∴∠ ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB ∴ 即 ，解得x=． 故答案为． 22.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 23.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在△ABC中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在△ABC中，是边上一点．    (1)当时， ①求证：； ②若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴； ②解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴.， ， ∴ 25.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 【详解】解：（1）证明∵AE平分， ∴， 在与中， ∵， ， ∴； （2）∵D为AE中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD的长为2． 26.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点，是的中点，连接、，且．求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【详解】（1）证明：∵，是的中点． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）∵， ∴． ∵， ∴△ADE∽△BEA， ∴， ∴，即． 27.（23-24辽宁省锦州市九上期末）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵点M为AC的中点， ∴AM＝CM． 在△AME与△CMF中 ∴△AME≌△CMF（ASA）， ∴ME＝MF． ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF为菱形； （2）解：∵CD2＝BF•BC， ∴， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD， ∴ 又∵∠ABF＝∠CBA， ∴△ABF∽△CBA， ∴∠2＝∠3， ∵四边形AECF为菱形， ∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°， ∴即∠1＝30°． 28.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，（公共角）， ， ∴， （2），， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 29.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，已知四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：． （2）求证：． 【详解】证明：（1）∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点， ∴OA=OC，AC⊥BD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴OE=OA， ∴∠AEG=∠EAC， 在Rt△AEC中，∠EAC+∠ACE=90°， 在Rt△BOC中，∠DBC +∠ACE=90°， ∴∠EAC=∠DBC， ∴∠AEG=∠DBC， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABC=2∠DBC， ∴∠ABC=2∠AEG， （2）∵四边形是菱形， ∴AB=AD，AD//BC，OB=OD，AC⊥BD， ∴∠ABF=∠GDO，， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD，∠AOB=90°， ∴∠AOB=∠EAG =90°， ∵∠AFB=∠EAC+∠AOB，∠OGD=∠EAG+∠AEG， 又∵∠AEG=∠EAC， ∴∠AFB=∠OGD ∴△ABF∽△ODG， ∴ ∵AD//BC， ∴∠OBE=∠ODG， 又∵OB=OD，∠BOE=∠DOG， ∴△BOE≌△DOG ∴OE=OG ∴OG=EG ∴ ∴ 黄金分割 1.（23-24辽宁省丹东市九上期末）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为： 故选：A． 3.（22-23辽宁省阜新市九上期末）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是 ． 【答案】＋2 【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴AC＝AB，BD＝AB， ∴AC＋BD＝（﹣1）AB， 即AB＋CD＝（﹣1）AB， ∵CD=1， ∴AB＝＋2， 故答案为：＋2． 4.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 利用相似三角形测高 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．    【答案】 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 2.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为 米． 【答案】4.5 【详解】根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BPA＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴, 即：, ∴CD=4.5(米)， 故答案为：4.5． 3.（23-24辽宁省丹东市九上期末）数学张老师带领九年一班全体同学到学校的操场上开展数学实践活动． 活动课题 利用投影和相似三角形的有关知识测量旗杆或学校周围建筑物的高度 活动方式 分组活动，全班交流讨论 活动工具 小镜子、皮尺等测量工具 下面是其中两个小组参与活动的情况： 小组1：活动题目：利用阳光下的影子测量操场上旗杆的高度． 活动过程：小明同学直立于旗杆影子的顶端处，小组其他成员分成两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，测量数据如下，旗杆影长7.2米，小明同学影长1.2米，测得小明身高1.8米，该小组同学带着测量数据回到教室，根据测量结果，画出如下不完整的示意图（如图1），线段表示旗杆，线段表示小明．       小组2：活动题目：利用平面镜测量学校外某建筑物上的信号塔顶距地面的高度． 活动过程：如图2，在操场上点处放一小镜子，小华从点处后退到达点处时，小华恰好在小镜子中看到信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.2米，再将小镜子沿方向后移6米放在点处（即米），小华从点处沿方向后退到点处，恰好再一次在小镜子中看到了信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.6米，并测得小华同学的眼睛距离地面的高度也为1.6米，已知，，，，在同一水平线上，且，，均与垂直，该小组同学带着测量数据回到教室． （1）请你在图1中画出小明的影子，并利用小组1的测量数据求出旗杆的高度． （2）请你利用小组2的测量数据，求出信号塔顶距地面的高度． 【详解】解：如图所示：根据题意得，， ∵ ∴ ， ，即； ∴（米） 答：出旗杆的高度米 （2）根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：信号塔顶距地面的高度24米． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【答案】桥AF的长度为80米． 【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DEBC， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴AFEG， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即， 解得AF=80， ∴桥AF的长度为80米． 相似三角形的性质 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 2.（22-23辽宁省丹东市九上期末）如图，已知，CD和BE相交于点O，，则AE∶EC为（    ） A．3：5 B．9：25 C．3：2 D．5：3 【答案】C 【详解】解：∵DE∥BC，   ∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC， ∴，， ∴DE：BC=3：5， ∴， ∴． 故选C． 3.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ． 【答案】1:2 【详解】解：因为相似三角形的周长比等于相似比1:2，所以这两个三角形的周长比是1:2． 故答案为：1:2． 4.（23-24辽宁省阜新市九上期末）若，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 等于相似比的平方， ， △ABC与的相似比为． 故选B． 5.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ， ，即， ， 故选：B． 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图是学生用具三角尺，，，其中，长为， DE长为，则这个三角尺中与△ABC的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，长为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7.