第17讲 全等三角形（讲义，2考点+4命题点19种题型（含5种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第17讲 全等三角形 （思维导图+3考点+4命题点19种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形的概念及性质 考点二 全等三角形的判定 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 利用全等三角形的性质求解 ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等 ►题型03 结合尺规作图的全等问题 ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 ►题型05 补全全等三角形的证明过程 ►题型06 全等三角形证明方法的合理选择 ►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 命题点二 与全等三角形有关的基础模型 ►题型01 平移模型 ►题型02 对称模型 ►题型03 旋转模型 ►题型04 一线三等角 ►题型05 手拉手模型 命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等 ►题型01 倍长中线法 ►题型02 截长补短法 ►题型03 构造平行线 ►题型04 构造垂线 命题点四 全等三角形的应用 ►题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 ►题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 ►题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 全等三角形的判定 ★★★ 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角;掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 全等三角形的性质与证明 ★★ 全等三角形的性质与计算 ★★ 【考情分析】全等三角形的判定及性质经常与平移、旋转等几何变换相结合，综合考查学生的逻辑推理能力和分析几何图形的能力. 此类题目通常是要利用全等三角形的性质得到线段(或角)相等. 解答时应结合已知条件找到两个全等三角形，甚至需要添加辅助线构造两个全等三角形，试题常以解答题的形式出现，有一定难度. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形的概念及性质 一、全等三角形的概念及表示 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 二、全等三角形的性质 性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知如图，，其中的：对应边 与 ， 与 ， 与 ，对应角： 与 ， 与 ， 与 ． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（    ） A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥 3．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    考点二 全等三角形的判定 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点， ，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 4．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 6．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 4．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． ►题型03 结合尺规作图的全等问题 1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 4．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵，∴． ∵，∴．第一步又，， ∴第二步∴第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，点D，E分别在上，，，相交于点O． 求证：． 小刚同学的证明过程如下： 证明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 (1)小刚同学的证明过程中，第______步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 3．（2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． ►题型05 补全全等三角形的证明过程 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2021·广西柳州·中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明． 证明：在和中， ∴ ∴____________ 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，已知正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：在正方形内部作，使，边交线段于点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)要探究，的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整． 解：，，理由如下． 四边形是正方形， 　　①，， 在和中 ， 　　③ ，， 　　④ 　　⑤， ，． 4．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． ►题型06 全等三角形证明方法的合理选择 全等三角形的判定法方法： 【易错点】 1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证． 3．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． ►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有 ．（只填序号） 3．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 4．（2023·山东济南·三模）如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 5．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 命题点二 与全等三角形有关的基础模型 ►题型01 平移模型 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． ►题型02 对称模型 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，和，点E，F在直线BC上，，，．如图①，易证：．请解答下列问题： (1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论； (2)请选择（1）中任意一种结论进行证明； (3)若，，，，则______，______． ►题型03 旋转模型 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．    3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 4．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． ►题型04 一线三等角 1．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（2023昆明模拟预测）如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 3．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 4．（2024石家庄模拟预测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． ►题型05 手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 2．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 3．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 4．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等 添加辅助线的基本作图方法： 方法 内容 图示 连接两点 连接AD 作延长线 延长AB交CD的延长线于点E 作平行线 过点D，作BC的平行线，与AC交于点E 作垂线 过点A，作BC的垂线，垂足为点D ►题型01 倍长中线法 模型介绍：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线（或类中线），使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 题目特征：有中点，有中线. 1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状； (3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围． 2．（2024山东省模拟预测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 3．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 4．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． ►题型02 截长补短法 模型概述：该模型适用于求证线段的“和、差、倍、分”关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明. 解题方法：用截长补短的方法，将边长转化，构造全等. 1．（2024孝感市模拟）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 2．