第15讲 几何图形的初步（练习，16题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第15讲 几何图形的初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 从不同方向看几何体 👉题型02 由几何体展开图计算表面积、体积 👉题型03 正方体的展开图 👉题型04 平面图形旋转所得的立体图形 👉题型05 指出现实问题后的数学依据 👉题型06 与线段中点有关的计算 👉题型07 方向角 👉题型08 钟面角 👉题型09 与角平分线有关的计算 👉题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算 👉题型11 三线八角的识别 👉题型12 利用平行线的判定进行证明 👉题型13 根据平行线的性质求解 👉题型14 平行线的形状在生活中的应用 👉题型15 根据平行线性质与判定求角度 👉题型16 根据平行线性质与判定证明 👉题型01 从不同方向看几何体 1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（　　） A．   B．   C．   D．   3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（    ） A．B．C．D． 👉题型02 由几何体展开图计算表面积、体积 4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（    ） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ． 👉题型03 正方体的展开图 8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（   ） A．B． C． D． 9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是(    ) A．美 B．丽 C．中 D．国 10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 👉题型04 平面图形旋转所得的立体图形 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（，） 14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）； A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 👉题型05 指出现实问题后的数学依据 15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B．C．D． 16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ． 18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象： 其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）． 👉题型06 与线段中点有关的计算 19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为，则A，B两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 20．（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 21．（2023平乐县三模）如图，在一条笔直的大道上有A，B，C三个小区，O为A、C区的中点．已知某校学生住在A区有3人，B区有2人，C区有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若学校在O处做为校车的停靠点，则这些学生从住处到该停靠点的路程之和是（　　）． A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m 22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． （1）C、D两站的距离为 ；（2）若a＝3，C为AD的中点，b= ． 👉题型07 方向角 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东方向上，则市二中在省二院的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏西方向 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 4．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线上的点D处． (1)填空： ______度， ______度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据，，，．结果精确到小数点后一位）． 👉题型08 钟面角 1．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 2．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（    ） A．沿逆时针方向旋转了45° B．沿顺时针方向旋转了45° C．沿逆时针方向旋转了90° D．沿顺时针方向旋转了90° 4．（2023·河北保定·二模）某款钟表的分针长度为5cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为（   ） A． B． C． D． 👉题型09 与角平分线有关的计算 31．（2023郑州市模拟）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 32．（2024·山西大同·二模）阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 33．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧； ②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 34．（2024北京二中模拟）如图1，直线与直线，分别交于，两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．    (1)证明：； (2)如图2，点P是上一点，射线交直线于点，． ①若，求出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与的等量关系，并写出证明过程． 👉题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算 35．（2024·广西柳州·三模）若一个角为，则它的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·广西·模拟预测）如图，已知于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 38．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 👉题型11 三线八角的识别 39．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（   ） A．° B． C．与是内错角 D． 40．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 41．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 👉题型12 利用平行线的判定进行证明 42．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，______．    求证：． 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答． 43．（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点.求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： (1)根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ①   ②   ③    ④ (2)完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又， ___________. ， ， ， 直线直线．（___________）（填写推理依据） 44．（2024·江苏·模拟预测）如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 45．（2024·江苏苏州·二模）在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 👉题型13 根据平行线的性质求解 46．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 47．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A． B． C． D． 48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 👉题型14 平行线的形状在生活中的应用 50．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 51．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 52．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅． 项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示） 项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示） 项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）    👉题型15 根据平行线性质与判定求角度 53．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，求的度数． 54．（2024·山东青岛·一模）【探究1】 如图1， 的平分线与 的平分线交于点E，， ，，则 ； 【探究2】 如图2， 的三等分线与 的三等分线交于点E，，，，，则 ； 【探究3】 如图3， 的n等分线与 的n等分线交于点E，，，，，则 (用含x，y，n的式子表示) ．    55．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 56．（2023·广东·模拟预测）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若，证明：； (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？ 