6.1 正弦、余弦、正切、余切（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.1正弦、余弦、正切、余切（第1课时） 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质.为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论.在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用. 本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础. 第六章 前言 现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体 540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同. 情景引入 如图6-1-1,将直角三角形ABC中(其中∠C=90°)∠A、∠B、∠C的对边边长分别记作a、b、c.在初中我们已经知道，锐角A的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为 由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 一、锐角的正弦、余弦、正切、余切 我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值(表6-1): 1.角的概念:一条______绕着它的端点______所成的图形. 2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做__________,就称它形成了一个零角 射线 旋转 逆时针 顺时针 任何旋转 二、任意角 6 3.相等角与角的加减 （1）相等角:设角 由射线 绕端点 旋转而成，角 由射线 绕端点 旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 . （2）相反角:我们把射线 绕端点 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做 互为相反角.角 的相反角记为 . （3）设 ， 是任意两个角.我们规定，把角 的终边旋转角 ，这时终边所 对应的角是 . 名师点睛 角的概念推广后，其大小可以任意取值.把角放在平面直角坐标系中进行研究，对 于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，且具有代数和几何双重意义. 7 过关自诊 1.始边与终边重合的角一定是零角吗？ 提示 不一定.只有始边没进行任何旋转，终边与始边重合的角才是零角. 2.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( ) B A. B. C. D. 解 由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即 . 3.钟表的分针每小时转一圈,它的变化是周期变化吗? 解 因为任意指定表盘边缘的一个位置,每间隔一小时,分针会重复出现在这一位置,所以是周期变化. 8 1.象限角 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合.那么， 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 2.终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 , ,即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与 整数个周角的和. 三、象限角与终边相同的角 9 名师点睛 对于集合 ， 的理解应注意三点: （1） 是任意角. （2）“ ”有三层含义. ①特殊性,每取一个整数值就对应一个具体的角. ②一般性,表示所有与角 终边相同的角（包括 自身）. ③从几何意义上看， 表示角的终边按一定的方向旋转的圈数， 取正整数时， 逆时针旋转； 取负整数时，顺时针旋转； 时，没有旋转. （3）集合中“ ”与“ ”之间用“ ”连接，如 应看成 ，表示与 的角终边相同的角. 10 题型1　与任意角有关的概念辨析 例题1 下列命题正确的是 (　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 【答案】C 题型归纳 【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，故C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．故选C． 关于角的概念问题的处理 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 【答案】B 题型2　终边相同的角的表示及应用 例题2 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 解：直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． 所以S中适合－360°≤β＜720°的元素是 45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°． 写出终边相同的角的集合的关键是找到0°～360°范围内，终边落在已知直线的角，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简． 2．写出终边落在x轴上的角的集合S． 解：终边落在x轴上的角α的集合S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}． 题型3　象限角和区域角的表示 例题3 (1)－2 023°是第________象限角． (2)已知，如图所示． ①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 【答案】(1)二 【解析】－2 023°＝－6×360°＋137°，137°是第二象限角，所以－2 023°为第二象限角． (2)解：①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°． 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 3．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围是150° ≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}． ③由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角． 【答案】B 角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制 1度的角 弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符 号_ ____表示 度 <m></m> 半径长 <m></m> 四、度量角的两种单位制 28 过关自诊 1.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？ 提示 不相等.因为在大小不同的圆中，由于半径不同，长度为1的弧所对的圆心角也不同. 2.下列说法错误的是_________(填序号) ②④ ①.半圆所对的圆心角是 ②.1弧度就是 的圆心角所对的弧 ③.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 ④.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 29 1.弧度数的计算 （1）正角：正角的弧度数是一个______. （2）负角：负角的弧度数是一个______. （3）零角：零角的弧度数是___. （4）在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 ,那么 _ _. 正数 负数 0 <m></m> 五、弧度数的计算与互化 30 2.角度与弧度的换算 31 3.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 0 度 弧度 32 过关自诊 1.对于角度制和弧度制,在具体的应用中,两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 提示 角度制与弧度制是两种不同的度量角的单位制,在表示角时不能混用,例如 , 等写法都是不规范的,应写为 , . 2.时针经过一小时,转过了( ) B A. B. C. D. [解析] 时针经过一小时,转过 , . 33 设扇形的半径为 ,弧长为 ,面积为 , 为其圆心角,则 类型 扇形的弧长 扇形的面积 六、扇形的弧长和面积公式 34 过关自诊 1.扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 提示 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形可看作是曲边三角形,弧是底边,半径是底边上的高. 2.已知半径 为1的扇形的面积 为 ,则扇形的圆心角 为___. <m></m> [解析] 由 ,得 ,所以 . 3.［北师大版教材习题］设扇形的弧长 为 ,半径 为 ,求这个扇形的面积 . 解 因为 , ,所以 . 35 题型归纳 弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 提醒：(1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z． 2．已知角α＝2 010°． (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 题型7　扇形的弧长公式及面积公式的应用 例题7 一个扇形所在的圆半径为5，该扇形弧长为5． (1)求该扇形的面积； (2)求该扇形的中心角弧度数． 提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr． 3．已知扇形AOB的周长为10 cm． (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时，圆心角的大小及弧长． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S． 易错警示　角度和弧度混用致错 例题8 求终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)内的角的集合． 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋60°，k∈Z}． 错解二：{α|2kπ－30°＜α＜2kπ＋60°，k∈Z}． 易错防范：错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$