（2024长春市模拟）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． ►题型03 构造平行线 1．（2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 2．（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题探究】（1）如图①，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为上的点，过点O作交于点M，交于点N，求的长度． 【类比迁移】（2）如图②，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度． 【拓展应用】（3）如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形．测得米，米，．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度． ►题型04 构造垂线 1．（2024湖州市模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    2．（2023武汉市模拟）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 3．（2023东营市模拟预测）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 4．（2023太原市模拟）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 命题点四 全等三角形的应用 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. ►题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 1．（2023·福建厦门·一模）如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面，经过测量．现有木箱长，高，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点重合时，则木箱上部顶点E到地面的距离为 ． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）风力发电因其既可再生又不破坏生态环境的特点，深受各国欢迎，并被大规模推广和实施．在一次旅途中，青青和依依想运用所学知识测量图1中某风力发电机组塔架的高度，如图2，青青站在地面上的点D处，眼睛位于点C处时，测得塔架顶端A的仰角的度数，依依从地面上的点G处竖直向上放飞一架无人机，当无人机位于点F处时，测得地面上点D的俯角的度数，恰好发现与互余，已知地面上三点在同一水平直线上，，，请你求出该风力发电机组塔架的高度． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动，如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦、旗杆、小娟家所在的居民楼，她们的实践内容为测量商业大厦的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角的度数，竟然发现与互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为，已知F、D、B在同一条直线上，，且米，测倾器的高度忽略不计，请根据以上信息求出商业大厦的高度．（结果精确到1米，参考数据：） ►题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 1．（2023·河北保定·一模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可； 方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 2（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系． 实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离 ． 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 4．（2023·陕西咸阳·二模）如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知为垂直于的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案： (1)请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用、、……表示）；（不要求写出测量过程） (2)根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度． ►题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 3．（2024北京市模拟预测）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 5．（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为 ． $$第四章 三角形 第17讲 全等三角形 （思维导图+3考点+4命题点19种题型（含5种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形的概念及性质 考点二 全等三角形的判定 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 利用全等三角形的性质求解 ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等 ►题型03 结合尺规作图的全等问题 ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 ►题型05 补全全等三角形的证明过程 ►题型06 全等三角形证明方法的合理选择 ►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 命题点二 与全等三角形有关的基础模型 ►题型01 平移模型 ►题型02 对称模型 ►题型03 旋转模型 ►题型04 一线三等角 ►题型05 手拉手模型 命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等 ►题型01 倍长中线法 ►题型02 截长补短法 ►题型03 构造平行线 ►题型04 构造垂线 命题点四 全等三角形的应用 ►题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 ►题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 ►题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 全等三角形的判定 ★★★ 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角;掌握全等三角形的判定定理； 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 全等三角形的性质与证明 ★★ 全等三角形的性质与计算 ★★ 【考情分析】全等三角形的判定及性质经常与平移、旋转等几何变换相结合，综合考查学生的逻辑推理能力和分析几何图形的能力. 此类题目通常是要利用全等三角形的性质得到线段(或角)相等. 解答时应结合已知条件找到两个全等三角形，甚至需要添加辅助线构造两个全等三角形，试题常以解答题的形式出现，有一定难度. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 全等三角形的概念及性质 一、全等三角形的概念及表示 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 二、全等三角形的性质 性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知如图，，其中的：对应边 与 ， 与 ， 与 ，对应角： 与 ， 与 ， 与 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上结合图形解答． 【详解】解：， 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 故答案为：，；，；，；，；，；，． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（    ） A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图及全等图形的概念，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据简单几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； B．正方体的三视图都是正方形，且大小一样，即全等，故此选项符合题意； C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意； D．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 4．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】3 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 考点二 全等三角形的判定 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点， ，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意； B、由 可得，，可利用证明，故此选项符合题意； C、不能证明，故此选项不合题意； D、不能证明，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 4．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 6．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 全等三角形的性质与判定 ►题型01 利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①符合题意，④不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故②符合题意； ∴， ∴，故③符合题意； 故答案为：①②③． ►题型02 添加一个条件使两个三角形全等 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 3．