第16讲 三角形的概念和性质（练习，22题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 三角形的稳定性 👉题型02 画三角形的五线 👉题型03 与三角形高有关的计算 👉题型04 等面积法求高 👉题型05 求网格中的三角形面积 👉题型06 与三角形中线有关的计算 👉题型07 与三角形重心有关的计算 👉题型08 与三角形中位线有关的计算 👉题型09 利用角平分线的性质求解 👉题型10 角平分线的判定 👉题型11 利用垂直平分线的性质求解 👉题型12 垂直平分线线的判定 👉题型13 根据作图痕迹求解 👉题型14 利用三角形三边关系求解 👉题型15 利用三角形内角和定理求解 👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用 👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用 👉题型18 与角度有关的折叠问题 👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题 👉题型20 利用三角形外角和定理求解 👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用 👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合 👉题型01 三角形的稳定性 1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 2．（2024·广西柳州·二模）下列图形中具有稳定性的图形是（    ） A．B．C．D． 3．（2023赣州市模拟预测）如图，四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________； (2)如，平分，求证：． 4．（2023·广西钦州·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 状态一 （空水桶） 状态二 （水桶内加一定量的水） 示意图 说明：C为的中点 (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是． A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：）． 👉题型02 画三角形的五线 5．（2024商洛市二模）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（　　） A．  B． C．  D．   6．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 7．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中按下列步骤完成画图． ①画出的高； ②画的角平分线； ③画点关于的对称点； (2)如图2，是网格线上一点，过点的线段分别交，于点，，且，画出线段． 8．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图是由单位长度为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、两点在格点，点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表示．        (1)在图中，画中点，再过点画线段，使； (2)在图中，画线段的垂直平分线，再在直线右侧找一点，连接，使． 👉题型03 与三角形高有关的计算 9．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 10．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，对角线，交于O，若面积是面积的2倍，那么与的面积之比为 11．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 👉题型04 等面积法求高 13．（2024·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的高，则 ．    14．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 15．（2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（    ） A． B．2 C．1 D．2 👉题型05 求网格中的三角形面积 1．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 17．（2024琼海市三模）如图，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)在图中画出关于轴对称的（点、、的对称点分别为，，）； (3)已知为轴上一点，若的面积为，请直接写出点的坐标． 18．（2024莆田市模拟）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 19．（2024金沙县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形ABC的面积为 ．    👉题型06 与三角形中线有关的计算 20．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 21．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 22．（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 23．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 👉题型07 与三角形重心有关的计算 24．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，分别为的中点，与交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．    莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．    (1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； (2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； (3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 👉题型08 与三角形中位线有关的计算 27．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 28．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】 在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】 （3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 29．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务： 下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题： 如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：． 小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结． 分别是边的中点， ，（依据） ……；……．； 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______． (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______． 30．（2024·山东枣庄·一模）下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 10月30日  星期一  晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下． 小丽的方法：如图（1），在过点B且与垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接，在的延长线上确定一点C，使，测出的长，则． 小丽的理由： ∵，， ∴（依据1） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接，，在，，上分别取点D、E，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由： ∵，， ∴是的中位线， ∴．（依据2）． 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点C，在过点C且与垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点A且与垂直的直线l上确定一点C，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界． 任务： (1)填空：依据1指的是______；依据2指的是______； (2)若按照小亮的方法测出，，，请你求出池塘的宽度； (3)小颖同学的方法如图，若测得，的长度为34米，求池塘的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 👉题型09 利用角平分线的性质求解 31．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 32．（2022·广东深圳·三模）如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 👉题型10 角平分线的判定 35．（2024·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C作交于点N，过点C作交于点M，（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，四边形，，连接，求证：平分， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又∵， ∴① ， ∵， ∴（②    ）， ∴， ∴（依据：③     ） 小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ． 36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 37．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（    ） A．65° B．80° C．100° D．70° 38．（2021·湖北孝感·二模）已知，的顶点A在上，顶点B在上，且，．连接，与交于点D． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若与不垂直，是否仍平分?请作出结论，并说明理由 （3）如图3，若，，求的长． 👉题型11 利用垂直平分线的性质求解 39．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 40．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接； (1)是什么三角形？说明理由； (2)在中，是平分线，是平分线．求证：． 41．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，中，，，，点F，G分别在边和上，且，作的垂直平分线交于点E，则的最小值 ． 42．