专题09 一次函数-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题09 一次函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 2．会利用待定系数法确定一次函数的表达式； 3．能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况； 4．理解正比例函数； 5．体会一次函数与二元一次方程的关系. 一次函数 考向一 求一次函数的解析式 考向二 一次函数的图象与性质 考向三一次函数图象的平移 考向四 一次函数与不等式 考向五 一次函数解决实际问题 考向六 一次函数与几何综合 考点一 一次函数 ►考向一 求一次函数的解析式 易错易混提醒 待定系数法求解函数解析式：1、设一次函数解析式 2能找出函数图象上两点坐标，并代入求解，得到函数解析式 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． ►考向二 一次函数的图象与性质 4．若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 5．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A． B． C． D． 6．直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（    ） A． B． C． D． ►考向三 一次函数图象的平移 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 9．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． ►考向四 一次函数与不等式 10．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． ►考向五 一次函数解决实际问题 12．两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． ►考向六 一次函数与几何综合 14.在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 15.在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． (2)已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 1．已知关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标； (2)将点A向右平移2个单位恰好落在直线上，点在直线上，点在直线上．若，求m的取值范围． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 4．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 5．（2024·北京·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 6．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 7．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 8．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 9．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 10．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 11．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 12.（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 13．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 14．（2024·北京·一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 15．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围． 16．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 17．（2024·北京·一模）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 18.一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 2．会利用待定系数法确定一次函数的表达式； 3．能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况； 4．理解正比例函数； 5．体会一次函数与二元一次方程的关系. 一次函数 考向一 求一次函数的解析式 考向二 一次函数的图象与性质 考向三一次函数图象的平移 考向四 一次函数与不等式 考向五 一次函数解决实际问题 考向六 一次函数与几何综合 考点一 一次函数 ►考向一 求一次函数的解析式 易错易混提醒 待定系数法求解函数解析式：1、设一次函数解析式 2能找出函数图象上两点坐标，并代入求解，得到函数解析式 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，得， ∴点A的坐标为． （2）由题意得， ，即， 又由，得， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键． ►考向二 一次函数的图象与性质 4．若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得k<0，然后把k用x和y表示出来，再把4个选项的x和y分别代入可以求得k的值，根据k<0经过筛选即可得到解答． 【详解】解：由题意可得k<0，且， A、x=2，y=4，所以k=，不合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，符合题意， 故选D ． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键． 5．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，假设其中一条直线是，由一次函数图象与性质得到的正负，从而得到另一条直线是否是的大致图象，逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】 解：A、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； B、若①是，则，则②可能是的图象，符合题意； C、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； D、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； 故选：B． 6．直线经过第一、二、四象限，则直线的图像只能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图像和系数之间的关系，根据直线经过的象限，判断出的符号，进而判断出另一条直线的图像经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴直线的图像经过一，三，四象限； 故选D． ►考向三 一次函数图象的平移 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解． 【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得： ，解得：， 函数图象如图所示： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数由平移得到， ∴， 将点（1，2）代入可得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1，2）， ∴当时，都大于， 又∵， ∴可取值2，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 9．（2024·北京·模拟预测）如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②；③ 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【详解】（1）解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：，， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； （3）解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，如图， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图象表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． ►考向四 一次函数与不等式 10．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故选：D． 11．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． ►考向五 一次函数解决实际问题 12．两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键． 13．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【答案】 400 22800 【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元， 根据题意，得：， ∴y=-4x+2000， 由x≥-4x+2000得：x≥400， ∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000， ∵-3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元）， 故答案为：400，22800． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题． ►考向六 一次函数与几何综合 14.在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平均距离的定义解答即可； （2）设的中点为，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点在以为圆心，1为半径的圆弧上，过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）首先求出直线的解析式为；其次设点，则得，由中点坐标公式求得，由题意得，即；由点P在上，则有，把代入并整理得关于x的一元二次方程，利用判别式即可求得t的范围． 【详解】（1）解：点，， 线段的中点为， 到轴的距离为1.5， 线段关于轴的平均距离为1.5； 故答案为：1.5； （2）解：设的中点为， 点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且， ， 为的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆弧上，如图1， 过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，   ，，， ， 线段关于直线的平均距离的最小值． 故答案为：． （3）解：设直线解析式为， 把，两点坐标分别代入中，得：， 解得：， 即直线解析式为； 设点， 轴交直线于点Q， ， 则， ， 即； 因点P在上，则有， ， 整理得：， 由于关于x的一元二次方程必有实数解，则， 即， 解得：； 线段关于轴的平均距离的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，一元二次方程根的判别式等知识，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 15.