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 4．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； ►题型03 结合尺规作图的全等问题 1．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据角平分线的性质，全等三角形的判定及性质逐项判断即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴， ，故项正确，不符合题意， ∵是直角三角形，， ∴， ∴，故项正确，不符合题意， 在和中， ∴ ∴，故项正确，不符合题意， 根据已知条件无法得得出，故项错误，符合题意， 故选： 3．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，    （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． ►题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，点D，E分别在上，，，相交于点O． 求证：． 小刚同学的证明过程如下： 证明：在和中， ，…第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 (1)小刚同学的证明过程中，第______步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)一； (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可得出答案； （2）先证明，再由证明，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得：小刚同学的证明过程中，第一步出现错误； （2）证明：∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 3．（2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 【答案】任务一：①两直线平行内错角相等；②二，对应边相等应为；任务二：见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；根据两直线平行内错角相等，证明两三角形全等即可求解． 【详解】任务一：①以上证明过程中，第一步依据的定理是：两直线平行内错角相等； ②从第二步出现错误；具体错误是对应边相等应为 任务二： ， ，    ， 在和中， ，    ． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． ►题型05 补全全等三角形的证明过程 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 2．（2021·广西柳州·中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明． 证明：在和中， ∴ ∴____________ 【答案】，，， 【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明． 【详解】证明：在和 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键． 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）如图，已知正方形，点在边上，连接． (1)尺规作图：在正方形内部作，使，边交线段于点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)要探究，的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整． 解：，，理由如下． 四边形是正方形， 　　①，， 在和中 ， 　　③ ，， 　　④ 　　⑤， ，． 【答案】(1)图见解析； (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角即可画出图形； （2）根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质进行填空即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2），，理由如下． 四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ，， ， 即， ， ，． 故答案为：． 4．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，； 【分析】本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据作图方法作图即可； （2）结合（1）即可完成填空；然后证明是等腰直角三角形，即可得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）证明：， ， ，，， ， ，， ， 点，，三点共线， 又， ， 即． 故答案为：，，； 研究发现：，理由如下： ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． ►题型06 全等三角形证明方法的合理选择 全等三角形的判定法方法： 【易错点】 1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定. 2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA. 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 2．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接交于O，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形和菱形的性质可得，根据即可得证； （2）连接交于点，勾股定理求得，，根据菱形的性质可得，进而求得正方形和菱形的对角线的长度，根据即可求解． 【详解】（1）证明：正方形和菱形， ， 在与中 （） （2）如图，连接交于点， ，即AB=4， ， 在中， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． (1)由，可得，进而可证； (2)由(1)知，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ； （2）解：由(1)得， ，， ， ． ►题型07 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到，结合BM=CM，AE=CF，可判断⑥. 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ACE=∠CBF， 又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC， ∴△BCF≌△CAE（AAS）， ∴BF=CE，故①正确； 由全等可得：AE=CF，BF=CE， ∴AE-CE=CF=CE=EF，连接FM，CM， ∵点M是AB中点， ∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB， 在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM， ∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE， ∴△BFM≌△CEM， ∴FM=EM，∠BMF=∠CME， ∵∠BMC=90°， ∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形， ∴EF=EM=，故③正确， ∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°， ∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确， 设AE与CM交于点N，连接DN， ∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°， ∴△DFM≌△NEM， ∴DF=EN，DM=MN， ∴△DMN为等腰直角三角形， ∴DN=DM，而∠DEA=90°， ∴，故④正确； ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°， ∵∠DEM=45°， ∴∠EMD=67.5°，即DE=EM， ∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE， ∴△ADE≌△ACE， ∴DE=CE， ∵△MEF为等腰直角三角形， ∴EF=， ∴，故⑤正确； ∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°， ∴△CDM∽ADE， ∴， ∵BM=CM，AE=CF， ∴， ∴，故⑥正确； 故答案为：①②③④⑤⑥. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等. 3．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形。 由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 4．（2023·山东济南·三模）如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点(不与点A点重合）将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点落在G处，交于，连结、，下列结论： ①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点F作于点M，易得，由折叠可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通过证明，即可判断①；由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作于点N，易通过证明，得到，，以此再通过证明，得到，则，即可判断④． 【详解】如图，过点F作于点M， 四边形为正方形， ，， ， 四边形为矩形，，， 由折叠可知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； 由折叠可知，， 设，则， 为中点， ， 在中，， ， 解得 ， ，， ， 即三边之比为，故②正确； 由折叠可知，， ， ，， ， ，故③正确； 如图，过点B作于点N， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形是解题关键． 