👉题型16 根据平行线性质与判定证明 57．（2024武汉市二模）已知：如图，在中，点D、E分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数， 58．（2024·浙江丽水·二模）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知，，求证：．” 小莲同学解答如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 59．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长之比． 60．（2024·黑龙江·二模）已知直线的平分线与 的平分线交于点，过点 作 交于点 ，交直线于点．    (1)当直线 时，如图，求证：； (2)当直线 与不垂直时，如图、图，猜想线段之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图或图进行证明． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 2．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（    ） A．吉  如  意 B．意  吉  如 C．吉  意  如 D．意  如  吉 4．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．            图1                                                                   图2                                      图3 (1)直接写出的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） 图4 A．        B． C．        D． (3) 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A．B．C． D． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    11．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 14．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 15．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 16．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．    17．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 18．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． 19．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ．∴ ．∴． 由【探究】（1）可知 ，∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． $$第四章 三角形 第15讲 几何图形的初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 从不同方向看几何体 👉题型02 由几何体展开图计算表面积、体积 👉题型03 正方体的展开图 👉题型04 平面图形旋转所得的立体图形 👉题型05 指出现实问题后的数学依据 👉题型06 与线段中点有关的计算 👉题型07 方向角 👉题型08 钟面角 👉题型09 与角平分线有关的计算 👉题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算 👉题型11 三线八角的识别 👉题型12 利用平行线的判定进行证明 👉题型13 根据平行线的性质求解 👉题型14 平行线的形状在生活中的应用 👉题型15 根据平行线性质与判定求角度 👉题型16 根据平行线性质与判定证明 👉题型01 从不同方向看几何体 1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看．由从正面、左面看可得此几何体为锥体，根据从上面看是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：∵从正面、左面看都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵从上面看是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选A． 2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别找出每个几何体从三个方向看到的图形即可得到答案． 【详解】解：A.正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，故A选项不符合题意； B.球从从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是圆，故B选项不符合题意； C.直三棱柱从上面看是中间有一条横杠的矩形，从正面看是矩形，从左侧看是三角形，故C选项不符合题意； D.圆柱从上面和正面看都是矩形，从左侧看是圆，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，培养空间想象能力，熟练掌握从不同方向看几何体是解决本题的关键． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查的是几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可． 【详解】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形. 故选：A． 👉题型02 由几何体展开图计算表面积、体积 4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为，其中为底面圆直径，为圆柱的高是解题的关键． 根据笔筒的侧面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为 ， 故答案为：． 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（    ） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】D 【分析】根据结合已知条件可得答案． 【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为，则圆柱的高为， 故选D． 【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：(分米)， ∴(分米)， ∴正方体礼品盒的棱长为(分米)， ∴体积为(立方分米)， 故答案为：． 👉题型03 正方体的展开图 8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答． 【详解】 解：观察， ∴其展开图可能是， 故选：D． 9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是(    ) A．美 B．丽 C．中 D．国 【答案】B 【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”． 【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”， 故选：B． 10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解． 【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是点． 故选：D． 11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 【答案】C 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点数1的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为， ∴，两个面的点数和为9，，两个面的点数和为8； 故选C． 👉题型04 平面图形旋转所得的立体图形 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到，再根据题意可得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于， 故答案为：． 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（，） 【答案】图形①的体积更大，见解析 【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．设图形①、②的体积分别为，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答． 【详解】解：图形①的体积更大． 设图形①、②的体积分别为、， 则，， ， ， 故图形①的体积更大． 14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）； A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体， （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 👉题型05 指出现实问题后的数学依据 15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短． 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短， 故选：A． 17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ． 【答案】把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一） 【分析】根据两点确定一条直线的原理寻找实例解答即可． 【详解】举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）． 故答案为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线． 18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象： 其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①， 可以“两点之间线段最短” 来解释②， 可以用“两点确定一条直线” 来解释③， 故答案为：①． 