专题08 平面直角坐标系及函数-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题08 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置 2．理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；再给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； 3．在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置 4．对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形； 5．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义. 6.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； 7.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； 8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； 9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； 10.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 平面直角坐标系 考向一 平面直角坐标系中点的坐标变化 考向二 实际问题中坐标表示 函数基础 考向一 分析函数图象 考点一 平面直角坐标系 ►考向一 平面直角坐标系中点的坐标变化 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，….若点的坐标为（3，1），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；若点的坐标为（，），对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为 . 【答案】（-3，1）；（0，4）；且 【分析】由伴随点的定义，可以找出数据的各个数值，从而发现规律，由规律即可得出结论． 【详解】由题意可知，若A1（x,y)，则有A2（-y+1,x+1）、A3（-x,-y+2）、A4（y-1,-x+1）、A5（x,y）、A6（-y+1,x+1）、A7（-x,-y+2）、… 由此可知这样的点四个就开始循环了， 因此可知点A3的坐标为（-3，1），点A2014的坐标为（0，4）； 若要 对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则必须满足b>0、-b+2>0、a+1>0、-a+1>0 因此可得a，b应满足的条件为且 故答案为：（-3，1）；（0，4）；且 2．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）    【答案】 3或4 6n－3 【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案． 【详解】解：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）， （1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4． 当点B的横坐标为4n（n为正整数）时， ∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12n－3，对角线AB上的整点个数总为3， ∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3． 故答案为：3或4；6n－3．    【点睛】本题考查分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质． ►考向二 实际问题中坐标表示 3．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　） A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0) B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0) C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0) D．以上都不对 【答案】A 【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键． 4．下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（    ） A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店 【答案】A 【分析】以群明湖的位置向右2个单位，为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各建筑点的坐标，从而得解． 【详解】解：∵群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为， 则建立平面直角坐标系如图所示， ∴滑雪大跳台，五一剧场，冬奥组委会，全民畅读艺术书店， 故A正确，B、C、D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 考点二 函数基础 ►考向一 分析函数图象 解题技巧 函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法 函数图象的画法：列表、描点、连线 5．（2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）< 【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 【详解】（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下：    由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3， 即可节水约11.3个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 6．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． 【答案】（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98 【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出； （2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可， （3）根据图形观察结合表中数据即可得出 【详解】（1）AD， PC，PD； （2）如图所示， （3）2.29或3.98 【点睛】本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键 7．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 【答案】D 【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答． 【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误； 根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误； 小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误； 根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 9．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 【答案】B 【详解】试题分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）． 故选B． 考点：函数的图象． 1．（2021·北京海淀·模拟预测）已知正方形中心为建立合适的平面直角坐标系，表示出各点的坐标．下面是名同学表示部分点坐标的结果 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 上述四名同学表示的结果中，有错误的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】正确画图，根据四个同学的原点确定平面直角坐标系，根据各点的坐标确定正方形的边长，可得结论． 【详解】解：甲同学：如图1，易知点B为原点，则AB=BC=CD=AD=1，故甲同学所标的四个点的坐标正确； 乙同学：由B（0，-4），D（3，1），可知N（1.5，-1.5），故乙同学正确， 丙同学：由B（-1，0），C（2，0），可知N（0.5，1.5），故丙同学正确． 丁同学A（1，0），B（3，-2），可知N（3，0）或（1，-2），故丁错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质及坐标系的特点，正确画图确定平面直角坐标系是关键． 2．昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（   ） A．（－2，－3） B．（－2，－2） C．（－3，－3） D．（－3，－4） 【答案】B 【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案． 【详解】如图所示： 弘文阁所在的点的坐标为：（-2，-2）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 3．如图是故宫博物院周围的部分博物馆分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为；②当表示史家胡同博物馆的点的坐标为，表示故宫博物院的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为；③当表示北京警察博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示中国海关博物馆的点的坐标为；④当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国钱币博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为.上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】先根据每个选项给出的前两个点建立平面直角坐标系，再判断第三个点的位置即可得出答案． 