5．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 命题点二 与全等三角形有关的基础模型 ►题型01 平移模型 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【答案】(1)①，SSS (2)见解析 【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题； (2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分） 故答案为：①，SSS； （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． ►题型02 对称模型 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 3．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，和，点E，F在直线BC上，，，．如图①，易证：．请解答下列问题： (1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论； (2)请选择（1）中任意一种结论进行证明； (3)若，，，，则______，______． 【答案】(1)图②：；图③： (2)证明见解析 (3)8，14或18 【分析】（1）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可； （2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可； （3）过点A作△ABC的高AG，求出AG的长，再根据三角形的面积求出BC的长，进而求出BF即可． 【详解】（1）解：图②：． 图③：． （2）解：图②中 在和中， ∵， ∴≌， ∴BC=FE， ∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC， 即． 或图③中， 在和中， ∵， ∴≌， ∴BC=FE， ， 即． （3）解：过点A作AG⊥BC于G， ∵≌， ∴∠B=∠F=60°， 在Rt△ABG中， ∵AB=6，∠B =60°， ∴AG=AB·sin B=6×sin 60°=， 又 ∴ ∴BC=8， 又∵， ∴BF=BC+BE=8+8-2=14，或BF=BC+BE=8+8+2=18， 故答案为：8，14或18． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的和差，三角形的面积，解直角三角形，解题关键是结合图形找到线段之间的关系是解题关键． ►题型03 旋转模型 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论； （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明； （2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ； ， （2）在中，，， , , , , , ∴∠ADC=∠ACD， , ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． ►题型04 一线三等角 1．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将平移，使点C与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 故选：C． 2．（2023昆明模拟预测）如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证． （2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明． 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 3．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 4．（2024石家庄模拟预测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），根据，，，可得，，，可得，结合，即可得到，即可得到答案； （2）根据，，可得，，，可得，结合可得，结合，，即可的得到答案； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D，根据（1）可得，易得，根据，，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D， ∵轴，轴，轴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴点坐标为 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，全等三角形性质及判定，解题的关键是根据互同角的余角相等等到三角形全等的条件及作辅助线． ►题型05 手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 2．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 3．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 4．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可； （2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立； （3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； (2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 命题点三 添加辅助线证明两个三角形全等 添加辅助线的基本作图方法： 方法 内容 图示 连接两点 连接AD 作延长线 延长AB交CD的延长线于点E 作平行线 过点D，作BC的平行线，与AC交于点E 作垂线 过点A，作BC的垂线，垂足为点D ►题型01 倍长中线法 模型介绍：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线（或类中线），使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 题目特征：有中点，有中线. 1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________； (2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状； (3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)是直角三角形； (3)． 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长到，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ，，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：延长到，使得，连接，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 2．（2024山东省模拟预测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 3．（2020·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 4．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）的长为2． 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理，直角三角形的性质的综合运用； （1）先证明，进而判断出，在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论；     （2）延长到点F，使，连接，由，可得，，进而可得，再由，证明即可得出，由此得出，继而得出结论； （3）延长到点M，使得，连接．先证明可得，由中位线性质定理得．由此即可得出． 【详解】解：（1）． 理由：， ． ， ， 为CD的中点， ． （2）结论成立． 证明：如图1，延长到点F，使，连接． ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ． ， （3）的长为2． 解：如图2，延长到点M，使得，连接． ， ． ， ． ， ， ． 为的中点，， ， ． ►题型02 截长补短法 模型概述：该模型适用于求证线段的“和、差、倍、分”关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明. 解题方法：用截长补短的方法，将边长转化，构造全等. 1．（2024孝感市模拟）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2024长春市模拟）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【分析】在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证． 【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． ►题型03 构造平行线 1．（2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题探究】（1）如图①，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为上的点，过点O作交于点M，交于点N，求的长度． 【类比迁移】（2）如图②，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度． 【拓展应用】（3）如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形．测得米，米，．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度． 【答案】【问题探究】；【类比迁移】；【拓展应用】 【分析】（1）过点作于，交于，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于，交于，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，解直角三角形求得，，进而求得，再根据勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （2）如图，过点M作于，交于， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确构造辅助线是解题的关键． ►题型04 构造垂线 1．