第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，和是一对（　　） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 2．如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，不能判断直线的是(　　) A． B． C． D． 5． 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数.其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 7．下列命题中，它的逆命题是真命题有（　　） ①等边对等角；②如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．48 B．96 C．84 D．42 9．如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（　　）时，两三角板的边 A． B． C． D． 10．如图， 已知 分别平分 和 ， 且交于点 ， 则 (　　) A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，下列条件中： ； ； ； ； ． 则一定能判定的条件有　 　填写所有正确的序号． 12．在图中，点在的延长线上，在不增加辅助线的前提下，增加一个条件　 　后，能判定． 13．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则　 　． 14．如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为　 　． 15． 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）如图，已知，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程. 解：BE ∥CF． 理由是： ． ▲ ▲ 垂直的定义 已知． = ▲ ．（等式的基本性质） 即 ▲ ∥ （ 17．（8分）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，，求，的度数. 18．（6分）如图，点B在DC上，BE平分ABD，ABE=C，试说明：BE∥AC. 19．（9分）如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20． （8分）如图， 在 中， ， 将 沿 方向平移得到 ， 且 ． （1）求线段 的长； （2） 求四边形 的周长． 21．（9分） 阅读下列材料，解决相应问题． （1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律． 在图1中，证明； （2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，； ①请问和有什么关系？并说明理由； ②请问光线和是否平行？并说明理由． 22．（12分）如图，政府规划由西向东修一条公路.从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E. （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系. 23．（13分）如图，平分，交于点，点在线段上(不与点重合)，连结，已知． （1）试判断与是否平行，并说明理由． （2）探索三者之间的数量关系，并说明理由． （3）若，且为常数，且为正数)，求的值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，和是一对（　　） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【答案】B 【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念 【解析】【解答】解：根据同旁内角的定义可得和是一对同旁内角． 故答案为：B． 【分析】根据两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角、两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做内错角、两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角叫做同旁内角、有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，即可求解. 2．如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：由题意，将公路看作直线，图中，他选择P→C路线， ∵ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴应选择P→C路线. 故答案为：B. 【分析】根据垂线的性质"垂线段最短"即可求解． 3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理及推论；平行线的性质 【解析】【解答】解：过点B作，如图所示： 则， ，； ∵， ， ， ， ； 故答案为：D 【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数. 4．如图，下列条件中，不能判断直线的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】对于A，，此时a∥b，即内错角相等，两直线平行，故A正确，不符合题意； 对于B，，无法联系此时a，b直线与被截直线的关系，故无法判断a∥b，故B错误，符合题意； 对于C，，此时a∥b，即同位角相等，两直线平行，故C正确，不符合题意； 对于D，，此时a∥b，即同旁内角互补，两直线平行，故D正确，不符合题意； 故选：B. 【分析】结合平行线的判定对选项角中的位置关系进行逐一判定即可. 5． 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数.其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；无理数的概念 【解析】【解答】解：①在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，如正方体，过一点有两条直线与已知直线垂直，故原说法错误； ② 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ，故原说法错误； ③ 过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段的长度就是点P到直线l的距离，故原说法错误； ④ 两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补（如图两种情况），故原说法正确； ⑤无理数都是无限小数，故原说法正确. 故答案为：B. 【分析】①根据垂直的概念；②根据平行公理；③根据点到直线的距离的概念；④根据平行线的性质；⑤根据无理数的概念． 6．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】由AB∥CD可得∠COF的表达式，由CD∥EF，同旁内角互补可得结论。 7．下列命题中，它的逆命题是真命题有（　　） ①等边对等角；②如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质；真命题与假命题；逆命题 【解析】【解答】解：① 等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题；② 如果ab＝0，那么a＝0，b＝0 的逆命题是如果a＝0，b＝0 ，那么ab＝0，是真命题；③ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 的逆命题是 到一条线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上是真命题。综上， 逆命题是真命题有 3个。 故答案为：A。 【分析】分别写出各命题的逆命题，并判断其真假，即可得出答案。 8．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．48 B．96 C．84 D．42 【答案】A 【知识点】平移的性质 【解析】【解答】解：由题意可得，，BE=6， ∴阴影部分的面积 ， 阴影部分的面积. 故答案为：A． 【分析】由平移性质，，BE=6，故S阴影部分的面积 ，从而根据梯形的面积公式即可解答． 9．如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（　　）时，两三角板的边 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：延长EH交BC于点H，如图所示： 在和中，，， ，， 当EF//BC，则∠BHE=∠E=60° ， 故选：B． 【分析】延长EH交BC于点H，根据在和中，，，可得，，根据EF//BC，可得∠BHE=∠E=60°，最后利用三角形的内角和定理即可得出答案． 10．如图， 已知 分别平分 和 ， 且交于点 ， 则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质 【解析】【解答】解：过E点作线段平行于AB（则同时平行于CD），过F点作线段平行于CD（则同时平行于AB）. ∴. ∴. ∴，即. 故答案为：B. 【分析】利用AB∥CD的条件作辅助线，通过平行线的性质以及角平分的条件分别表示∠E与∠F的表达式，从中找出联系. 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，下列条件中： ； ； ； ； ． 则一定能判定的条件有　 　填写所有正确的序号． 