专题07 一元一次不等式（组）-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题07 一元一次不等式（组） 课标要求 考点 考向 1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质． 2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集． 3．会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集． 4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 不等式 考向一 不等式的概念与性质 一元一次不等式 考向一 解一元一次不等式 考向二 在数轴上表示一元一次不等式解集 考向三 一元一次不等式解决实际问题 一元一次不等式组 考向一 解一元一次不等式组 考向二 一元一次不等式组整数解问题 考向三 元一次不等式组解决实际问题 考点一不等式 ►考向一 不等式的概念与性质 解题技巧/易错易混 不等式的性质 （1）若，则 （2）若，，则， （3）若，，则， 1．（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·一模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式 解题技巧/易错易混 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1‘ 注意：在数轴上表示解集需注意定边界点，定方向’ ►考向一 解一元一次不等式 3．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6． ►考向二 在数轴上表示一元一次不等式解集 4．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    5．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． ►考向三 一元一次不等式解决实际问题 解题技巧/易错易混 一元一次不等式解决实际问题一般步骤：审题、设未知数、找不等式关系、列不等式、解不等式、检验是否有意义、作答 6．（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下： 包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 7．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 考点三 一元一次不等式组 ►考向一 解一元一次不等式组 8．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 9．（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 10．（2022·北京·中考真题）解不等式组： ►考向二 一元一次不等式组整数解问题 11．写出满足不等式组的一个整数解 ． 12．（2024·北京西城·模拟预测）解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． ►考向三 一元一次不等式组解决实际问题 13．（2023·北京大兴·二模）某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元． （1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费 元； （2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为 元． 14．（2023·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 1．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京东城·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京顺义·二模）若则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·模拟预测）解不等式组：． 6．（2024·北京·模拟预测）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 7．（2024·北京西城·二模）解不等式组，写出它的所有整数解． 8．解不等式组： 9．解不等式组： 10．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入补全上表； （2）若，，，则的所有可能取值为______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 11．（2022·北京西城·一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 12．（2023·北京·一模）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为 个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为 ． 13．（2022·北京石景山·二模）某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动． 说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次； ②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款 小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付 元； 若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是 ． 14．某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 人数 29 19 25 23 22 27 21 24 若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是 ． 15．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是 ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况． 16．（2024·北京·模拟预测）2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴，与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 17.某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 18.某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 19.（2020·北京·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，老百姓越来越依赖电商渠道获取必要的生活资料．石经营的水果店也适时加入了某电商平台，并对销售的水果中的部分（如下表）进行 促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满 128 元减 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的80%． （1）当x=8时，某顾客一次购买苹果和车厘子各 1 箱，小石会得到 ______________元； （2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为_____ ． 参入促销水果 水果 促销单价 苹果 58元/箱 耙耙柑 70元/箱 车厘子 100元/箱 火龙果 48元/箱 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式（组） 课标要求 考点 考向 1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质． 2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集． 3．会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集． 4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 不等式 考向一 不等式的概念与性质 一元一次不等式 考向一 解一元一次不等式 考向二 在数轴上表示一元一次不等式解集 考向三 一元一次不等式解决实际问题 一元一次不等式组 考向一 解一元一次不等式组 考向二 一元一次不等式组整数解问题 考向三 元一次不等式组解决实际问题 考点一不等式 ►考向一 不等式的概念与性质 解题技巧/易错易混 不等式的性质 （1）若，则 （2）若，，则， （3）若，，则， 1．（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 2．（2024·北京·一模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个书，不等号方向不变逐项分析，即可求解． 【详解】解：，则，B不符合题意； 则；A不符合题意； 当时，；当时，，C不符合题意； 则；D符合题意； 故选：D． 考点二 一元一次不等式 解题技巧/易错易混 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1‘ 注意：在数轴上表示解集需注意定边界点，定方向’ ►考向一 解一元一次不等式 3．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6． 【分析】去括号得：4x﹣4＞5x﹣6，移项合并同类项后解不等式 【详解】解：去括号得：4x﹣4＞5x﹣6， 移项得：4x﹣5x＞4﹣6， 合并同类项得：﹣x＞﹣2， 把x的系数化为1得：x＜2， ∴不等式的解集为：x＜2． ►考向二 在数轴上表示一元一次不等式解集 4．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】x≥-3，数轴见解析． 【分析】去分母得：3x-6≤4x-3，移项合并得x≥-3，正确在数轴上表示即可． 【详解】解：3x-6≤4x-3 ∴x≥-3    【点睛】本题考查解一元一次不等式． 5．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． ►考向三 一元一次不等式解决实际问题 解题技巧/易错易混 一元一次不等式解决实际问题一般步骤：审题、设未知数、找不等式关系、列不等式、解不等式、检验是否有意义、作答 6．（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下： 包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案 （写出要装运包裹的编号）． 【答案】 ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD） ACE 【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可； （2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可． 