第十六章 二次根式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【解答】A.≠-2，原等式不成立，此选项不符合题意； B.≠2，原等式不成立，此选项不符合题意； C.和不是同类二次根式，不能合并，原等式不成立，此选项不符合题意； D.，原等式成立，此选项符合题意. 故答案为：D． 【分析】根据二次根式的减法和二次根式的除法运算法则计算各选项，依次判断即可求解． 2．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使二次根式有意义， 只需使：， 解得：， 故答案为：B． 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可得关于x的不等式，解不等式可求解． 3．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：3 + + ＝10， 5 ＝10， ＝2， 则2x＝4， x＝2， 故答案为：C 【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。 4．下列等式从左到右的变形过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：，当a≥0、b≥0时成立，故此选项不符合题意； ，故B错误； ，当，时不成立，故C错误； ，故D正确. 故选：D． 【分析】（1）根据a，b的符号说理； （2）根据说明； （3）根据成立的条件说明； （4）根据成立的条件说明． 5．下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法 【解析】【解答】A、不是同类二次根式，无法合并，故A错误； B、，故B正确； C、不是同类二次根式，无法合并，故C错误； D、，故D错误； 故答案为：B 【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、二次根式的化简结合题意对选项逐一运算即可求解。 6．已知，则化简的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解： ∵， ∴a-1＞0，a-3＜0， ∴ = =a-1+a-4 =2a-5. 故答案为：A. 【分析】首先根据，得出a-1＞0，a-3＜0，然后化简去根号，即可得出答案. 7．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在(　　) A． 之间 B． 之间 C． 之间 D． 之间 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：面积为 的正方形，其边长为. ∵49＜50＜64， ∴. ∴7＜＜8. 即其边长介乎7到8cm之间. 故答案为：D. 【分析】先估计出50介乎于哪两个连续平方数之间，然后开方比较即可. 8．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：∵与的和等于， ∴与是同类二次根式. . A、a=0，，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、a=1，，与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、a=2，，与是同类二次根式，，故C符合题意； D、a=3，，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据与的和等于，可知与是同类二次根式，根据，对4个选项逐项判断，即可得到a的值. 9．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等 【答案】C 【知识点】分母有理化 【解析】【解答】解：； ； ∴a与b互为倒数. 故答案为：C. 【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。 10．等式 成立的条件是(　　). A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法 【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 . 故答案为：A 分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算： 　 　。 【答案】4 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：原式= ． 【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案． 12．最简二次根式与可以合并，则　 　． 【答案】2 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴ ∴ 故答案为：2. 【分析】根据题意得到：与为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可求出m的值. 13． 计算的结果是 　 　． 【答案】 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【解答】解：. 故答案为： . 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再合并即可得到答案. 14．已知，，则　 　. 【答案】 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可． 15．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为　 　． 【答案】3 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：由题中结论可得 即：当时，有最小值为3， 故答案为：3． 【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解. 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）计算： （1）2 （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，计算求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，先算括号，再算乘除，计算求解即可. 17．（8分）（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： 　 　（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）　 　． A． B． （2）化简：． 【答案】（1）小亮；A （2）解： 当时，原式 当时，原式 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质，，故答案为 ：小亮 ；A； 【分析】（1）根据二次根式的性质 即可计算； （2）根据二次根式的性质，再讨论a与3的大小关系，去绝对值即可. 18．（9分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 【答案】（1）解：由题意知，， ∴图1中两个正方形的面积之和为； （2）解：由题意知，，， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的长为4； （3）解：由题意知，，， ∵，， ∴，， 整理得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴的面积为1． 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可； （2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可； （3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积. 19．（8分）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 【答案】（1）解：原式． （2）解：． ∵， ∴原式． 【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据例子进行分母有理化的操作，进而即可化简； （2）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而将a化简，从而代入即可求解. 20．（9分）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板. （1）截出的三块正方形木板的边长分别为　 　dm，　 　dm和　 　dm； （2）求长方形木板的面积；(结果保留根号) （3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块? 【答案】（1）；； （2）根据题意得：长方形的边长为； 阴影部分的面积 （3）根据题意的：剩余A木料的长为，宽为， 且， 能截出这样的木块共2块. 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：（1）∵ 三块正方形木板面积分别为和 ， ∴边长分别为dm，dm，dm， 故答案为：dm；dm；dm； 【分析】（1）根据正方形的面积＝a2，即可分别求出边长； （2）由（1）结论可计算出长方形的边长，再根据长方形的面积公式计算即可； （3）先求出A木料的边长，再根据边长截取，注意不能直接用面积计算. 21．（8分） 【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　； （2）计算：　 　； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）解：． 即 ． 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：（1）； （2）原式= . 【分析】（1）根据分母有理化即可得到答案； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算，即可得到答案； （3）先分母有理化得到，即，两边平方得到，进而即可得到的值． 22．（12分） 【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期。它的计算公式是：，其中T表示周期（单位：s），l表示摆线长（单位：m），，π是圆周率。（π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，） （1）【思考填空】通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越　 　（填“长”或“短”），摆得越　 　；（填“快”或“慢”） （2）【实践与计算】若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 【答案】（1）长；慢 （2）解： （s） ∴（次） 答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声. （3）解：令，则 ∴ ∴（米） 答：该摆钟的摆长为0.25米 . 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用 【解析】【解答】解：（1）令， ∵g>0， ∴， ∴， ∴， 即， ∴摆线越长，周期越长，摆得越慢， 故答案为：长，慢； 【分析】（1）根据由二次根式的性质判断即可； （2）将代入化简计算求出T，即可解答； （3）令，解关于l的方程即可． 23．（11分）综合与探究 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1） ，则 　 　， 　 　； （2）已知 是 的算术平方根，求 的值； （3）当 时，化简 　 　． 【答案】（1）2；1 （2）解：∵ 是 的算术平方根， ∴ ， ∴ ； （3）2 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：（1）∵ ， ∴a＝2，b＝1；（3）∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题目所给方法对 变形即可；（2）根据题意结合所给方法求出 ，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；（3）根据题目所给方法，将 写成 的形式，然后根据二次根式的性质化简即可． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 4．下列等式从左到右的变形过程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 6．已知，则化简的结果是(　　) A． B． C． D． 7．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在(　　) A． 之间 B． 之间 C． 之间 D． 之间8．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 9．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等 10．等式 成立的条件是(　　). A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算： 　 　。 12．最简二次根式与可以合并，则　 　． 13． 计算的结果是 　 　． 14．已知，，则　 　. 15．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为　 　． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）计算： （1）2 （2） 17．（8分）（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： 　 　（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）　 　． A． B． （2）化简：． 18．（9分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 19．（8分）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 20．（9分）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板. （1）截出的三块正方形木板的边长分别为　 　dm，　 　dm和　 　dm； （2）求长方形木板的面积；(结果保留根号) （3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块? 21．（8分） 【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　； （2）计算：　 　； （3）若，求的值． 22．（12分） 【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期。它的计算公式是：，其中T表示周期（单位：s），l表示摆线长（单位：m），，π是圆周率。（π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，） （1）【思考填空】通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越　 　（填“长”或“短”），摆得越　 　；（填“快”或“慢”） （2）【实践与计算】若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 23．（11分）综合与探究 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1） ，则 　 　， 　 　； （2）已知 是 的算术平方根，求 的值； （3）当 时，化简 　 　． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$