专题10 反比例函数-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题10 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式 2．能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和的图象的变化情况． 3．能用反比例函数解决简单实际问题 反比例函数 考向一反比例函数的定义 考向二 求反比例函数解析式 考向三 反比例函数的图象与性质 考向四 反比例函数系数k的几何意义 考向五反比例函数与一次函数综合 考向六 反比例函数解决实际问题 考点一 反比例函数 ►考向一 反比例函数的定义 易错易混提醒 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数 在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，；；；；，… 由此可得出p和V的函数关系是为： 故选：D． 2．研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　） A．300度 B．500度 C．250度 D．200度 【答案】C 【分析】先求出反比例函数解析式，然后求出当时y的值即可得到答案． 【详解】解：设近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的反比例函数解析式为， ∵小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， ∴小明的近视镜度数可以调整为250度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于能够正确求出反比例函数解析式． 3．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 4．已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． ►考向二 求反比例函数的解析式 5．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， ∴，解得：， 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. ►考向三 反比例函数的图象与性质 易错易混提醒 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称 8．已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， ，，，两点在第二象限，点，在第四象限， ． 故选：D． ►考向四 反比例函数系数k的几何意义 易错易混提醒 反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 9．如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故答案为：3． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】16 【分析】过A作垂直于x轴，交x轴于点G，由，利用三线合一得到G为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到，及的面积都相等，都为，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴，交x轴于点G，如图所示：    ∵，， ∴G为的中点，即， ∴， 又∵A，B及C点都在反比例函数上，轴，轴， ∴， ∴， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为 ． 【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，设点，则 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键． ►考向五 反比例函数与一次函数的综合 13．如图，在平面直角坐标系xoy中，函数的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）. （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=2x－2；（2）（3，0），（－1，0）． 【分析】（1）将A点坐标代入求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx－k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式： （2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加． 【详解】解：（1）将A（m，2）代入得，m=2，则A点坐标为A（2，2）． 将A（2，2）代入y=kx－k得，2k－k=2，解得k=2． ∴一次函数解析式为y=2x－2； （2）∵一次函数y=2x－2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，－2）， ∴，解得CP=2． ∴P点坐标为（3，0），（－1，0）． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式； （2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4） 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【详解】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上． ∴n=﹣2×（﹣1）=2 ∴点A的坐标为（﹣1，2） ∵点A在反比例函数的图象上． ∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是y=﹣． （2）∵A（-1，2）， ∴OA=， ∵点P在坐标轴上， ∴当点P在x轴上时设P（x，0）， ∵PA=OA， ∴， 解得x=-2； 当点P在y轴上时，设P（0，y）， ∴， 解得y=4； 当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去． ∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4） 15．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，直接写出区域内的整点个数； ②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②或． 【详解】分析：（1）根据点（4，1）在（）的图象上，即可求出的值； （2）①当时，根据整点的概念，直接写出区域内的整点个数即可. ②分．当直线过（4，0）时，．当直线过（5，0）时，．当直线过（1，2）时，．当直线过（1，3）时四种情况进行讨论即可. 详解：（1）解：∵点（4，1）在（）的图象上． ∴， ∴． （2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）． ② ．当直线过（4，0）时：，解得 ．当直线过（5，0）时：，解得 ．当直线过（1，2）时：，解得 ．当直线过（1，3）时：，解得 ∴综上所述：或． 点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用. 16．如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m). （1）求k、m的值； （2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.    【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3. 【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值． （2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系； ②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围． 详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2， ∴m=3-2=1， ∴A（3，1）， 将A（3，1）代入y=， ∴k=3×1=3， m的值为1. （2）①当n=1时，P（1，1）， 令y=1，代入y=x-2， x-2=1， ∴x=3， ∴M（3，1）， ∴PM=2， 令x=1代入y=， ∴y=3， ∴N（1，3）， ∴PN=2 ∴PM=PN， ②P（n，n）， 点P在直线y=x上， 过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，    M（n+2，n）， ∴PM=2， ∵PN≥PM， 即PN≥2， ∴0＜n≤1或n≥3 点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 17．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确作出函数的图象是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得； 把代入，得， 解得：； （2）解：设过点的正比例函数解析式为， 把代入，得， ∴过点的正比例函数解析式为，如图， 由图可得：直线与图象分别交于点若则． 18．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． ►考向六 反比例函数解决实际问题 19．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【知识点】实际问题与反比例函数、频数分布表 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 20．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝； (2)a＝40； (3)李老师要在7：38到7：50之间接水 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案； （2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案； （3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案． 【详解】（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20． ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20． 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800 ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝． （2）将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； （3）当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 1．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个小于0的值即可． 【详解】解：、两点的横坐标都为正数， 、两点在同一个象限， 又，， 随的增大而增大， ， 的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ， ， 反比例函数， 该反比例函数还过， ， ， 故答案为． 3．（2024·北京顺义·二模）已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意得到该函数在第三象限时，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∵当时，， ∴该函数在第三象限时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 4．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．根据比例函数中的系数得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：点和在反比例函数图象上， ， 解得， 故答案为：8． 5．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2022·北京房山·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，当时，随着的增大而增大，则，然后作答即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴当时，随着的增大而增大， ∴， ∴k的一个值为：， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先把代入求出再把代入，求出． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：， 解得，， 故答案为： 8．如图，在平面直角坐标系xoy中，函数的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）. （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=2x－2；（2）（3，0），（－1，0）． 【分析】（1）将A点坐标代入求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx－k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式： （2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加． 【详解】解：（1）将A（m，2）代入得，m=2，则A点坐标为A（2，2）． 将A（2，2）代入y=kx－k得，2k－k=2，解得k=2． ∴一次函数解析式为y=2x－2； （2）∵一次函数y=2x－2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，－2）， ∴，解得CP=2． ∴P点坐标为（3，0），（－1，0）． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式； （2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4） 【详解】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上． ∴n=﹣2×（﹣1）=2 ∴点A的坐标为（﹣1，2） ∵点A在反比例函数的图象上． ∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是y=﹣． （2）∵A（-1，2）， ∴OA=， ∵点P在坐标轴上， ∴当点P在x轴上时设P（x，0）， ∵PA=OA， ∴， 解得x=-2； 当点P在y轴上时，设P（0，y）， ∴， 解得y=4； 当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去． ∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4） 10．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．    (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 【答案】(1)， (2)4或或2 【分析】（1）根据平移的规律即可求得一次函数的解析式，利用待定系数法即可求得的值； （2）表示出点、的坐标，由得出，整理得，解方程即可求得的值． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确表示点、的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解： 一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到， 一次函数表达式为， 反比例函数的图象过点， ； （2）解：过点平行于轴的直线，分别与反比例函数、一次函数图象相交于点、， 则，，， ， ，整理得，解得或， 令代入，得， ∴直线与 y轴的交点为， 当时，此时点P与N重合，满足， 故的值为4或或2． 11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）将两点坐标代入直线解析式求出m、n继而得到反比例函数解析式； （2）利用直线解析式求出点C坐标，根据代入数据计算即可． 【详解】（1）∵、两点在直线的图象上， ∴当时，；当时，， ∴、． ∵、在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）在直线中，令，则， ∴， ∵， ∴． 12.在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析式求解，交点问题； （1）点代入直线求出，点代入双曲线求出，联立直线与双曲线求出点的坐标； （2）分两种情况画图解答即可； 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 故点， 将点代入双曲线得：， 故双曲线为 联立直线与双曲线得：或2， 故点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，当直线在点P上方时，， 此时，，即；    如图，当直线在点Q上方x轴下方时，， 此时，，即； 综上，或；    13.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入可得，将代入反比例函数可得，即可得出答案； （2）①当时，点的坐标为，分别求出点、的坐标，从而即可得出的长；②分三种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，当点与点重合时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 反比例函数经过， ， ； （2）解：①当时，点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 在中，当时，，解得， 点的坐标是， ； ②在中，当时，，解得， ， ， 当时，，解得， 点的坐标是， 在中，当时，，解得， 点的坐标为， 当点在点的左侧时，即时，， ， ，且， 解得：， 当点在点的右侧时，即时，， ， ，且， 解得：， 当点与点重合时，此时点与点重合于点，不符合题意，故， 综上所述，若，的取值范围为或． 14.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15.如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）过作轴于，过作轴于，设，先求得得到，即，得出等量关系解出即可． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）如图，过作轴于，过作轴于， 即 设，则， 解得（舍去）或 经检验，是原分式方程的解， ． 16.一次函数与反比例函数的图像交于，两点．求： (1)的面积； (2)根据图像，直接写出满足的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可以求得的值，从而可以求得点的坐标，求出直线的解析式，得到与轴的交点的坐标，从而可以求得的面积； （2）观察图像求得即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图像过点，两点， ∴， ∴，， ∴点， ∵一次函数过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，得， ∴与轴的交点， ∵，， ∴， 故的面积是 （2）由图像可知，的解集为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，主要考查了待定系数法求解析式、函数图像上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是数形结合． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式 2．能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和的图象的变化情况． 3．能用反比例函数解决简单实际问题 反比例函数 考向一反比例函数的定义 考向二 求反比例函数解析式 考向三 反比例函数的图象与性质 考向四 反比例函数系数k的几何意义 考向五反比例函数与一次函数综合 考向六 反比例函数解决实际问题 考点一 反比例函数 ►考向一 反比例函数的定义 易错易混提醒 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数 在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 2．研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　） A．300度 B．500度 C．250度 D．200度 3．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 4．已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ ►考向二 求反比例函数的解析式 5．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． ►考向三 反比例函数的图象与性质 易错易混提醒 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称 8．已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． ►考向四 反比例函数系数k的几何意义 易错易混提醒 反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 9．如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      10．如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    12．如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为 ． ►考向五 反比例函数与一次函数的综合 13．如图，在平面直角坐标系xoy中，函数的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）. （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式； （2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标． 15．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，直接写出区域内的整点个数； ②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m). （1）求k、m的值； （2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.    17．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． ►考向六 反比例函数解决实际问题 19．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 20．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 1．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 2．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 3．（2024·北京顺义·二模）已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 4．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则 ． 5．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 6．（2022·北京房山·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 7．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系xoy中，函数的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）. （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）． （1）求反比例函数y=的解析式； （2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标． 10．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．    (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 12.在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 14.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 15.如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是轴正半轴上的一点．且．求点的坐标． 16.一次函数与反比例函数的图像交于，两点．求： (1)的面积； (2)根据图像，直接写出满足的解集． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$