专题11 二次函数-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题11 二次函数 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题； 4．利用二次函数图形求一元二次方程的近似解； 5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 二次函数 考向一 二次函数的定义 考向二 待定系数法求二次函数解析式 考向三 二次函数的图象和性质 考向四 二次函数与一元二次方程 考向五 二次函数解决实际问题 考向六 二次函数综合 考点一 二次函数 ►考向一 二次函数的定义 1．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ ►考向二 待定系数法求二次函数解析式 解题技巧/易错易混 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 3．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 . ►考向三 二次函数的图象和性质 解题技巧/易错易混 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 5．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 6．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 7．小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． ►考向四 二次函数与一元二次方程 8．在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 10.在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． ►考向五 二次函数解决实际问题 11．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 12．（2012·北京·中考真题）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A．点M B．点N C．点P D．点Q ►考向一 二次函数综合 13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数； ②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围． 14.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标； （3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式． 16.已知二次函数在和时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值； （3）设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．    1．抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（  ） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4） 2．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A． B． C． D． 3．下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 4．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 5．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 7．（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 8．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 9．（2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 10．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 11．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    12．（2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 13．（2022·北京西城·模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表： x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6 y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99 (1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）； (3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过． 14．（2023·北京海淀·三模）天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.8 2 2.8 4 4.8 p 竖直高度y/m 2 2.96 3.8 3.96 3.6 2.96 2 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的______． (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员． 15．（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 16．（2023·北京·二模）某蔬菜批发基地为指导2023年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价x(单位：元/千克)与相应需求量(单位：吨)以及供给量(单位：吨)的几组数据： 售价x/元/千克 … 2 3 4 5 6 … 需求量/吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 … 供给量/吨 … 1 2 3 4 5 … (1)根据表中数据，供给量与售价x之间满足 函数关系(填“一次”、“二次”或“反比例”)，它的函数表达式为 ；需求量与售价x之间近似满足函数关系，它的函数表达式为 ． (2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为 元/千克． 17．（2022·北京海淀·模拟预测）已知二次函数的图像经过点． (1)用含的代数式表示______； (2)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值； (3)若抛物线与轴交于和两点（），且，直接写出的取值范围． 18．（2023·北京朝阳·二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值． 19．（2023·北京丰台·二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 20.（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 21．（2023·北京昌平·二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题； 4．利用二次函数图形求一元二次方程的近似解； 5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 二次函数 考向一 二次函数的定义 考向二 待定系数法求二次函数解析式 考向三 二次函数的图象和性质 考向四 二次函数与一元二次方程 考向五 二次函数解决实际问题 考向六 二次函数综合 考点一 二次函数 ►考向一 二次函数的定义 1．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． ►考向二 待定系数法求二次函数解析式 解题技巧/易错易混 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 3．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 . 【答案】y＝x2＋1． 【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等． ►考向三 二次函数的图象和性质 解题技巧/易错易混 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 5．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 6．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)（0，2）；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7．小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案； （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像； （3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，在函数中， ∵, ∴函数在中，随的增大而减小； ∵， ∴对称轴为：， ∴在中，随的增大而减小； 综合上述，在中，随的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小； （2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图： （3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值； 由（1）可知在中，随的增大而减小； ∴在中，有 当时，， ∴m的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值． ►考向四 二次函数与一元二次方程 8．