（2024·山西大同·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，的垂直平分线交于点E、连接，则的长为（    ） A．6 B． C． D．4 43．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为 ． 👉题型12 垂直平分线线的判定 44．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形中，，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 46．（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 👉题型13 根据作图痕迹求解 47．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，．用尺规进行以下操作：①以为圆心长为半径作弧交于点，连接；②以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，做射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取，使．②分别以点和点为圆心，以大于，两弧在内交于点．③作射线交于点，若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 50．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，求作的三等分线． 阅读以下作图步骤： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线； （2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N； （3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求． 下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．为等边三角形 51．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 👉题型14 利用三角形三边关系求解 52．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 53．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 54．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 55．（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 👉题型15 利用三角形内角和定理求解 56．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 57．（2024·湖南·模拟预测）如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 58．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 59．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用 60．（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 61．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 62．（2021·湖南娄底·二模）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（    ） A． B． C． D． 👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用 63．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的角平分钱，，垂足为F，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 64．（2024重庆市模拟）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 65．（2024·宁夏银川·二模）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 👉题型18 与角度有关的折叠问题 67．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 68．（2021·江苏常州·一模）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 69．（2024·四川广元·二模）如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（     ） A． B． C． D． 👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题 70．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 71．（2024·江苏镇江·二模）一副三角板如图放置，，，，则 °． 72．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 73．（2024·河北邯郸·二模）将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 👉题型20 利用三角形外角和定理求解 74．（2024·四川眉山·二模）如图，是的外角的平分线，若，，则 ． 75．（2024·安徽六安·模拟预测）把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得，则与的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 76．（2024·江苏扬州·二模）如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用 77．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（    ） A． B． C． D． 78．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，直线相交于点E，若，，，则（    ） A． B． C． D． 79．（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ． 80．（2024·山西·模拟预测）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在直线和直线外，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合 81．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 82．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则的度数为 ． 83．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 4．（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形 5．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 6．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 10．（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 11．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 12．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 13．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 14．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 16．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 17．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．    18．（2023·内蒙古·中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．    (1)求行进路线和所在直线的夹角的度数； (2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）． $$第四章 三角形 第16讲 三角形的概念和性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 三角形的稳定性 👉题型02 画三角形的五线 👉题型03 与三角形高有关的计算 👉题型04 等面积法求高 👉题型05 求网格中的三角形面积 👉题型06 与三角形中线有关的计算 👉题型07 与三角形重心有关的计算 👉题型08 与三角形中位线有关的计算 👉题型09 利用角平分线的性质求解 👉题型10 角平分线的判定 👉题型11 利用垂直平分线的性质求解 👉题型12 垂直平分线线的判定 👉题型13 根据作图痕迹求解 👉题型14 利用三角形三边关系求解 👉题型15 利用三角形内角和定理求解 👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用 👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用 👉题型18 与角度有关的折叠问题 👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题 👉题型20 利用三角形外角和定理求解 👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用 👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合 👉题型01 三角形的稳定性 1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 2．（2024·广西柳州·二模）下列图形中具有稳定性的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，五边形，四边形，六边形不具有稳定性， ∴具有稳定性的是A选项中的图形， 故选：A． 3．（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________； (2)如，平分，求证：． 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，可得，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形木架加上木条后， 则四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形． 故答案为：三角形具有稳定性． （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的稳定性，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 4．（2023·广西钦州·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 状态一 （空水桶） 状态二 （水桶内加一定量的水） 示意图 说明：C为的中点 (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是． A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：）． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，线段熟练掌握锐角三角的性质，三角形的稳定性，函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形具有稳定性，即可解答； （2）设，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：A； （2）设， 由题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时水桶下降的高度约为． 👉题型02 画三角形的五线 5．（2024商洛市二模）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（　　） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义可知，边上的高线是经过点向边所作的垂线段，依此求解即可，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【详解】由题意可得，在中，是钝角，画边上的高线是， 故选：． 6．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等： （1）取于格线的交点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取格点D，连接交于F，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；    （2）解：如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； 易证明，则；    （3）解：如图所示，取格点I，连接交于F，线段即为所求．    7．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中按下列步骤完成画图． ①画出的高； ②画的角平分线； ③画点关于的对称点； (2)如图2，是网格线上一点，过点的线段分别交，于点，，且，画出线段． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)见解析 【分析】（1）①取格点，连接交于点，此时是的高； ②取格点，与的交点即为点，连接； ③分别画，关于的对称线段和，和的交点即为点关于的对称点； (2)连接并延长交网格线于点，则，连接并延长交网格线于点，则，连接交于点，延长交于点，则线段即为所画的线段． 【详解】（1）解：（1）①如图所示,CD为所求； ②如图所示,AE为所求； ③如图所示, 为所求； （2）如图所示, 线段为所求． 【点睛】此题考查作图一应用与设计作图,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型． 8．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图是由单位长度为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、两点在格点，点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表示．        (1)在图中，画中点，再过点画线段，使； (2)在图中，画线段的垂直平分线，再在直线右侧找一点，连接，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】 （1）利用网格特征作出线段的中点，延长后有； （2）取的中点，点作直线即可，延长交与点，设交直线于点，射线，射线交于点，点即为所求． 【详解】（1）如图中，点，线段即为所求；          （2） 如图中，直线，点即为所求．        【点睛】 此题考查了作图应用与设计作图，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 👉题型03 与三角形高有关的计算 9．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 10．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，对角线，交于O，若面积是面积的2倍，那么与的面积之比为 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 过点作垂足为，过点作交的延长线于点，根据已知易得再根据，从而可得，然后再证明，利用相似三角形的性质可得从而可得最后根据与的高相等，即可解答. 【详解】解：过点作, 垂足为, 过点作, 交的延长线于点, ∵, ∴, ， ， ∴, ∵, ∴, ∴, ， ， ∵与的高相等, ， 故答案为: . 11．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． ∵是的中线， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 👉题型04 等面积法求高 13．（2024·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的高，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】解：， 由勾股定理得， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ， ∴边长的高=， 故选：B． 15．（2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（    ） A． B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】解：由图可知：，， ∵，     ∴ ， 解得：． 故选：D． 👉题型05 求网格中的三角形面积 1．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）借助网格求面积即可； （2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可． 【详解】解：（1）的面积为：； 故答案为：； （2）设与的交点为，与的交点为， 根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上， ∴点G和点H是两个相邻格点的中点 ∴，， 由平移的性质可知，， ∴， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 17．（2024琼海市三模）如图，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)在图中画出关于轴对称的（点、、的对称点分别为，，）； (3)已知为轴上一点，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在平面直角坐标系中画三角形以及画关于x轴的对称的图性，及其根据三角形面积求点的坐标． 先根据，，描点，然后连接各点即可． 先求出A，B，C三点关于x轴的对称点，然后描点连接即可． 设点，根据题意，得，根据的面积为，即可求出m的值，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，，，，画图如下： 则即为所求． （2）根据，，，得到关于轴对称的的三个顶点坐标分别为，，，画图如下： 则即为所求． （3）设点， 根据题意，得， 的面积为， ， 解得或， 故点的坐标为或． 18．（2024莆田市模拟）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求四边形的面积； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用网格割补法求面积进行求解即可； （2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可． 【详解】（1）四边形的面积； （2）解：连接， 根据勾股定理得，， ，， ，，， ∴， ∴． 19．（2024金沙县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形ABC的面积为 ．    【答案】14 【分析】利用割补法求解即可， 【解答】 解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16． 👉题型06 与三角形中线有关的计算 20．（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线，    ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 21．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 证明出，得到，即可求解． 【详解】解：取中点为H，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵线段的中点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 22．（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 23．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作，交于点，证明，结合三角形中线的性质，得到，，根据题意得到，进而得到，证明，利用相似三角形性质得到，，即可解题． 【详解】解：作，交于点， ， 是的中线， ，即，， 点D是边靠近顶点B的一个三等分点， ， ， ， ， ， 即，， ， 故选：B． 👉题型07 与三角形重心有关的计算 24．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．作和的垂直平分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，分别为的中点，与交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线交点的性质，根据勾股定理可求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据三角形中线交点（重心）的性质“三角形的三条中线交于一点，该点叫三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜边中线的性质，重心的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是中点， ∴，且点是三角形的重心， ∴， ∴， 故选：B ． 26．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．    莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．    (1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； (2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； (3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，，见解析 (3) (4)的长为或 【分析】（1）利用折叠的性质即可得到答案； （2）连接，易得为的中位线，则，，于是，利用相似三角形的性质即可求解； （3）由折叠可知，，利用勾股定理求得，结合（2）的结论，根据三角形面积公式可求解； （4）连接，由（2）知，则，利用勾股定理求得，由折叠可知，易证，由相似三角形的性质可求得，则，分两种情况讨论：当与点重合时，此时；当点与点F重合时，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵点B与点A重叠对折，得折痕， ∴（折叠的性质）， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下：连接．    ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：由折叠可得，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，    由（2）知，， ∴， 在中，， 由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当与点B重合时，如图①②，连接，    此时；    ∵， ∴， 此时拼成的图形为三角形，不符合题意； 当点与点F重合时，如图③④，       在中，， ∴． 综上所述，的长为或．． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题． 👉题型08 与三角形中位线有关的计算 27．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则 cm． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得：，再结合是的中位线即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： 28．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】 在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】 （3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可； （2）延长交延长线于M，证明可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论； （3）如图③，连接并延长，交延长线于点，证明得到，，在中，利用三角形的中位线可证得，，进而可证得结论；再根据结论求出的长即可． 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点， 求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求； 猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ， ． 是的中点， ． ， ． ，． 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ，． ． ，， ． ，． ∵，， ∴。 29．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务： 下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题： 如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：． 小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结． 分别是边的中点， ，（依据） ……；……． ； 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______． (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______． 【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可； （2）证明，即可解答； （3）如图中，连接．设的面积为．证明，得出，从而得出，，再根据，得出，，即可求解． 【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）． （2）解：补充如下： ， ， ， ， ； （3）解：如图中，连接．设的面积为． ， ， ， ，， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ． 30．（2024·山东枣庄·一模）下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务 10月30日  星期一  晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下． 小丽的方法：如图（1），在过点B且与垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接，在的延长线上确定一点C，使，测出的长，则． 小丽的理由： ∵，， ∴（依据1） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接，，在，，上分别取点D、E，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由： ∵，， ∴是的中位线， ∴．（依据2）． 小亮的方法：如图（3），在的延长线上取一点C，在过点C且与垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点A且与垂直的直线l上确定一点C，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界． 任务： (1)填空：依据1指的是______；依据2指的是______； (2)若按照小亮的方法测出，，，请你求出池塘的宽度； (3)小颖同学的方法如图，若测得，的长度为34米，求池塘的宽度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)等腰三角形三线合一，三角形中位线定理 (2)池塘的宽度为 (3)池塘的宽度约为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形中位线定理解决问题即可； （2）证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可； （3）根据含30°角三角形的性质得到，间的关系，再利用勾股定理列方程可求出池塘的宽度． 【详解】（1）解：小丽的方法：如图（1），在过点B且与垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接，在的延长线上确定一点C，使，测出的长，则． 小丽的理由： ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形的高， ∴（等腰三角形三线合一） 小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接，，在，，上分别取点D、E，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由： ∵，， ∴是的中位线， ∴．（三角形中位线定理）． 答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理； （2）解：∵直线a，直线b， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 答：池塘的宽度为； （3）∵，， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， 解得米，（负的已舍）， 答：池塘AB的宽度约为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，能综合运用与三角形有关的性质是解题的关键． 👉题型09 利用角平分线的性质求解 31．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 32．（2022·广东深圳·三模）如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【详解】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为5， 故选：D． 33．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理， （1）由角平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由勾股定理求出，由（1）知，由，即可得解； 掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴的长为． 34．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 又， ， 故的长为． 👉题型10 角平分线的判定 35．（2024·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点C作交于点N，过点C作交于点M，（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，四边形，，连接，求证：平分， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又∵， ∴① ， ∵， ∴（②    ）， ∴， ∴（依据：③     ） 小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③角平分线判定定理；④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角 【分析】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理． （1）利用垂线的基本作图，解答即可； （2）根据垂直的定义，三角形的全等判定和性质，根据角平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：根据题意作图即可； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又∵， ∴①， ∵， ∴（②）， ∴， ∴（③角平分线判定定理） 依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角． 故答案为：①；②；③角平分线判定定理；④四边形的对角线平分相等临边所夹角的对角． 36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 37．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（    ） A．65° B．80° C．100° D．70° 【答案】B 【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：点P到三边的距离， 、是、的角平分线， ，， ， , ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键． 38．（2021·湖北孝感·二模）已知，的顶点A在上，顶点B在上，且，．连接，与交于点D． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若与不垂直，是否仍平分?请作出结论，并说明理由 （3）如图3，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）仍平分．理由见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质进行证明即可； （2）证明，再根据角平分线的性质证明； （3）作，垂足为H．由求得，再解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ． 又，， 平分． （2）仍平分． 理由如下：如图1，作，． ， ． 又， ． 又， ． ． 又，， 平分． （3）解：如图2，作，垂足为H． 由（2）知，平分， ． ，， ． ． 又， ． ． ， 设，则， ，． ． 在中，． ，， ，． 在中，． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键． 