精品解析：辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷

2024~2025学年第一学期高一期末质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修一全部，必修二到第五章统计与概率5.3.3结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合或，， 所以. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即为函数的定义域. 【详解】由，解得且， 故函数的定义域为. 故选：D. 3. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到参数的值，求出幂函数，求得的函数值. 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，. 故选：A. 4. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义转化为集合间的基本关系，结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集. 又，则必有，即，所以. 故选:D. 5. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 6. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（ ） A. 众数仅是31 B. 分位数是 C. 极差是38 D. 中位数是44 【答案】B 【解析】 【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案. 【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差，C错误； 中位数为第5个数和第6个数平均数，即，D错误. 故选：B. 7. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算公式和换底公式计算. 【详解】当时，， 当时，，故； 当时，，故， 所以． 故选：A． 8. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由函数是上的奇函数，得到，再由，得到求解. 【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以. 又对任意，都有成立， 令，得，即， 所以，则， 所以，则， 故， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 【答案】AB 【解析】 【分析】根据折线图分别求游客数判断A,根据递增及最高峰判断B,D,再计算平均值判断C. 【详解】由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为， 乙景点的7，8，9月份的总游客人数为，，A正确； 根据乙景点的游客人数折线图可知乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确； 甲景点游客人数的平均值为，，C错误； 由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误. 故选:AB. 10. 若，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由对数函数的单调性得，结合单调性和不等式性质判断四个选项即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，则，所以，A正确； 由，得，则，但与1大小关系不确定，所以B错误； 由，得，则1，所以，C正确； 由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是 D. 若，则有8个互不相等的实数根 【答案】AC 【解析】 【分析】由可得，进而结合题意代值计算即可判断A；结合及题设函数解析式直接求解判断B；分析画出函数，的图象，进而结合图象即可判断CD. 【详解】函数的定义域为，满足， 即，所以，故A正确； 当时，， 则，故B错误； 将函数在上的图象每次向右平移2个单位长度， 再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在，，……上的图象， 同理将函数在上的图象每次向左平移2个单位长度， 再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象， 作出函数的图象，如图所示， 因为当时，， 所以当，， 则， 则， 令，即，解得，， 又因为对任意的，都有， 结合图象可得，C正确； 因为，易知在，上单调递减， 作出函数和的图象，由此可得两函数有7个交点， 所以有有7个互不相等的实数根，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式变换即可得. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 故答案为：，. 13. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数的图像过定点，所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________. 9 a 7 b c d 4 e 6 【答案】## 【解析】 【分析】将试验的结果表示出来，然后用符合要求的试验数除以试验总数可求得结果. 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5 b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3 d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 共有种等可能的结果，其中的结果有种， 所以的概率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求； （2）若，为集合，定义集合运算，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，从而解得集合，再求并集即可； （2）根据的定义，结合不等式性质，即可求得结果. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 由集合运算的新定义及不等式的性质，，故可得， 故. 16. 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 （1）分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩平均数与方差； （2）判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【答案】（1）甲：9；；乙：9，2 （2）甲运动员成绩更好 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解； （2）比较平均数和方差的大小可得. 【小问1详解】 甲随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 方差为； 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 方差为. 【小问2详解】 因为，，所以甲随机抽取的6次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好. 17. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可. 【小问1详解】 设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）. 从5个项目中随机抽取2个，其样本空间，共10个样本点， 设事件为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”， 则，共3个样本点， 故所求概率为. 【小问2详解】 从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个， 其样本空间，共6个样本点， 其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1个样本点， 故所求概率为. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. 【小问2详解】 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. （1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）和是在区间上的“美好函数”，理由见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用函数单调性求最值，逐个判断即可； （2）①由函数是“美好函数”，求出函数最大最小值，列出方程求解即可； ②对函数换元后转化为二次函数，分类讨论求最大最小值，列出方程求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上单调递减，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”； 因为函数在区间上单调递增，所以，， 所以，故不是在区间上的“美好函数”； 因为在区间上单调递增，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”. 【小问2详解】 ①有题知. 因为，所以. 令，则， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，，所以有； 当时，函数在区间上单调递减， 此时，，所以有 综上所述，； ②由题可知，函数. 因为，所以. 令，则，. 可知此时，函数的对称轴为且开口向上 当，即时，函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，整理得，无解； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，故此时， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，解得（舍去）； 当，即时，函数在上单调递增， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得. 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题主要理解运用新定义，转化为求函数最大值与最小值差为5的问题，涉及指数函数单调性，二次函数分类讨论，对运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期高一期末质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修一全部，必修二到第五章统计与概率5.3.3结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合或，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 4. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 6. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（ ） A. 众数仅是31 B. 分位数是 C. 极差是38 D. 中位数是44 7. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ） A 2 B. 1 C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数（单位：万人），得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在内 D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 10. 若，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是 D. 若，则有8个互不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 13. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则的概率为________. 9 a 7 b c d 4 e 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求； （2）若，为集合，定义集合运算，求. 16. 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 （1）分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩平均数与方差； （2）判断哪位运动员射击成绩更好？ 17. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. （1）函数；；中，哪个函数是在区间上“美好函数”？并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$