专题04 指数函数与对数函数(十五大题型）（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题04 指数函数与对数函数(十五大题型） 【考点01：根式与分数指数幂的互化】 【考点02：指数幂的运算性质化简求值】 【考点03：指数函数的解析式与函数值】 【考点04：指数型函数图象过定点问题】 【考点05：指数函数最值与不等式综合】 【考点06：指数函数的图像和性质综合运用】 【考点07：指数对数的互化】 【考点08：对数的运算】 【考点09：换底公式】 【考点10：对数型函数图象过定点问题】 【考点11：对数函数的单调性综合】 【考点12：对数函数的最值综合】 【考点13：求反函数】 【考点14：指数和对数的大小比较】 【考点15：函数的综合应用】 知识点1：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点2：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点3：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点4：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点5：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点6：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点7：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点8：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点9：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点10：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点11：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点12：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点13：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 知识点14：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点15：对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点01：根式与分数指数幂的互化】 1．下列式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 2．多选题下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 3．对于实数，化简= . 4．计算： . 5．用有理数指数幂的形式表示（其中） . 【考点02：指数幂的运算性质化简求值】 6．计算 . 7．求值： ． 8．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 9．计算：. 10．（1）计算:． （2）若，求下列式子的值： ① ② 11．化简或计算下列各式． (1)； (2)． 【考点03：指数函数的解析式与函数值】 12．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 13．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 14．若指数函数的图象经过点，则 ． 15．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【考点04：指数型函数图象过定点问题】 16．函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 17．当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 18．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．函数且的定点为 . 20．已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是 . 【考点05：指数函数最值与不等式综合】 21．已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 22．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 23．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 24．已知函数的定义域为，且. (1)求，判断并证明其单调性； (2)求方程的根； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 25．已知函数的定义域为，图象过点. (1)求的值域； (2)是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 26．设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【考点06：指数函数的图像和性质综合运用】 27．若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 29．已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 30．已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 31．已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 32．已知函数（为常数）. (1)若函数在定义域内单调递增，求的值； (2)若函数是奇函数，求证：在上单调递增. 33．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 【考点07：指数对数的互化】 34．已知，则（    ） A． B． C． D． 35．已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 36．已知，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 37．若，则有（    ） A． B． C． D． 38．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 39．多选题下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点08：对数的运算】 40． . 41．计算下列各式的值： (1)； (2). 42．计算： (1) (2) 43．计算： (1)； (2). 44．计算：. 45．（1）求的值； （2）已知，试用表示. 【考点09：换底公式】 46．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 47．若，则（    ） A． B． C． D． 48．（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 49．已知，用表示 . 50．若，则的值为 ． 51．已知，，则用，表示 . 【考点10：对数型函数图象过定点问题】 52．函数（且）的图象恒过定点 . 53．函数且的图象恒过定点 . 54．函数（且）图象恒过的定点坐标为 55．函数（，且）恒过的定点是 ． 【考点11：对数函数的单调性综合】 56．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 57．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 58．已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【考点12：对数函数的最值综合】 59．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 61．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．若函数在区间上的最大值为6，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 63．若的反函数为，且，则的最小值为 . 【考点13：求反函数】 64．若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 65．函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 66．函数的反函数为，则 . 67．已函数则函数的零点个数为 . 【考点14：指数和对数的大小比较】 68．若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 69．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 70．设，则（   ） A． B． C． D． 71．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 72．设，，，，则这四个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点15：函数的综合应用】 73．已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 74．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 75．某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 76．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 77．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数(十五大题型） 【考点01：根式与分数指数幂的互化】 【考点02：指数幂的运算性质化简求值】 【考点03：指数函数的解析式与函数值】 【考点04：指数型函数图象过定点问题】 【考点05：指数函数最值与不等式综合】 【考点06：指数函数的图像和性质综合运用】 【考点07：指数对数的互化】 【考点08：对数的运算】 【考点09：换底公式】 【考点10：对数型函数图象过定点问题】 【考点11：对数函数的单调性综合】 【考点12：对数函数的最值综合】 【考点13：求反函数】 【考点14：指数和对数的大小比较】 【考点15：函数的综合应用】 知识点1：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点2：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点3：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点4：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点5：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点6：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点7：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点8：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点9：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点10：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点11：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点12：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点13：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 知识点14：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点15：对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点01：根式与分数指数幂的互化】 1．