（2024湖州市模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 2．（2023武汉市模拟）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （2）解：成立． 理由：如图2中， ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI=∠GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI=GI， ∴I是EG的中点． ∴S△AEI=S△AEG=3.5． 故答案为：3.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023东营市模拟预测）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析. 【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论； （2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）∵OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°． ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°， ∴∠OCD=60°， ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°． 在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°OC， 同理：OEOC， ∴OD+OEOC； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°． ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得：OFOC，OGOC， ∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE， ∴OD+OEOC； （3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°． ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得：OFOC，OGOC， ∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD， ∴OE﹣ODOC． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 4．（2023太原市模拟）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 命题点四 全等三角形的应用 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. ►题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 1．（2023·福建厦门·一模）如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面，经过测量．现有木箱长，高，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点重合时，则木箱上部顶点E到地面的距离为 ． 【答案】4.5/ 【分析】作于点，于点，于点，根据“两条平行线之间的距离处处相等”可知，，设，根据勾股定理得，则，于是，，再证明，得，，则，再证明，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图2，作于点，于点，于点， ，， ，， ，，，， 设， ，且，， ， 解得， ，， 四边形是长方形，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 木箱上部顶点到地面的距离为， 故答案为：4.5． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质、运用勾股定理和全等三角形的性质解决实际问题等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）风力发电因其既可再生又不破坏生态环境的特点，深受各国欢迎，并被大规模推广和实施．在一次旅途中，青青和依依想运用所学知识测量图1中某风力发电机组塔架的高度，如图2，青青站在地面上的点D处，眼睛位于点C处时，测得塔架顶端A的仰角的度数，依依从地面上的点G处竖直向上放飞一架无人机，当无人机位于点F处时，测得地面上点D的俯角的度数，恰好发现与互余，已知地面上三点在同一水平直线上，，，请你求出该风力发电机组塔架的高度． 【答案】该风力发电机组塔架的高度为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作，交于点，，即可得到，即可解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 与互余，与互余， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 答：该风力发电机组塔架的高度为． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在一次数学课后，小娟和小丽进行了一次数学实践活动，如图，在同一水平面从左往右依次是商业大厦、旗杆、小娟家所在的居民楼，她们的实践内容为测量商业大厦的高度．家住顶楼的小娟在窗户A处测得旗杆底部D的俯角的度数，小丽在商业大厦顶部的窗户E处测得旗杆顶部C的俯角的度数，竟然发现与互余．她们又在居民楼底部的B处测得旗杆顶部C的仰角为，已知F、D、B在同一条直线上，，且米，测倾器的高度忽略不计，请根据以上信息求出商业大厦的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】商业大厦的高度约为88米． 【分析】延长交于点H，根据题意可得：，，，从而可得，再根据同角的余角相等可得，然后利用等量代换可得，从而利用可证，进而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴商业大厦的高度约为88米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． ►题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 1．（2023·河北保定·一模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可； 方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可． 【详解】方案Ⅰ：∵，， ∴， ∴， ∴Ⅰ可行； 方案Ⅱ：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴Ⅱ可行， 综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系． 实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离 ． 【答案】25米/ 【分析】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．延长至，使，连接，可证得进而证得，进一步求得，即可得出最后结果． 【详解】如图，延长至，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 米，米， 米． 故答案为：25米． 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)①求证：；②． (2) 【分析】（1）①根据证明可得证；②根据得到，结合，，得，解答即可． （2）延长，，二线交于点M，证明，结合已知，解直角三角形即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角形全等的判定，灵活解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴； ②根据， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：55． （2）延长，，二线交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2023·陕西咸阳·二模）如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知为垂直于的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案： (1)请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用、、……表示）；（不要求写出测量过程） (2)根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在上选一点C，测量，，延长至D使，延长至E使，测量； （2）利用证明，则． 【详解】（1）解：测量示意图如下所示： （2）解：在和中， ， ， ． 即这个人工湖的长度为c． 【点睛】本题考查全等三角形的实际应用，解题的关键是构造． ►题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 3．（2024北京市模拟预测）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 4．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 5．（2024·四川达州·模拟预测）如图，点C是射线上一点，，E是上的动点，且，连接，过E作，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接，证明，得到，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，即可得出答案． 【详解】解：如图：过点B作的平行线，延长交于点F，取中点Q，连接，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 点Q为的中点， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，斜边上的中线，添加辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． $$