【答案】 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：①若，根据同旁内角互补，两直线平行可得，符合题意； ②若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意； ③若，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意； ④若，根据同位角相等，两直线平行可得，符合题意； ⑤若，根据内错角相等，两直线平行可得，不合题意； 故答案为：①③④． 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断． 12．在图中，点在的延长线上，在不增加辅助线的前提下，增加一个条件　 　后，能判定． 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】 解：（答案不唯一，正确即可）， ， （同位角相等，两直线平行）. 【分析】（答案不唯一，正确即可），根据平行线的判定定理添加条件即可. 13．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则　 　． 【答案】 【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质 【解析】【解答】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案. 14．如图1是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，当与的一边平行时，的度数为　 　． 【答案】或或 【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】证明：由题意得，∠ACB=∠CAD=60°， ∴， 又∵∠D=90°， ∴， 当与的一边平行，需分类讨论： ①当，如图所示， ∵， ∴此时点M在上，， 又∵∠MAN=60°， ∴， 由折叠可知：， ∴， 又∵ ∴； ②当，如图所示， 由题意可知，， ∴， 由折叠可知：， ∴； ③当，如图所示， 由题意可知，AD∥BC， ∴MN∥AD，， ∴， 由折叠可知：， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【分析】先根据题意证明，再由与的一边平行，分情况讨论，即当 时，共三种情况，分别进行求解即可． 15． 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行． 【答案】66 【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质 【解析】【解答】解：由题意得， ， ， ， 时，与平行， 故答案为： 【分析】先根据题意得到，进而根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再根据比值结合题意即可求出∠ACB的度数，进而即可求解。 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）如图，已知，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程. 解：BE ∥CF． 理由是： ． ▲ ▲ 垂直的定义 已知． = ▲ ．（等式的基本性质） 即 ▲ ∥ （ 【答案】解：BE∥CF. 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）. ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠ABC−∠1=∠BCD−∠2， （等式的基本性质） 即∠EBC=∠BCF， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行） 【知识点】垂线的概念；平行线的判定 【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，再结合∠2=∠1，由等式的基本性质可推出∠EBC=∠BCF，最后由内错角相等，两直线平行，得出结论． 17．（8分）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，，求，的度数. 【答案】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE=90°， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴. 【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质 【解析】【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，由∠EOF=∠COE-∠COF可算出∠EOF的度数，由角平分线的定义可求出∠AOF的度数，进而再根据角的和差由∠AOC=∠AOF-∠COF算出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等得出∠BOD的度数. 18．（6分）如图，点B在DC上，BE平分ABD，ABE=C，试说明：BE∥AC. 【答案】解：∵BE平分∠ABD， ∴∠DBE=∠ABE， ∵∠ABE=∠C， ∴∠DBE=∠C， ∴BE∥AC. 【知识点】平行线的判定；角平分线的概念 【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠DBE=∠ABE，进而推出∠DBE=∠C，根据平行线的判定即可求得. 19．（9分）如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ． 【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH∥AC，根据平行线的性质得出即可； （2）根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可． 20． （8分）如图， 在 中， ， 将 沿 方向平移得到 ， 且 ． （1）求线段 的长； （2） 求四边形 的周长． 【答案】（1）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF， ∴DE=AB.∵AE=2，DB=14，∴DE=AB==6. ∴AD=AE+DE=8. （2）解：∵△ABC沿BA 方向平移得到△DEF，∴DF=AC=5，CF=AD=8. ∴四边形 DBCF 的周长=DB+BC+CF-DF=14+4+8+5=31. 【知识点】平移的性质 【解析】【分析】（1）因为AE=2，DB=14，所以可知AB+DE的和为12，根据平移的性质对应边相等得到AB=DE=6，进而可得AD为AE与DE的和. （2）因为AC与DF为对应边相等，所以DF=5，又因为平移时图形上所有点平移的方向距离一样，所以CF=AD=8，最后四条边相加可求得周长. 本题解题的关键是掌握平称的性质及线段之间的关系. 21．（9分） 阅读下列材料，解决相应问题． （1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律． 在图1中，证明； （2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，； ①请问和有什么关系？并说明理由； ②请问光线和是否平行？并说明理由． 【答案】（1）证明 ：∵，， ∴. （2）解：①∠2=∠5，理由如下： ∵， ∴； ②平行，理由如下： 由材料可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明； （2）①根据两直线平行，内错角相等即可求解； ②结合题意推得∠3=∠6，根据内错角相等，两直线平行即可求解. 22．（12分）如图，政府规划由西向东修一条公路.从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E. （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系. 【答案】（1）解：补全施工路线如图1所示.过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°. （2）解：如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°. 【知识点】平行线的性质 【解析】【分析】（1）过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，利用平行线的性质可求出∠BCG的度数及∠CDH的度数；再根据∠CDE=∠CDH+∠HDE，代入计算可求解. （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，利用平行线的性质分别表示出∠EDM和∠CDM的度数，从而可得到x-y=45°，即可求出∠CDM与∠DMN的数量关系. 23．（13分）如图，平分，交于点，点在线段上(不与点重合)，连结，已知． （1）试判断与是否平行，并说明理由． （2）探索三者之间的数量关系，并说明理由． （3）若，且为常数，且为正数)，求的值． 【答案】（1）解：与平行，理由如下： 平分． ， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作，如图． 由(1)知，， ， ． （3）解：，且， ． 由(1)知，，且， ， ， ． 由(2)知，， ， ， ，即的值为2． 【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，利用同旁内角互补，两直线平行即可判定AC∥DF. （2）过点G作GH∥AC，则，进而根据平行公理及其推论得到，再根据平行线的性质及角的和差即可求出； （3）先根据角的运算得到，进而根据平行线的性质得到，再结合题意进行角的运算得到，由(2)知，，进而代入即可求解。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$