【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 👉题型06 与线段中点有关的计算 19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为，则A，B两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据线段中点的定义求得，然后利用科学记数法表示该数即可；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法形式，其中，n为正整数． 【详解】根据题意知： 故选：D． 20．（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段上一点，若线段，且，O是的中点，则线段的长度为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了与线段中点有关的计算，线段间的和差，理清题意是解答本题的关键．根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵O是的中点， ∴， 故答案为：16． 21．（2023平乐县三模）如图，在一条笔直的大道上有A，B，C三个小区，O为A、C区的中点．已知某校学生住在A区有3人，B区有2人，C区有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若学校在O处做为校车的停靠点，则这些学生从住处到该停靠点的路程之和是（　　）． A．4400m B．5400m C．5800m D．7600m 【答案】B 【分析】根据题目所给条件，可以计算出AB的长，再根据线段中点，可以得到AO的长，从而得到BO的长，最后根据不同小区学生数，根据线段长度即可得到最后答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点O是线段AC的中点， ∴， ∴， ∴这些学生从住处到该停靠点的路程之和为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的和与差以及线段中点的问题，解决本题的关键是找出每个线段具体的长度． 22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示． （1）C、D两站的距离为 ；（2）若a＝3，C为AD的中点，b= ． 【答案】 a+3b/3b+a 2 【分析】(1)利用即可求解； （2）先利用求得，再利用C为AD的中点，代入 即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵C为AD的中点， ∴， 即， 当时，则，解得， 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查了整式的加减，根据图形列出代数式是解题的关键． 👉题型07 方向角 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东方向上，则市二中在省二院的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏西方向 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的应用，因为省二院在市二中北偏东方向上，所以市二中在省二院的南偏西方向，即可作答． 【详解】解：如图: ∵省二院在市二中北偏东方向上 ∴市二中在省二院的南偏西方向 故选：B 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． （1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 【详解】（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东， 小岛A相对于小岛C的方向是南偏西． 故选C 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线上的点D处． (1)填空： ______度， ______度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据，，，．结果精确到小数点后一位）． 【答案】(1)45，50 (2)点D到灯塔O的距离约为 【分析】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答； （2）先在中求出，在中，根据锐角三角函数的定义可知，计算即可得出答案； 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45，50； （2）解：由题意可知：， 在中， ， ∴， 在中，， ∴， 答：点D到灯塔O的距离约为． 👉题型08 钟面角 1．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，钟面角， 首先求出相邻两个数之间的夹角为，进而根据方位角求解即可． 【详解】∵钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向， ∴她可以说学校在家的2点钟方向． 故选：B． 2．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键． 过点A作轴，于点B，构造出含有直角三角形，由，解直角三角形即可． 【详解】解： 过点A作轴，于点B． 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分钟转动了， ∴， 在中，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴点A坐标为． 故选：A． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（    ） A．沿逆时针方向旋转了45° B．沿顺时针方向旋转了45° C．沿逆时针方向旋转了90° D．沿顺时针方向旋转了90° 【答案】D 【分析】本题考查了钟表中的角度问题，在钟表中，分针每分钟走，据此即可求解． 【详解】解：在钟表中，分针每分钟走，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，共走了15分钟， ∴正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就沿顺时针方向旋转了． 故选：D 4．（2023·河北保定·二模）某款钟表的分针长度为5cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经过30分钟，分针要走过6个大格，即旋转了180°，分针走过的路程也是一个半圆，求分针针尖走过的路程也就是求半径是20厘米的圆的周长的一半，根据弧长公式计算即可； 【详解】分针走了30分，即旋转了180°，故分针针尖走过的路线长为； 故选A. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和弧长计算公式，准确计算是解题的关键. 👉题型09 与角平分线有关的计算 31．（2023郑州市模拟）【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1) (2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据伴随线定义求解即可； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线， ， ， ∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ， ∵射线是的平分线， ， ． 故答案为：． （2）解：射线与重合时， （秒） ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则，解得：； 若在相遇之后，则，解得：． 综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： a．如图1， 当是的伴随线时，则，即，解得：； b．如图2， 当是的伴随线时，则，即，解得：； 相遇之后： c．如图3， 当是的伴随线时，则，即，解得：； d．如图4， 当是的伴随线时，则，即，解得：． 综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 32．（2024·山西大同·二模）阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 【答案】(1)等角对等边 (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边解答即可． （2）根据题意，写出已知，求证，给出证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依据是等角对等边， 故答案为：等角对等边． （2）解：第二种情况：求证：是的平分线． 故答案为：是的平分线． 第三种情况：已知，如图，E是上一点，是的平分线，．求证：． 选择第二种情况，证明如下 证明：∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是的平分线， 选择第三种情况，证明如下： 证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 33．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧； ②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）①根据并联电路电阻公式，即可解答； ②过点作的平行线，交于点，证明为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答； （2）过点作的平行线，交于点，得到与的关系，利用相似三角形的性质，即可解答； （3）过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，得到求得的长，利用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧， 故答案为： 证明：②如图1，过点作的平行线，交于点， ，是的角平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 可得， , 故；    （2）解：如图2，过点作的平行线，交于点，    同上述原理可得，， ， 可得， 即， 整理后可得， 即， ； （3）解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，    同上述原理可得，， ， ， 可得， 即， 整理后可得， 即． 34．（2024北京二中模拟）如图1，直线与直线，分别交于，两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．    (1)证明：； (2)如图2，点P是上一点，射线交直线于点，． ①若，求出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与的等量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或，证明见解答． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可； ②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【详解】（1）证明：如图1， 平分， ， ∵， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， ， ； ②证明：或，理由如下： 如图3，    ， ， ， ， ， ； 如图4，    由①可得， ，， ， ， 即：， ， ， ， 综上所述，与满足的等量关系为或． 【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键． 👉题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算 35．（2024·广西柳州·三模）若一个角为，则它的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查补角，主要记住互为补角的两个角的和为180度． 根据补角的定义：和为180度的两个角互为补角，求解即可． 【详解】解：它的补角的度数为， 故选：D． 36．（2024·广西·模拟预测）如图，已知于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质，根据垂直的定义得到，从而推出 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 37．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，然后根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 38．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 ． 【答案】/117度 【分析】本题考查了平行线性质求角度，三角形外角性质，邻补角的计算，对顶角相等等知识，根据对顶角相等可求出的度数，根据三角形外角性质求出的度数，再利用邻补角求出的度数，最后利用两直线平行同位角相等求出结果即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 👉题型11 三线八角的识别 39．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（   ） A．° B． C．与是内错角 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角，解题的关键是掌握内错角的边构成“Z”形． 根据对顶角、邻补角、内错角的概念对选项进行判断． 【详解】解：A. 与是邻补角，∴，故此选项不符合题意；     B. 与是对顶角，∴，故此选项不符合题意； C. 与是内错角，故此选项不符合题意；     D. 和是同位角，只有当时，，故此选项符合题意； 故选：D． 40．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】A 【分析】根据的位置，结合同位角的定义可得答案． 【详解】如图所示，和两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以和是同位角． 故选：A． 【点睛】本题考查的是同位角的识别，掌握同位角的含义是解题的关键． 41．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【答案】D 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 👉题型12 利用平行线的判定进行证明 42．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，______．    求证：． 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，选择①利用证明，即可；选择②，利用，证明，即可． 【详解】证明：选条件①， ， 在和中， ． 选条件②， ， 在和中 ， ． 43．（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点.求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： (1)根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）． ①   ②   ③    ④ (2)完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， __________. 又， ___________. ， ， ， 直线直线．（___________）（填写推理依据） 【答案】(1)① (2)；；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角、平行线的判定等知识． （1）根据作图可知，即可证明，得到答案； （2）由角平分线作图可知， ． 由等边对等角可知. 由三角形外角的性质得到，则，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由作图可知，， ∴， 故选：①； （2）证明：由作图可知平分， . 又， . ， ， ， 直线直线．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，，同位角相等，两直线平行 44．（2024·江苏·模拟预测）如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识． （1）由等腰三角形的性质证出，由平行线的判定可得出结论； （2）连接，交于，由勾股定理求出，由垂径定理求出，得出，证出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明： ， ， 又 ， ， ， ； （2）解：连接，交于， 为的直径， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．（2024·江苏苏州·二模）在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得，然后证明结论即可； （2）证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵是的中点，，， ∴，， ∴在中，． 👉题型13 根据平行线的性质求解 46．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 47．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点D作交于点F，根据题意可得，，因此，最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】过点D作交于点F， 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质和对顶角的性质，由对顶角的性质可得，由外角的性质可得再利用平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C 49．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若，交于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用．先根据平行线的性质，得到的度数，再根据三角形外角性质，求得的度数，利用邻补角即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：C． 👉题型14 平行线的形状在生活中的应用 50．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 51．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 52．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅． 项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示） 项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示） 项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）    【答案】任务（一）：，；任务（二）：，；任务（三）：地球的半径为，地球的周长 【分析】任务（一）：根据太阳光线是平行线可得，再根据弧长公式求出半径，即可求出对应的周长； 任务（二）：如图所示，延长交于P，同理求出，根据三角形外角的性质求出，再同（1）方法求出对应的周长即可； 任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，设地球半径为，则，证明，解，求出，则地球的周长. 【详解】解：任务（一）∵太阳光线是平行线， ∴， ∵， ∴， 设地球的半径为, ∵之间弧长为l， ∴， ∴， ∴地球子午线周长为， 故答案为：，；    任务（二）：如图所示，延长交于P， ∵太阳光线是平行线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设地球的半径为, ∵之间弧长为l， ∴， ∴， ∴地球子午线周长为， 故答案为：，；    任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，设地球半径为， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴地球的半径为， ∴地球的周长.    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，切线的性质，平行线的性质，求弧长，三角形外角的性质等等，正确理解题意并作出对应的辅助线是解题的关键. 👉题型15 根据平行线性质与判定求角度 53．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ． 54．（2024·山东青岛·一模）【探究1】 如图1， 的平分线与 的平分线交于点E，， ，，则 ； 【探究2】 如图2， 的三等分线与 的三等分线交于点E，，，，，则 ； 【探究3】 如图3， 的n等分线与 的n等分线交于点E，，，，，则 (用含x，y，n的式子表示) ．    【答案】探究1：；探究2：；探究3： 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差关系．探究1：过点E作，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义求出，，再利用平行线的性质得出，，最后根据即可求解；探究2、3参照上述方法求解． 【详解】解：探究1：如图1，过点E作，    ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ； 探究2：如图2，过点E作，    ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 探究3：如图3，过点E作，    ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：探究1：；探究2：；探究3：． 