（22-23辽宁省阜新市九上期末）如图，是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为 ．    【答案】（或） 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长之比； 故答案为：． 8.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，则 ． 【答案】 【详解】解： ， ∴△DEF∽△BFA， 故答案为： 9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的面积为（　　） A．9 B．18 C．25 D．30 【答案】B 【详解】解：设小五角星的面积为x， ∵国旗上大、小五角星相似， ∴=， 解得，x=18， 故选：B． 10.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（    ） A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm 【答案】C 【详解】由题可知，这两个相似多边形的相似比为， ∵相似图形的周长比等于相似比， ∴它们的周长之比为， ∴较大的多边形周长为， 故选：C． 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，点D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点E．若，，求四边形的面积．      【答案】四边形的面积 【详解】解：∵， ∴， 由作图知：， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 图形的位似 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点， ∴位似中心是点． 故选：A． 2.（23-24辽宁省丹东市九上期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 3.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．    【答案】 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 点坐标为：， 故答案为． 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为(　　) A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1) C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2) 【答案】C 【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2）， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）． 故选C． 5.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 6.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵△ABC和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴△ABC和的周长之比为， 故选：． 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到， ∴， ∴与的面积比是， 故选：D． 8.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：∵与的相似比为， ， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点F．    ∵， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的为摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是） 图1                     图2 A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点A是线段的中点， ∴, ∴， ∴四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为． 故选∶B． 10.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将△ABC放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与△ABC相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 【详解】（1）解：即为所求 （2）解：△ADE即为所求 根据勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴； （3）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 11.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标； （2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标； （3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论． 【详解】解：（1）由题意可得A、B、C三点关于x轴对称的点分别为：（0，-3）、（3，-4）、（2，-2）， 给三点标上字母并依次连接即可得到所求作的图形，如下△A1B1C1为所作， 由上可得C1（2，﹣2）； （2）如图，△A2B2C2为所作，C2（1，0）． （3）∵AC2＝12+22＝5，CC22＝12+22＝5，AC22＝12+32＝10， ∴AC2+CC22＝AC22， ∴△ACC2是等腰直角三角形． 12.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【详解】（1）如图所示：△即为所求： （2）如图所示：△即为所求； 相似三角形判定与性质的综合 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，点G在正方形的对角线上，，垂足为点F． （1）求证：四边形是正方形． （2）求的值． 【类比探究】 （3）如图2，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，试探究线段与长度之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴∠BCD=，∠BCA= ∵GE⊥BC，GF⊥CD， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：线段与长度之间的数量关系为：； 连接，如图（2）所示： 由旋转性质得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与长度之间的数量关系为：． 2.（23-24辽宁省本溪市九上期末）【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 【详解】（1）证明：如图1， ， ∴∠DEF=∠GEB 在和中， （2）成立． 证明：如图2，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形， ∴平分， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴∠GEH+∠HEF=，∠PEF+∠HEF= 在和中， （3）如图3，过点作于，过点作于，垂足分别为、， 则， ∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB， 即 ∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=， ∵∠GME=∠FNE=， ∴△GME∽△FNE， 3.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 又， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是 （2）解：如图，如图，作于点D，延长线交于点E， 由题意知，， ，， ， ， ，， ， ， 由题意知，，， ， ， ， 镜长至少为． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连结交于点G，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在等边中，，连结，点E在上，若，求的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵、恰好将三等分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 根据（1）得，； （3）过E作的平行线，分别交、于G、H． ∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵由（1）有，又， ∴ 设，则． ∴， ∴， 在等边中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 5.（23-24辽宁省阜新市九上期末）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2）：①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为．      