在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程； （2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可； 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的图象开口朝上， 无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， ∵对称轴为， ∴， 得，则有：，， 此时代入，解得， ∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小， ∴此时； 综上所述，． 9．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象及不等式的性质进行求解． （1）根据对称点即可求对称轴； （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为，①当时，抛物线开口向上，不成立；②当时，抛物线开口向下，且经过，，若抛物线经过点，则，若抛物线经过点，则，（i）当时，或，不合题意，（ii）当时，，因此对于，存在，对于，都有，所以成立；（iii）当时， 不合题意，故． 【详解】（1）解：由题意得与 对称轴对称， ∴； （2）解：由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过点，则， 若抛物线经过点，则， （i）当时，或， 对于，都有， 与“对于，存在”不符，所以不合题意， （ii）当时，， ∴对于，存在， 对于，都有， 成立； （iii）当时， 当时，， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 综上所述：． 10.在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键． （1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求； （2）令，得到抛物线与轴的两个交点为，可求，要满足题意则； （3）结合抛物线的对称轴可知点一定位于对称轴的右侧，则对称点为，要保证对称点为，结合对于时，都有列方程组即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为， （2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； （3）∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． ►考向五 二次函数解决实际问题 11．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)23.20 m； (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． （2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 12．（2012·北京·中考真题）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】 A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误； B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误； C、， 假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误； D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确； 故选D． ►考向一 二次函数综合 13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数； ②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标（1，－1）．（2）3个；（3）＜m≤     【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数； ②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论． 试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）； （2）①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个； ②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴． 考点：二次函数的图象及其性质． 14.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标； （3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 【答案】（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3） 【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）； （2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标； （3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论． 【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3， ∴A（3，2）， ∵AB关于x＝1对称， ∴B（－1，2）． （2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得， 所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）． （3）如图，当C2过A点，B点时为临界， 代入A（3，2）则9a＝2， ， 代入B（－1，2）则a＝2 ∴． 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）A（0，-2），B（1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2 【详解】试题分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标； （2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式． 试题解析：（1）当x=0时，y=-2， ∴A（0，-2）， 抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴B（1，0）； （2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2）， 则直线l经过A′、B， 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得， 所以，直线l的解析式为y=-2x+2； （3）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称， 结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方， ∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1， 当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4， 所以，抛物线过点（-1，4）， 当x=-1时，m+2m-2=4， 解得m=2， ∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2． 考点：1.二次函数的性质；2.一次函数图象与几何变换；3.二次函数图象上点的坐标特征． 16.已知二次函数在和时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值； （3）设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．    【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式，可求得，从而求得二次函数的解析式． （2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得． （3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等， ∴二次函数图象的对称轴为． ∴，解得． ∴二次函数解析式为． （2）∵二次函数图象经过A点， ∴，A（－3，－6）． 又∵一次函数的图象经过A点， ∴，解得． （3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为 ，， 则向左平移后得到的图象C的解析式为，． 此时一次函数的图象平移后的解析式为． ∵平移后的直线与图象C有公共点， ∴两个临界的交点为与． ∴当时，，即； 当时，，即． ∴    点睛：本题考查二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质． 1．抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（  ） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4） 【答案】A 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标． 【详解】解：∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4， ∴抛物线顶点坐标为（3，-4）． 故答案为（3，-4）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式为y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．也考查了配方法． 2．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围. 