【详解】解：①当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为，所以本选项正确； ②当表示史家胡同博物馆的点的坐标为，表示故宫博物院的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为，所以本选项错误； ③当表示北京警察博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示中国海关博物馆的点的坐标为，所以本选项正确； ④当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国钱币博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为，所以本选项错误． 综上，正确的结论有①③，故选C． 【点睛】错因分析：不能根据已知点的坐标推断出平面直角坐标系x、y轴的位置． 本题考查了平面直角坐标系的知识，属于基础题型，依据题意建立相应的平面直角坐标系，继而进行判断是解题的关键． 4．如图是北京动物园部分场馆的分布图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示猩猩馆的坐标为，表示狮虎山的坐标为，则表示下列场馆的点的坐标正确的是（    ）    A．企鹅乐园 B．犀鸟馆 C．袋鼠馆 D．大熊猫馆 【答案】B 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、坐标与图形 【分析】根据题意，先确定原点的位置，然后建立平面直角坐标系，然后得到各点的坐标，进行判断即可. 【详解】解：根据表示猩猩馆的坐标为，表示狮虎山的坐标为，建立直角坐标系如图，可得企鹅乐园，犀鸟馆，袋鼠馆，大熊猫馆.    ∴坐标正确的是：犀鸟馆； 故选：B. 【点睛】此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置．错因分析：不能根据已知点的坐标推断出平面直角坐标系x、y轴的位置 5．如图是2019北京世园会的部分场馆展示区的分布示意图．当表示国际馆A馆的点的坐标为（325，0），表示九州花境的点的坐标为（﹣65，460）时，则建立的平面直角坐标系，x轴最有可能的位置是（　　） A．表示中国馆和世艺花舞的两点所在的直线 B．表示中国馆和中华园艺展示区的两点所在的直线 C．表示中国馆和九州花境的两点所在的直线 D．表示百松云屏和中华园艺展示区的两点所在的直线 【答案】C 【分析】根据表示国际馆A馆的点的坐标为（325，0），表示九州花境的点的坐标为（-65，460）建立平面直角坐标系，据此可得． 【详解】解：∵表示国际馆A馆的点的坐标为（325，0）， ∴表示国际馆A馆的点位于y轴． 又表示九州花境的点的坐标为（﹣65，460）， ∴x轴在九州花境的下面， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点坐标确定x轴是解题关键． 6．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( ) A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3) C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4) 【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了点的坐标问题，解题关键是找出原点的位置，然后根据平面直角坐标系的特点找出各个选项的正确坐标，即根据太和门的点的坐标为（0，-1），可得中和殿为原点（0，0），保和殿为（0，1），景仁宫（2，4），养心殿（-2，3），武英殿（-3.5，-3），所以只有B正确，故选B. 考点：点的坐标 7．已知y是x 的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x 的几组对应值. x ··· 1 2 3 5 7 9 ··· y ··· 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 ··· 小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象; （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y约为________； ②该函数的一条性质：__________________． 【答案】（1）作图见解析；（2）①2（2.1到1.8之间都正确）；②该函数有最大值（其他正确性质都可以）． 【详解】试题分析：（1）描点即可作出函数的图象； （2）①观察图象可得出结论； ②观察图象可得出结论． 试题解析： （1）如下图： （2）①2（2.1到1.8之间都正确） ②该函数有最大值（其他正确性质都可以）． 考点：函数图象，开放式数学问题． 8．（2024·北京·三模）依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)甲； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）解：由函数图象可知：当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：甲；． 9．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 【答案】(1)； (2)； (3)图像见解析； 【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）由判断即可； （3）根据图示的点作图，把代入计算即可． 【详解】（1）在中， ①处应填； ②处应填 故答案为：；． （2）根据题意若记为，否则记为， ， 表格中空白的两处依次填和； （3）    把代入，得 10．（2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)六五折 【分析】（）根据表格，描出其余各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出A商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是必需品， 故答案为：； （3）解：由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品打六五折． 11．（2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据表格信息描点作图即可； （3）根据图象信息解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为毫米/天； （2）解：如图所示： （3）解：由图象可得：在12℃温度下，使用约毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快； 由图象可得：当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为； 12．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】(1)见详解 (2)5.5；66.0 (3)> 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示： （2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． （3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 13．（2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】，作图见详解，不能，（1），（2）等于 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时的水解率为，即等于， 故答案为：等于． 14．（2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)44 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【详解】（1）解：函数的图象如下： （2）解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 15．（2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见解析 (2)5.6；0.5或2.1 (3)甲，1.5 【分析】本题考查了函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可； （2）观察图象，分别求出当时， 、的值，然后求出、的差即可； 当每毫升血液中含药量相等时，即，、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间； （3）求出当时，两个函数图像与交点的横坐标，即可求出每毫升血液中含药量不少于2微克的时间，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．    （2）解∶当时，在图象时找到，， ∴， 当每毫升血液中含药量相等时，即，在图象上找到、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间，即x的值约为或， 故答案为：5.6；0.5或2.1； （3）解：当时，所对应的x的值约为0.7，4， ∴甲种药物持续的时间为 同理乙种药物持续的时间为， ∵， ∴每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中甲种药的药效持续时间较长，药效大约相差1.5小时， 故答案为：甲，1.5． 16．（2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)3，14 【分析】本题考查从函数图像获取信息； （1）由表格可得，第8天每千克水果的收益为 （2）在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线连接这些点即可； （3）根据每千克水果的收益为，由函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由表格可得：第8天每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元 ∴第8天每千克水果的收益为 （2）解：如图， （3）解：每千克水果的收益为，由函数图象可得，将水果保鲜存储第3天至第14天时，出售每千克水果所获得的收益超过4元 17．（2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键． （1）描点并用光滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可． 