6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E为边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边△ABC中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 【详解】（）证明：在上截取， ∴ ， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （）证明：在上截取，使得， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由同（）理得，， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； （）延长至点，使得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）【问题引入】 （1）如图1，若，点E为平分线上一点，，的两边分别与射线交于C，D两点，若，求的度数．   【尝试探究】 （2）如图2，点F是函数图象上的一个动点，过点F的直线分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足，点G为平分线上一点，若，当点G在第一象限时，求出点G的坐标． 【详解】解：（1），平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，连接，，作轴于点P，    ， ， ，， ， ， 设，则，， 此时点F的横坐标为， 点F是函数图象上的一个动点， ， ， 点G为平分线上一点， 的解析式为， ， ， ， ，（舍）， 点G在直线上， ， 点G的坐标为． 8.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）问题情境    数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点． 各小组在探究过程中提出了以下问题： (1)“智慧小组”提出问题： 如图①，求证：． 请你写出证明过程； (2)“奋进小组”受到探究过程的启发，提出问题： 如图②，若，，，求的面积． 请你写出解答过程； (3)“善思小组”学以致用提出问题： 若，，交线段于点，连接，且与相似，求的长． 请你利用答题卡中的备用图补全图形，并写出解答过程． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ； （2）解：设交于，如图：    由（1）知； ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， ， ； ； ； 的面积为； （3）解：， 与相似，只需或， ①当时，如图：    此时， ，，， ， ，， ， ，即， ，， ∵， ，即， ， 设，则， 由（1）知：； ，即， 解得（负值已舍去）， 的长为； ②当时，如图：   ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ； 综上所述，的长为或4． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 图形的相似 成比例线段 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）已知（，），下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知，则 ． 3.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知、、满足，、、都不为0，则 ． 4.（23-24辽宁省阜新市九上期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）已知，若，则 ． 6.（22-23辽宁省丹东市九上期末）若，则＝ ． 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）已知，且， ． 8.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（   ） A． B． C． D． 9.（23-24辽宁省大东区九上期末）在比例尺为的山西地图上，小贤量得长治到太原的距离约为，则两地的实际距离约为 ． 平行线分线段成比例 1. （23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）    A． B． C． D． 3.（23-24辽宁省辽中区九上期末）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（     ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4.（23-24辽宁省丹东市九上期末）已知线段a,b,c,求作线段x，使，下列作法中正确的是（      ） A． B． C． D． 5.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，已知，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，，则的长为 ． 相似多边形 1.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，四边形四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 相似三角形的判定及应用 1.（23-24辽宁省辽中区九上期末）下列说法不正确的是（     ） A．所有的等边三角形都相似 B．所有的正方形都相似 C．有一个角的等腰三角形都相似 D．所有的矩形都相似 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 3.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 5.（22-23辽宁省丹东市九上期末）如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（　　）    A． B． C． D． 6.（23-24辽宁省辽中区九上期末）如图，已知，，若的长度为2，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，在中，若，，，则的长为 .    8.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm． 9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 10.（23-24辽宁省锦州市九上期末）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（   ） A． B． C． D． 11.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A．120mm B．30mm C．75mm D．27mm 12.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是 ．    13.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，为的中点，连接交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在△ABC中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 15.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，有一张锐角三角形纸片，边，高，要把它加工成正方形纸片，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形纸片的周长为（     ） A．1 B． C． D．5 16.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（ ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①② 17.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在菱形中，，点，分别是，上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①；②若，则；③与一定不垂直；④的大小为定值．其中正确的结论有 ． 18.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，有一正方形，边长为，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A，B，F的三角形与顶点为D，E，F的三角形相似时，的值为是 ． 19.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ． 20.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    21.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长。 22.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 23.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在△ABC中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求的长． 24.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在△ABC中，是边上一点．    (1)当时， ①求证：； ②若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 25.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 26.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点，是的中点，连接、，且．求证： (1)四边形是菱形； (2)． 27.（23-24辽宁省锦州市九上期末）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数． 