下列式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果. 【详解】，，，， 故选:D. 2．多选题下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可. 【详解】 A项错误； B项正确； C项正确； D项正确． 故选：BCD 3．对于实数，化简= . 【答案】 【分析】由根式与指数幂的关系化简即可. 【详解】. 故答案为： 4．计算： . 【答案】 【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可. 【详解】由题知. 故答案为: 5．用有理数指数幂的形式表示（其中） . 【答案】 【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解. 【详解】， 故答案为： 【考点02：指数幂的运算性质化简求值】 6．计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 7．求值： ． 【答案】 【分析】利用分式指数幂的运算公式，即可化简求值. 【详解】原式， . 故答案为： 8．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 9．计算：. 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的运算即可得到答案. 【详解】原式. 10．（1）计算:． （2）若，求下列式子的值： ① ② 【答案】（1）-1； （2）①，②. 【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可； （2）①：由求解； ②：由，结合隐含的条件即可求解. 【详解】（1）原式=； （2）①：，所以； ②：，由题意知，所以. 11．化简或计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用根式与分数指数互化、指数幂的运算性质可化简所求代数式. 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式. 【考点03：指数函数的解析式与函数值】 12．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 13．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据指数函数、幂函数的知识求得和，通过解方程求得，由此求得正确答案. 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 14．若指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可. 【详解】设指数函数且， 过点，，解得：，， . 故答案为：. 15．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 【考点04：指数型函数图象过定点问题】 16．函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 17．当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】当时，，与无关， 则函数恒过定点． 故选：B. 18．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 19．函数且的定点为 . 【答案】 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标． 【详解】因为且，令，得到，此时， 所以函数的定点为， 故答案为：. 20．已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是 . 【答案】 【分析】由（且）可求得定点的坐标. 【详解】对于函数（且），令，可得， 且，故点. 故答案为：. 【考点05：指数函数最值与不等式综合】 21．已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【详解】（1）由题意，解得. （2）由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. （3）由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：    由图可知：不等式的解集为. 22．已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. 【详解】（1）函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数； （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 23．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； （2）， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 24．已知函数的定义域为，且. (1)求，判断并证明其单调性； (2)求方程的根； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合（1）的结论，可得，进而求解； （3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为对任意恒成立，然后利用换元法结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）令，，，，. 任取，则，∴， ∴， ∴在上单调递增； （2）∵，则 所以或（舍），，显然是解， 又在上单调递增，∴是唯一解； （3）由题对任意恒成立 ∴对任意恒成立， 令，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立 又在为单调递减函数，∴. 25．已知函数的定义域为，图象过点. (1)求的值域； (2)是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】(1)根据函数图象过点求得的值，再证明函数的单调性即可求解； (2)将变化为 ，换元法讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）将代的解析式，得得，或. 设，且，则 在单调递增. ，即的值域为. （2）令 等价于 故存在实数m，使得恒成立， m的取值范围为. 26．设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式； （2）分别对，，三种情况解不等式. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 当时，有，从而， 所以. （2）由（1）知，当时，因为，，所以， 当，，所以当时，， 而当时，，所以不等式在上无解； 当时，不等式为，所以. 记函数，， 因为，所以函数，均为R上的单调增函数， 所以函数为R上的单调增函数. 又， 所以当时，不等式的解集为． 从而关于x的不等式的解集为. 【考点06：指数函数的图像和性质综合运用】 27．若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. 28．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递增， 函数在上单调递增，则，且有，解得， 所以，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 29．已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 30．已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 【答案】(1)定义域为， (2)在、上单调递减 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【详解】（1）由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； （2），， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 31．已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解； （2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）若函数是上的奇函数， 则，即，此时， 经检验满足，符合题意，故； （2）令，则，原函数可化为， 因为函数在上的最小值是4， 即在时的最小值为4，故， 当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意； 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 32．已知函数（为常数）. (1)若函数在定义域内单调递增，求的值； (2)若函数是奇函数，求证：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）按照、及分类讨论，根据单调性的定义及性质即可求解； （2）先由函数是奇函数求得，再根据单调性的定义结合指数函数的单调性按照步骤证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ①当时，在上显然单调递增； ②当时，取，因为， 所以在上不可能单调递增； ③当时，取，因为， 所以在上不可能单调递增； 综上，若函数在定义域内单调递增，则. （2）令，函数定义域为， 若是奇函数，则，所以， 当时，，定义域为R，因为， 所以是奇函数，，设 ， 因为且在上单调递增，所以，则， 所以，即，所以在上单调递增. 33．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在R上单调递增，证明见解析 【分析】（1）求出定义域，得到，得到函数为奇函数； （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1），易知的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）在R上单调递增，理由如下： 设，，且， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，且， ∴，即， ∴在R上单调递增. 【考点07：指数对数的互化】 34．