详解：设对称轴为， 由（，）和（，）可知，， 由（，）和（，）可知，， ∴， 故选B． 点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 3．下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 【答案】(1)见解析 (2)最高气温为 ，最低气温为 (3)需要 【分析】本题考查描点法画函数图象，待定系数法，根据图象获取信息，一次函数与二次函数的应用等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据题意，描点连线即可； （2）运用待定系数法求函数解析式，根据图象即可得出最值； （3）求出气温以下持续时间即可得解． 【详解】（1）解：依题意描点连线，绘图如下： （2）当时， 依题意可知点是此时抛物线的顶点， 设此时解析式为： ∵5时至12时，y与t近似满足函数关系． ∴， ∴此时解析式为：， 令，得：， 由图可知：最高气温为 ，最低气温为 ， （3）当时，y与t近似满足一次函数关系， 设此时解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， 此时解析式为：， 令，解得：， 当时， 令，解得：， ∴当时，，即气温在以下， ∴气温以下持续时间为：， ∵， ∴， ∴该植物次日需要采取防霜措施． 故答案为：需要． 4．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值； （2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=c， 即抛物线必过（0，c）， ∵，抛物线的对称轴为， ∴点M，N关于对称， 又∵， ∴，； （2）由题意知，a＞0， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为， ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立 情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立 情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即 解得， ∴3≥2t， ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点； （2）A与B关于对称轴x=1对称； （3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，； 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得， ∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为； （2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线，故对称轴为直线 （3）∵对称轴x=1， ∴b-2a，， ①a＞0时， 当x=2时，，当x=0或x=2， ∴函数与AB无交点； ②a＜0时， 当y=2时，， 或当时，； ∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； （3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点. ②当时，则. 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即 综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． 7．（2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【详解】（1）解：当时，， 故击球点的高度为； （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （3）第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 8．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 【答案】(1)100 (2)cm (3)② (4)400 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把x的值代入函数解析式计算即可； （2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，再代入的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）当剪去小正方形的边长x为10cm时， 故答案为：100； （2）解：∵，， 当时，取最大值，最大值为， 即当无盖纸盒的侧面积取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为； （3）①∵，， ∴当时，随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； 故①不合理， ②由的图象可知，当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于，故②合理； ③由的图象可知，当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x除了10cm，还有一个值在1和2之间． 故③不合理； 故选：②； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即， 此时， 故答案为：400． 9．（2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)能 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【详解】（1）解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③用平滑的曲线连接， 所画图象如图所示：    （2）解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； （3）解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； （4）解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 10．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线， 即． （2）解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 11．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    【答案】(1) (2)见详解 (3)①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于） 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键． （1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可； （2）将表格中数据对描点并连线即可； （3）①根据图象作答即可； ②时对应的值即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）描点并作图如图所示：    （3）①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大； ②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低． 故答案为：，． 12．（2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【答案】(1)②，① (2)①不能；理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：； （2）①根据，将代入上边缘抛物线的函数解析式得出，即可求解； ②当点和点重合时，有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 故答案为：②，①． （2）①不能，理由如下， 依题意， 将代入上边缘抛物线的函数解析式得 ∴绿化带不全在喷头口的喷水区域内， ∴洒水车不能浇灌到整个绿化带； ②解：设灌溉车到绿化带的距离为， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时； 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ，． 令，解得：或， 结合图像可知： 的最大值为：； ∴． 故答案为：． 13．（2022·北京西城·模拟预测）如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量得到的数据记入下表： x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6 y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99 (1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）； (3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能 【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可； （2）根据图象得出时，或，然后可得答案； （3）根据表格中数据求出和时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）由图象可得：当时，或， ∴拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度约是米， 故答案为：； （3）由表格中数据可得，当时，；当时，， 当时，；当时，， ∵米， ， ∴这艘船能安全通过， 故答案为：能． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键． 14．