在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． (1)已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． (2)已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）①∵点，． ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵点P在直线上 ∴设 ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴ ∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意； ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴，，矛盾，不符合题意； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴点Q在直线上运动 如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵点O和点关于直线对称 ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为； （2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设 设所在直线表达式为， ∴，解得 ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴， ∴，解得 当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴，解得 当点C在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点． 1．已知关于x的一次函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标； (2)将点A向右平移2个单位恰好落在直线上，点在直线上，点在直线上．若，求m的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) 【分析】（1）代入求出与之对应的y的值，即可得出点A的坐标； （2）由题意可得，根据即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴点A的坐标为； （2）点A的坐标为，将点A先向右平移2个单位，得到点， ∵点恰好落在直线上， ∴，解得， ∴直线解析式为， ∵点在直线上，点在直线上． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用坐标的平移，得出点A右平移2个单位的坐标，进而得出直线解析式． 3．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 4．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）把和代入得：，解出的值可得答案； （2）当时，，把代入得，根据当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，可知． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， ∴； （2）当时，， 把代入得：， 解得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴直线(与直线的交点的横坐标不小于3， ． 5．（2024·北京·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 6．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将代入一次函数解方程即可得到答案； （2）令函数，函数，求出，由题意得到，进而得到当包含时，满足题意，从而得到，解不等式得到或；再由也满足题意，即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数经过点， ，解得， 故一次函数的解析式为：； （2）解：令函数，函数， ， 当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0， ，解得；且，解得； ，则，解得， ， 或； 当时，，即满足题意； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 7．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 8．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把和代入得， 一次函数的解析式为 （2）解：如图， 当时，两直线相交于点， 当时，两直线平行， 所以，m的取值范围为 9．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式； （2）根据点结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：把代入，求得， ∴函数与一次函数的交点为， 把点代入，求得， 当两直线平行时，， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 10．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握图形平移的规律，解不等式是解题的关键． （1）根据图形的平移可确定的值，再根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，，根据不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据图象平移可得，且经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数图象的解析式为； （2）解：根据题意，， 解得，， ∵， ∴， 当时，， ． 11．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意结合函数图象平移的特点可得出，再将代入，求出b的值即可； （2）画出大致图形，结合图形即得出当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴． ∵该一次函数经过点， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 由图可知当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0， ∴n的取值范围是． 12.（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可． （2）根据函数图象得出当时，对于的每一个值，函数，即可求出的取值范围． 【详解】（1）把和代入中， 得， 解得， 该函数的解析式为； （2）由（1）知：当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 当时，对于的每一个值，函数， ， 解得， 的取值范围是． 13．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式后令时，，得到点C坐标即可； （2）根据题意画出图象，分情况讨论当直线过点C时，，当直线与直线平行时，，此时，满足条件，即可得到满足条件的m取值范围． 【详解】（1）∵函数的图象过点和， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴． （2）如图所示，直线过点C时，， 当直线与直线平行时，，此时，满足条件． ∴满足条件． 14．（2024·北京·一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）利用待定系数法即可求出解析式， （）由题意得，再根据二次函数求最值即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握函数图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）设关于的函数关系式为， 将点，的坐标代入得 ， 解得， ∴关于的函数关系式为 设关于的函数关系式为 将点，，坐标代入，得 解得 ， ∴关于的函数关系式为； （2）由（）得，， ∴， ∴当时，小钢球和无人机的高度差最大是， 故答案为：． 15．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移： （1）根据一次函数平移的性质可得，当时， ，则可求得点A的坐标； （2）根据题意可得且，再根据，据此求解即可； 熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到， 一次函数的解析式为， 当时，，解得：， ． （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于， 且， 即：且， ， 且， 解得：． 16．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键． （1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标； （2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴将点和代入中， ，解得：， ∴该函数的表达式为：， ∵与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入中，得， ∴； （2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ， 通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，， 当的函数值大于函数的值将代入中，， ∴的取值范围为：． 17．（2024·北京·一模）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①C、D之间（含C、D两点）②点D处 【分析】本题考查一次函数实际问题应用． （1）当时，，求出（千米），再令时，计算出，利用，求出，继而得到当时，； （2）将（1）中求得的数值和表中结合，再在平面直角坐标系中标出，连接各点即可得到； （3）①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故此得到答案；②由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大，故此分析得到答案． 【详解】（1）解：∵A、C之间的距离为2千米，A、T之间的距离为x千米、T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米， ∵当时，，即（千米）， ∴当时，T位于中点处， 此时（千米）； ∵当时，，即（千米）； ∴当时，T位于D处， （千米）； 故答案为：8.5，6.5； （2）解：根据表中坐标画出如下函数图象： ； （3）解：①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 故答案为：C、D之间（含C、D两点）； ②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、R两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大， 故答案为：点D处． 18.一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 【答案】(1) (2)分钟 (3)396米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，一元一次方程的应用． （1）设所在直线表达式为：，将点，代入，再求解即可； （2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题可设所在直线表达式为：， 将点，代入： 可得， 解得， ∴所在直线表达式为：． （2）解：由图象可得小刚行驶速度为（米/分）， 小欣行驶速度（米/分）， 两人相遇时间为：（分钟） 所以，小刚行走分钟后两人相遇． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得（米） 答：A、B两地的距离为396米． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$