第04讲 整式的除法（2个知识点+4大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第04讲 整式的除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算； 知识点1：单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点2：多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点一：单项式的除法运算 例1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3). 考点二：多项式的除法运算 例2计算． (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2) 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 考点三：整式的混合运算 例3.计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式3-1】计算： (1)； (2) 【变式3-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 考点四：整式的化简求值 例4.化简求值： (1) ，其中； (2)，其中， 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式4-2】先化简再求值：，其中 ，． 【变式4-3】先化简再求值 (1)，其中； (2)已知，求的值； 一、单选题 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）化简的结果（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若，则代表的整式是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为，且一边长为，则其周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·福建宁德·期中）计算： ． 8．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）长方形的面积是，宽是，那么它的长是 ． 9．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，是一个多项式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ． 三、解答题 10．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1)； (2)． 11．（23-24七年级下·广西梧州·期中）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式的除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算； 知识点1：单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点2：多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点一：单项式的除法运算 例1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方； （1）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （3）对原式变形，然后根据幂的运算法则计算即可； （4）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与单项式的除法法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，然后算单项式与单项式的除法； （2）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，然后算单项式与单项式的除法； 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 考点二：多项式的除法运算 例2计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟记运算法则是解本题的关键； （1）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）按照多项式除以单项式的运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式2-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，多项式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可． （1）用多形式的每一项分别与单项式相除即可 （2）用多形式的每一项分别与单项式相除即可 【详解】（1）原式 ； （2）原式= ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解． （2）先根据单项式乘以多项式计算括号内的，然后合并同类项，最后根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 考点三：整式的混合运算 例3.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出答案； （3）根据整式的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的去处： （1）原式先计算积的乘方，再进行单项式的乘除法运算即可答案； （2）原式先计算中括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）先根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键： （1）先计算除法，再去括号； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项求解． 【详解】（1）解： （2）解： 考点四：整式的化简求值 例4.化简求值： (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)，-8 (2)， 【分析】考查了整式的混合运算-化简求值，以及完全平方公式； （1）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再把的值代入即可； （2）利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 当时，原式 （2）原式 当，时，原式 【变式4-1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先分别根据完全平方公式，平方差公式计算和，然后在括号内合并同类项，最后根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【变式4-2】先化简再求值：，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算计算括号内的，再根据多项式除以单项式计算，然后代入求值． 【详解】解：原式 当，时，原式. 【变式4-3】先化简再求值 (1)，其中； (2)已知，求的值； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式化简，再代入求值即可； （2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 一、单选题 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方法则计算即可得． 【详解】解：由题意得：这个长方形的宽是 ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）化简的结果（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算，单项式除以单项式，先把原式变形为，进而得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟知单项式除以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若，则代表的整式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式除以多项式的运算，掌握运算法则是解本题的关键，根据乘法的意义，先列式再计算即可． 【详解】 解：由题意可得：所代表的整式是： ， 故选：C 6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若长方形的面积为，且一边长为，则其周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用，根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算；长方形的周长（长宽），据此列式，然后根据合并同类项法则进行化简．正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 则其周长是：． 故选：D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·福建宁德·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键，利用单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 8．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）长方形的面积是，宽是，那么它的长是 ． 【答案】 【分析】根据长方形的面积公式，多项式除以单项式即可计算． 【详解】解：根据题意，长方形的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 9．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，是一个多项式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 三、解答题 10．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算单项式除以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得解； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再合并即可得出答案； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（23-24七年级下·广西梧州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，同底数幂的除法，合并同类项等知识．熟练掌握积的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，同底数幂的除法，合并同类项是解题的关键． （1）先分别计算积的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，然后合并同类项即可； （2）先分别计算同底数幂的乘法，同底数幂的除法，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则． 先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当，时， 原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$