👉题型11 利用垂直平分线的性质求解 39．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理 ．首先根据勾股定理可以求出，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得． 【详解】解：，，， ， ， ， 垂直平分， ． 故答案为： ． 40．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接； (1)是什么三角形？说明理由； (2)在中，是平分线，是平分线．求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）由作图知是的垂直平分线，据此可证明是等腰三角形； （2）证明，即可得到． 【详解】（1）解：是等腰角形， 理由如下： 根据作图，是的垂直平分线， ∴． ∴是等腰三角形； （2）证明：∵是等腰三角形，， ∴， 又∵是平分线，是平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 41．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，中，，，，点F，G分别在边和上，且，作的垂直平分线交于点E，则的最小值 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点，掌握相关性质是解题的关键． 过点作，交于点，勾股定理算出，设，则，表示出，根据是的垂直平分线，得出，从而得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， ， 时，最小． 故答案为：5． 42．（2024·山西大同·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，的垂直平分线交于点E、连接，则的长为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到然后得到，利用勾股定理解得长，然后在中再利用勾股定理求出长即可． 【详解】连接，如图， 在菱形中，菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ， ∴， ∴在中， ， 故选：B． 43．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意，画出示意图，分点E在上，点E在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】解：如图，当点E在上时， D为边的中点，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 如图，当点E在延长线上， 同理可得：， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 👉题型12 垂直平分线线的判定 44．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形中，，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质是解题的关键．如图，取的中点，连接、，延长交于点，由勾股定理得，利用中线的性质得，再证， ，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选∶． 45．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证： (1)； (2)直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定； （1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明； （2）根据垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 46．（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． (1)求证：； (2)试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定； （1）根据矩形的性质结合已知得出，即，再根据可得结论； （2）根据，，可得垂直平分，则垂直． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）垂直； 理由：∵， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上． 又∵， ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， ∴垂直． 👉题型13 根据作图痕迹求解 47．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，当最小时，的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角想性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键，过点作于点，由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，得出得出，继而得解． 【详解】如图，过点作于点．当点与点重合时，最小， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ 所以． 故选：C． 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，．用尺规进行以下操作：①以为圆心长为半径作弧交于点，连接；②以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，做射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的作图及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图可知，，平分，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得，，再利用角平分线的性质可求得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：根据作图可知，，平分 ， 又 平分 故选：B． 49．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取，使．②分别以点和点为圆心，以大于，两弧在内交于点．③作射线交于点，若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值得问题，胡不归模型的重点就在于能否把转化成为，根据题目中的条件构造直角三角形是解决本道题的关键． 根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度． 【详解】解：由作图步骤可知，射线为的角平分线， ， ， 平分， ， 过点作于，交于， 在中，， ， ， 根据点到直线的距离，垂线段最短，此时值最小， 在中，， ， ， ， 故选：C． 50．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，求作的三等分线． 阅读以下作图步骤： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线交于点F，交于点H，画射线； （2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交于点M，交于点N； （3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点G，画射线，则射线即为所求． 下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】由垂直平分线段可判断A，由30度角的性质可判断B，由等边三角形的判定可判断D，由三线合一可判断C． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴，故选项A正确， ∴， ∵， ∴，故选项B错误， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故选项D正确， 由作图可知平分， ∴，故选项C正确， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 51．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为8， 故选：C． 👉题型14 利用三角形三边关系求解 52．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边长为，然后再利用三边关系列出不等式组，进而可得答案． 【详解】解：∵，，是某三角形的三边长， ∴， 即：， ∴可取的最大整数为 故选：C． 53．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为6，底为3时，得三角形的周长；当三角形的腰为3，底为6时不符合三角形三边的关系，舍去． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为， 当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为15． 故选：B． 54．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 55．（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，则等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰长为6，底边长为2，则周长为14，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2， 则等腰三角形的周长是， 故选：D 👉题型15 利用三角形内角和定理求解 56．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解： 平分， ， 是的直径，， ，， 则， ， 故选：C． 57．（2024·湖南·模拟预测）如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理，连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 58．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 59．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出 ，由直角三角形两锐角互余以及平角的定义可得出，，再由三角形三角和定理可得出，最后根据平角的定义可求出． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， ∴， 故选 D．    👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用 60．（2024·四川眉山·一模）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和、角平分线的定义及平行线性质，解题关键是熟记相关概念与性质．先根据三角形内角和求出， 再根据角平分线定义及平行线性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，且，， ， 平分， ， ， ． 故选：． 61．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 62．（2021·湖南娄底·二模）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=40°即可解决问题． 