（2023·北京海淀·三模）天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.8 2 2.8 4 4.8 p 竖直高度y/m 2 2.96 3.8 3.96 3.6 2.96 2 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的______． (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据对称性即可得； （2）根据（1）可知抛物线的顶点坐标为，从而可得，，再将点代入计算即可得； （3）设舞台上有位演员，最后一位演员成功接到中幡时，中幡底部的水平距离为米，则从第一位杂技演员到最后一位演员的水平距离为米，中幡底部的竖直高度米，根据题意建立不等式组，利用二次函数的图象解不等式组，由此即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线的对称轴为直线， 则由对称性得：， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，抛物线的顶点坐标为， 则，， 将点代入得：， 解得， 则满足条件的抛物线的解析式为． （3）解：设舞台上有位演员，最后一位演员成功接到中幡时，中幡底部的水平距离为米，则从第一位杂技演员到最后一位演员的水平距离为米，中幡底部的竖直高度米， 由题意得：，即， 解方程得：或， 画出二次函数的图象如下：      由函数图象可知，不等式②的解集为或， 若此次训练成功，即不等式组有解，则， 解得， ，即， ， 又为正整数， 的最小值为6， 即舞台上至少6位演员， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 15．（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 【答案】(1) (2)五个桥洞的总跨度的长为米 【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解． 【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线的解析式为 ∵抛物线过点．解得 （2）令， 解得：， ； ∵的表达式：，的表达式： 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动 当时， 解得：， ； 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动， 当时， 解得：， ∴ ∴五个桥洞的总跨度的长为米．    【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键． 16．（2023·北京·二模）某蔬菜批发基地为指导2023年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价x(单位：元/千克)与相应需求量(单位：吨)以及供给量(单位：吨)的几组数据： 售价x/元/千克 … 2 3 4 5 6 … 需求量/吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 … 供给量/吨 … 1 2 3 4 5 … (1)根据表中数据，供给量与售价x之间满足 函数关系(填“一次”、“二次”或“反比例”)，它的函数表达式为 ；需求量与售价x之间近似满足函数关系，它的函数表达式为 ． (2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为 元/千克． 【答案】(1)一次，， (2)见解析 (3)6.2 【分析】（1）根据表格中数据的特点可解答空1和空2，用待定系数法可解答空3； （2）根据表中数据描点、连线即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）由表中数据可知，供给量比售价少1，所以供给量与售价x之间满足一次函数关系，它的函数表达式为； 把和代入，得 ， 解得 ， ∴． 故答案为：一次，，； （2）描点，连线，得 （3）由函数图象可知，为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为6.2元/千克． 故答案为：6.2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，掌握待定系数法、数形结合是解答本题的关键． 17．（2022·北京海淀·模拟预测）已知二次函数的图像经过点． (1)用含的代数式表示______； (2)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值； (3)若抛物线与轴交于和两点（），且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解； （2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a的方程，解方程即可求得a的值； （3）由判别式确定a的范围，根据a的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定a的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， 由题意得：，解得：，， 即直线与抛物线的两个交点坐标为； 由题意得：， 解得：或； （3）解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 解得：或； 当时， 对于，令，有， 即抛物线与y轴交点为， ∴抛物线必过与， ∴， ∴必有； 当时，对于， 则由根与系数的关系有：， ∴， 即； ∵，抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，， 解得：； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键． 18．（2023·北京朝阳·二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先求出抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）先证明关于抛物线对称轴对称，则E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，求出，根据矩形周长公式列出矩形周长与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F都在x轴上， ∴轴， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴E、F关于抛物线对称轴对称， 设点F的坐标为，则， ∴，， ∴， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值10．    【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 19．（2023·北京丰台·二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 【答案】(1)； (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）把代入即可求出，然后利用矩形面积公式即可求出S与a的关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象即可； （3）根据图象的顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． 当时，， ∴． ∴． 故答案是；． （2）正确画出该函数的图象，如下图：    （3）结合函数图象可得到，时，取得最大值， ∴的长约为时，矩形面积最大． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20.（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标 (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式及其图象与轴的交点坐标求出结果即可； （2）在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式即可； （3）①当时，在同一平面直角坐标系中画出图象可知；②结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为， 与轴的交点坐标； （2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为， 把点代入抛物线G的解析式得， 抛物线的表达式为； （3）①当时，抛物线G的解析式为， 抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：    从图中可以得出区域W内的整点个数为3； ②当时，如图1， 抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点， ∴．解得：， 结合①可得：； 当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点． 经过点（－1，0）时，， 解得：， 经过点（1，2）时，， 解得：， ∴， 故如果区域W内恰有5个整点，则或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念，解题的关键是运用数形结合、分类讨论的思想方法． 21．（2023·北京昌平·二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)4；3 (3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象； （2）结合图表回答，即可解答； （3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答． 【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，   ； （2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为； 故答案为：4；3； （3）解：设抛物线的解析式为， 把，，，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ， 答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$