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化公式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 故选：A 35．已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】将转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可. 【详解】由得，即， 故选：D. 36．已知，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【分析】直接由对数与指数的互化公式求解即可 【详解】解：由，得， 故选：A 37．若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】若， 则. 故选：D 38．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化以及指数幂的运算即可求解. 【详解】. 故选：C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 39．多选题下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果. 【详解】由对数的概念可知：可转化为，故A正确； 由对数的概念可知：可转化为，故B错误； 由对数的概念可知：可转化为，故C正确； 由对数的概念可知：可转化为，故D正确； 故选：ACD. 【考点08：对数的运算】 40． . 【答案】 【分析】利用换底公式计算不同底数的对数运算，再与－8的立方求和即得． 【详解】 故答案为：－511． 41．计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质计算即得. 【详解】（1） . （2）. 42．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）应用指数幂的运算法则运算即可； （2）应用对数运算法则运算即可. 【详解】（1） . （2） . 43．计算： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得. （2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得. 【详解】（1）. （2） . 44．计算：. 【答案】7 【分析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得. 【详解】 45．（1）求的值； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】借助对数的运算性质计算即可得. 【详解】（1）原式 ； （2） 【考点09：换底公式】 46．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 47．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 48．（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得. 【详解】因为，所以. 故选：B 49．已知，用表示 . 【答案】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 50．若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 51．已知，，则用，表示 . 【答案】 【分析】根据换底公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 【考点10：对数型函数图象过定点问题】 52．函数（且）的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果. 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 53．函数且的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可. 【详解】因为函数且，令，解得， 所以，即函数恒过点. 故答案为：. 54．函数（且）图象恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】由，令即可求解. 【详解】令，解得，所以， 所以函数（且）图象恒过的定点坐标为. 故答案为：. 55．函数（，且）恒过的定点是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数性质结合指数幂运算求解. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）恒过的定点是. 故答案为：. 【考点11：对数函数的单调性综合】 56．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得， 即函数的定义域为， 令，在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上为单调递减函数， 所以函数的单调减区间为. 故选：A. 57．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数型复合函数的单调性可知在上单调递增且大于恒成立，即可得到，解得即可. 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 58．已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 【考点12：对数函数的最值综合】 59．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围. 【详解】∵函数 ∴当时，的范围是；当时，，， 由题意存在最小值，则， 解得. 故选：D． 60．函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值． 【详解】， 因为是增函数，因此当时，，， 当时，，， 而时，， 所以时，． 故选：C． 61．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 62．若函数在区间上的最大值为6，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数与对数的关系计算可得. 【详解】解：因为函数在定义域上单调递增，又函数在区间上的最大值为6， 所以，即，所以. 故选：B 63．若的反函数为，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可． 【详解】因为和（，）互为反函数， 若，则， 又因为，所以，所以，且，， 又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【考点13：求反函数】 64．若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解. 【详解】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A 65．函数y的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数定义求解即可. 【详解】解：∵y，∴， ∴，即，∴， 将x，y调换可得，， 故函数y的反函数是． 故选：D． 66．函数的反函数为，则 . 【答案】12 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， ， 故答案为：12 67．已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    【考点14：指数和对数的大小比较】 68．若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：B. 69．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 70．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 71．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 72．设，，，，则这四个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数以及指数函数的性质求解. 【详解】因为函数单调递减，所以，即； 又因为，，所以， 所以． 故选：A． 【考点15：函数的综合应用】 73．已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由对数的单调性解不等式求解集； （2）讨论、，根据对数复合函数的单调性求最值，结合已知求参数值. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以，不等式解集为. （2）令在上递增， 当，则在定义域上递减，此时在上递减， 则； 当，则在定义域上递增，此时在上递增， 则； 所以或. 74．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润） 【答案】(1) ； (2)每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 【分析】(1) 根据已知关系式，结合利润、收益、成本关系写出利润的解析式； (2) 由(1)所得解析式，结合分段函数的性质求出各个区间的最大值，做比较找出最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）月产量为台，则总成本为元，从而 （2）由(1)可知，当时，， 所以当时，； 当时，是减函数， 则， 所以当时，， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为元． 75．某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】(1) (2)产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【分析】（1）由分段代入计算即可得； （2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 故； （2）当时，， 当时，，对称轴， ， 当时，由基本不等式知，当且仅当， 即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 76．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)选择， (2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【分析】 （1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式. （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1） 对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有，解得， 当时，. （2） 国道路段长为，所用时间为，所耗电量为: ， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 77．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】 （1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$