28.（23-24辽宁省锦州市九上期末）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 29.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如图，已知四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：． （2）求证：． 黄金分割 1.（23-24辽宁省丹东市九上期末）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23辽宁省阜新市九上期末）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是 ． 4.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 利用相似三角形测高 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．    2.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为 米． 3.（23-24辽宁省丹东市九上期末）数学张老师带领九年一班全体同学到学校的操场上开展数学实践活动． 活动课题 利用投影和相似三角形的有关知识测量旗杆或学校周围建筑物的高度 活动方式 分组活动，全班交流讨论 活动工具 小镜子、皮尺等测量工具 下面是其中两个小组参与活动的情况： 小组1：活动题目：利用阳光下的影子测量操场上旗杆的高度． 活动过程：小明同学直立于旗杆影子的顶端处，小组其他成员分成两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，测量数据如下，旗杆影长7.2米，小明同学影长1.2米，测得小明身高1.8米，该小组同学带着测量数据回到教室，根据测量结果，画出如下不完整的示意图（如图1），线段表示旗杆，线段表示小明．       小组2：活动题目：利用平面镜测量学校外某建筑物上的信号塔顶距地面的高度． 活动过程：如图2，在操场上点处放一小镜子，小华从点处后退到达点处时，小华恰好在小镜子中看到信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.2米，再将小镜子沿方向后移6米放在点处（即米），小华从点处沿方向后退到点处，恰好再一次在小镜子中看到了信号塔顶点的像，此时，小组其他成员测得长度为1.6米，并测得小华同学的眼睛距离地面的高度也为1.6米，已知，，，，在同一水平线上，且，，均与垂直，该小组同学带着测量数据回到教室． （1）请你在图1中画出小明的影子，并利用小组1的测量数据求出旗杆的高度． （2）请你利用小组2的测量数据，求出信号塔顶距地面的高度． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 相似三角形的性质 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为 ．    2.（22-23辽宁省丹东市九上期末）如图，已知，CD和BE相交于点O，，则AE∶EC为（    ） A．3：5 B．9：25 C．3：2 D．5：3 3.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ． 4.（23-24辽宁省阜新市九上期末）若，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图是学生用具三角尺，，，其中，长为， DE长为，则这个三角尺中与△ABC的面积比为（    ） A． B． C． D． 7.（22-23辽宁省阜新市九上期末）如图，是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交边于点．若，则与的周长之比为 ．    8.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，则 ． 9.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的面积为（　　） A．9 B．18 C．25 D．30 10.（22-23辽宁省沈阳市九上期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（    ） A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm 11.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在中，点D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点E．若，，求四边形的面积．      图形的位似 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2.（23-24辽宁省丹东市九上期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 3.（23-24辽宁省本溪市九上期末）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．    4.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为(　　) A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1) C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2) 5.（23-24辽宁省大东区九上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 6.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 7.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是（     ）    A． B． C． D． 8.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，已知，与的相似比为，则点C的坐标为 ．    9.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的为摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是） 图1                     图2 A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 10.（23-24辽宁省丹东市九上期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 11.（23-24辽宁省阜新市九上期末）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标； （2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标； （3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论． 12.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 相似三角形判定与性质的综合 1.（23-24辽宁省沈阳市九上期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，点G在正方形的对角线上，，垂足为点F． （1）求证：四边形是正方形． （2）求的值． 【类比探究】 （3）如图2，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，试探究线段与长度之间的数量关系． 2.（23-24辽宁省本溪市九上期末）【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 4.（23-24辽宁省锦州市九上期末）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连结交于点G，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在等边中，，连结，点E在上，若，求的值． 5.（23-24辽宁省阜新市九上期末）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    6.（23-24辽宁省锦州市九上期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E为边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边△ABC中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 7.（23-24辽宁省辽阳市九上期末）【问题引入】 （1）如图1，若，点E为平分线上一点，，的两边分别与射线交于C，D两点，若，求的度数．   【尝试探究】 （2）如图2，点F是函数图象上的一个动点，过点F的直线分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足，点G为平分线上一点，若，当点G在第一象限时，求出点G的坐标． 8.（23-24辽宁省皇姑区九上期末）问题情境    数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点． 各小组在探究过程中提出了以下问题： (1)“智慧小组”提出问题： 如图①，求证：． 请你写出证明过程； (2)“奋进小组”受到探究过程的启发，提出问题： 如图②，若，，，求的面积． 请你写出解答过程； (3)“善思小组”学以致用提出问题： 若，，交线段于点，连接，且与相似，求的长． 请你利用答题卡中的备用图补全图形，并写出解答过程． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$