55．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 【答案】(1)支点到桌面的距离 (2)支撑面下端到桌面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质， （1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得； （2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得， 掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作， ∴， 在中，，，，， 即， ， 即支点到桌面的距离． （2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵，支点A为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 则支撑面下端到桌面的距离： ， 即支撑面下端到桌面的距离为． 56．（2023·广东·模拟预测）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若，证明：； (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，进而得到，求出，从而得证； （2）过点作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作， ∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴为． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 👉题型16 根据平行线性质与判定证明 57．（2024武汉市二模）已知：如图，在中，点D、E分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数， 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． （1）由题意可得，从而得，由平行线的判定条件可得，则有，从而得，即可判断； （2）由（1）可知，再由角平分线的定义得，再由，即可求的度数，即可得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ． 58．（2024·浙江丽水·二模）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知，，求证：．” 小莲同学解答如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】错误．证明过程见解析 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 由平行线的性质推出，，由补角的性质推出． 【详解】小莲的证法是错误的． 证明过程如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形中，，E为上一点，的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）由得，由平行线的性质结合，得，再由平行线的性质即可得结论； （2）由（1）知，四边形是平行四边形，则有；易得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ； ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 四边形是平行四边形， ； ， ， 从而； ， ， 和的周长之比为． 60．（2024·黑龙江·二模）已知直线的平分线与 的平分线交于点，过点 作 交于点 ，交直线于点．    (1)当直线 时，如图，求证：； (2)当直线 与不垂直时，如图、图，猜想线段之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图或图进行证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)图：；图：；证明见解析． 【分析】（）如图，延长交于，证明，得到，再证明，得到，最后，得到，即可得，即； （）图：．延长交于，同理即可求证； 图：．延长交于，同理即可求证； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：图：． 证明：如图，延长交于，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 图：． 证明：如图，延长交于，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 2．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（    ） A．吉  如  意 B．意  吉  如 C．吉  意  如 D．意  如  吉 【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案． 【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥， ∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意； 故选A 4．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．            图1                                                                   图2                                      图3 (1)直接写出的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（    ） 图4 A．        B． C．        D． (3) 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 【答案】(1)2； (2)C； (3)见解析． 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴的值为：． （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． （3）解： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2 所用卡纸总费用（单位：元） 58 根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： ∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图： ∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则 （个）， ∴所用卡纸总费用为： （元）． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案． 【详解】 解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是 故选：B． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键． 根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：C ． 4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角， ∴，， ∴， 则， ∵光线是平行的， 即， ∴， 故选：B． 9．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 10．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    【答案】55 【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到． 【详解】∵由作图可得，是的角平分线 ∴． 故答案为：55． 【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        【答案】//． 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 14．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．    【答案】 【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 17．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到； （2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 18．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键． （1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有，设，则，再利用勾股定理即可得出． （2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作， 则，， ∴， ∴ ， ， 当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有， 设，则， ∵ ∴在中， 解得：， 故 （2）如图2，当点F在上时，如下图： 由(1)可知， ∵ ∴， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，． ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 则， 解得：， 如图3，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 在中， ， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． 19．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    【答案】答案见解析 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作，    则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作    ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ． ． ． 由【探究】（1）可知， ． （3）解：过点作于点，过点作于点，则， ， ， ， 点所对应的刻度值分别为5，，0， ，， ， 又，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． $$