【详解】（1）解：描点及图象如图所示： （2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大， 故答案为：； ②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率． 18．（2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见详解； (2)答案不唯一，如， (3)答案不唯一，如 【分析】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）分别根据所求果树高度在图上水平划线，与、交点的横坐标即为生长时间． （3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间． 【详解】（1）解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）解：当时，在图上找到约为， 当时，在图上找到约为，两年后即时，约为5.98． 故答案为，（答案不唯一）． （3）解：当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间，即约为． 故答案为（答案不唯一）． 19．（2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】(1) (2)①图见解析；② (3)不能 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【详解】（1）解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． （2）解：①补全水温与时间的函数图象如图所示： ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； （3）解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 20．（2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)乙； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：乙；． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置 2．理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；再给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； 3．在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置 4．对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形； 5．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义. 6.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； 7.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； 8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； 9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； 10.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 平面直角坐标系 考向一 平面直角坐标系中点的坐标变化 考向二 实际问题中坐标表示 函数基础 考向一 分析函数图象 考点一 平面直角坐标系 ►考向一 平面直角坐标系中点的坐标变化 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，….若点的坐标为（3，1），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；若点的坐标为（，），对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为 . 2．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）    ►考向二 实际问题中坐标表示 3．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　） A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0) B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0) C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0) D．以上都不对 4．下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（    ） A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店 考点二 函数基础 ►考向一 分析函数图象 解题技巧 函数三种表示方法：解析式法、列表法、图象法 函数图象的画法：列表、描点、连线 5．（2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 6．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． 7．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 9．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 1．（2021·北京海淀·模拟预测）已知正方形中心为建立合适的平面直角坐标系，表示出各点的坐标．下面是名同学表示部分点坐标的结果 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 上述四名同学表示的结果中，有错误的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（   ） A．（－2，－3） B．（－2，－2） C．（－3，－3） D．（－3，－4） 3．如图是故宫博物院周围的部分博物馆分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为；②当表示史家胡同博物馆的点的坐标为，表示故宫博物院的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为；③当表示北京警察博物馆的点的坐标为，表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为时，表示中国海关博物馆的点的坐标为；④当表示中国国家博物馆的点的坐标为，表示中国钱币博物馆的点的坐标为时，表示故宫博物院的点的坐标为.上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 4．如图是北京动物园部分场馆的分布图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示猩猩馆的坐标为，表示狮虎山的坐标为，则表示下列场馆的点的坐标正确的是（    ）    A．企鹅乐园 B．犀鸟馆 C．袋鼠馆 D．大熊猫馆 5．如图是2019北京世园会的部分场馆展示区的分布示意图．当表示国际馆A馆的点的坐标为（325，0），表示九州花境的点的坐标为（﹣65，460）时，则建立的平面直角坐标系，x轴最有可能的位置是（　　） A．表示中国馆和世艺花舞的两点所在的直线 B．表示中国馆和中华园艺展示区的两点所在的直线 C．表示中国馆和九州花境的两点所在的直线 D．表示百松云屏和中华园艺展示区的两点所在的直线 6．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( ) A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3) C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4) 7．已知y是x 的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x 的几组对应值. x ··· 1 2 3 5 7 9 ··· y ··· 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 ··· 小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象; （2）根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y约为________； ②该函数的一条性质：__________________． 8．（2024·北京·三模）依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 9．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 10．（2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 11．（2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 12．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 13．（2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 14．（2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 15．（2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 16．（2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 17．（2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 18．（2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 19．（2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 20．（2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$