【详解】解：由旋转得： AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C； ∵CC′∥AB，且∠BAC=72°， ∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=72°， ∴∠CAC′=180°-2×72°=36°； 由题意知：∠BAB′=∠CAC′=36°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用 63．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的角平分钱，，垂足为F，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的概念等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分钱， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 64．（2024重庆市模拟）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 65．（2024·宁夏银川·二模）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．过点分别作于，于，于，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作于，于，于， 直线， ， 点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ， ， 故选：D． 66．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 👉题型18 与角度有关的折叠问题 67．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 68．（2021·江苏常州·一模）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 【答案】C 【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值． 【详解】解：， ， 翻折， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键． 69．（2024·四川广元·二模）如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现角的倍数关系是解答此题的关键． 根据等腰三角形的性质，由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案 【详解】 ， ， 根据折叠的性质知：， 在中 ， ， ， 故选：C． 👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题 70．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 【详解】解： 在和中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 71．（2024·江苏镇江·二模）一副三角板如图放置，，，，则 °． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，而，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 故答案为：75． 72．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到 ，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 73．（2024·河北邯郸·二模）将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 【答案】 减小 15 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用三角形内角和定理和外角定理即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴旋转前， ∵， ∴， ∵旋转后， ∴旋转后， ∴， ∴度数减小了， 故答案为：减小，． 👉题型20 利用三角形外角和定理求解 74．（2024·四川眉山·二模）如图，是的外角的平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，求出的度数，再根据外角的性质，进行计算即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∴； 故答案为：． 75．（2024·安徽六安·模拟预测）把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得，则与的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角板及三角形外角求解即可． 【详解】如图，与的交点为， 由三角板可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与的夹角的度数为， 故选：C． 76．（2024·江苏扬州·二模）如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角的性质，延长交于点D，连接，根据圆周角定理求得，结合是的一个外角，则，即可求得可能的度数． 【详解】解：延长交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴的度数可能是， 故选：B． 👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用 77．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质结合对顶角得，再根据外角定理即可求解． 【详解】解：两条平行线记为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 78．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，直线相交于点E，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 79．（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ． 【答案】/15度 【分析】】把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，再利用平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形的外角性质进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：把分别向两方延长交直线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为： 80．（2024·山西·模拟预测）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在直线和直线外，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平角的定义，先由平角的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合 81．（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 82．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则的度数为 ． 【答案】/19度 【分析】先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可．本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质，熟练掌握多边形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：， ， ，， ， ； 故答案为：． 83．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转性质和等腰三角形的性质是解答的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴即，故A说法正确； 当时，， 若以为底，高， ∴，故B说法正确； 设内切圆的半径为r， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C说法错误； 当时，， ∴是直角三角形，故D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键． 5．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 6．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 4．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴ ， 故选：A． 7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可． 【详解】解：由作法可得垂直平分， ， ， ． ，， ， ， 如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形． 8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，   ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 9．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得． 【详解】如图，∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴     故选：C．    【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 11．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 12．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 13．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 14．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 16．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 17．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．    【答案】 【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 18．（2023·内蒙古·中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．    (1)求行进路线和所在直线的夹角的度数； (2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)行进路线和所在直线的夹角为 (2)检查点和之间的距离为 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． （2）过点A作，垂足为．      ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． $$