【详解】解：（1）根据题意， 选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求； 选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求； 选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求； 选择ACE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求； 综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD． 故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）． （2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）； 选择ACE时，装运的II号产品重量为： （吨）. 故答案为：ACE． 【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键． 7．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 【答案】 2 【分析】（1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次最多可放8个大尺寸陶艺品，B款电热窑不能放大尺寸陶艺品，且烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； （2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 考点三 一元一次不等式组 ►考向一 解一元一次不等式组 8．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 9．（2023·北京·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 10．（2022·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 故所给不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键． ►考向二 一元一次不等式组整数解问题 11．写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 12．（2024·北京西城·模拟预测）解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】，和和 【分析】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式 即； 解不等式 即， 该不等式的解集为：， 该不等式组的非负整数解为和和 ►考向三 一元一次不等式组解决实际问题 13．（2023·北京大兴·二模）某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元． （1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费 元； （2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为 元． 【答案】 12800 12600 【分析】（1）根据题意，列式子，计算即可； （2）根据每个卡车至少使用1辆，根据余下乙原料的量，分析即可； 【详解】（1）安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输的费用为： 元 故答案为：12800． （2）当每个卡车至少使用1辆时，余下甲原料有箱，乙原料有箱， 设余下的原料中，需要A型车a辆，B型车b辆，C型车c辆 则满足 对比可知，1辆A型车和2辆C型车的费用相等，但是1辆A型车运输的却比2辆C型车运输的多，故故为了使总费用最少，余下原料的分配中，减少对C车的选择； 且甲原料最多，而三个车型中，A型车对甲原料的运输的最多，在余下原料的分配中，优先考虑A型车； 故根据余下的原料可能的方案有： ①A型车4辆，B型车0辆，C型车0辆，费用为 ②A型车3辆，B型车1辆，C型车0辆，费用为 ③A型车3辆，B型车2辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑 ④A型车3辆，B型车3辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑 即随着B型车选择的增多，余下的甲原料额外需要增加A型车取运输，故③，④不考虑、 故答案为：12600 【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的信息，找到优先考虑的情况． 14．（2023·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 【答案】 【分析】 设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 由题意，得：， ∴． ∴． ∵每种物资至少装运1辆车， ∴． 解得：， 设总费用为，则 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∵，且为整数， ∴当时，总费最少，最少费用为元． 此时． 故答案为：；． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点． 1．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，不等式的性质，掌握不等式的性质，有理数的比较大小的方法是解题的关键． 根据，可得互为相反数，可得，，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即互为相反数， ∴， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 2．（2024·北京·三模）已知 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质和解一元一次不等式，根据不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·北京东城·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B 4．（2024·北京顺义·二模）若则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴A、，原结论错误，故此选项不符合题意； B、，原结论错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原结论错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024·北京·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，先分别求出两个不等式的解集，进而得出答案． 【详解】， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 6．（2024·北京·模拟预测）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式组解法．根据题意先将两个不等式解出，继而可得不等式组的解，再用数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： ． 7．（2024·北京西城·二模）解不等式组，写出它的所有整数解． 【答案】，，0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①， 得：， 解不等式②， 得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，0，1，2． 8．解不等式组： 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 9．解不等式组： 【答案】 【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴此不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键． 10．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入补全上表； （2）若，，，则的所有可能取值为______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23. 【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； （3）根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】解：（1） 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 （2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴x1≥4，x3≥4，x4≥4， ∴x1+x3≥8①， ∵x1+x3+x4≤14②， 把①代入②得，x4≤6， ∴4≤x4≤6， ∴x4的所有可能取值为4，5，6， 故答案为4，5，6； （3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④， ①+②+④-③得，3x2≤28， ， ， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为23． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 11．（2022·北京西城·一模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k 1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 > 1.27 【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=，可求k>1；根据和，列出方程，求出k即可． 【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S<ab ∴S= ∴k>1， ∵ ∴ ∴ 故答案为：>，1.27． 【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键． 12．（2023·北京·一模）某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． （1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为 个； （2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为 ． 【答案】 3 1，1，3 【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到． 【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得，， 解得， ∴制作型工艺品的个数为3个， 故答案为：3； （2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得，， ∴， ∴， ∴ ∵使用乙种原料最多， ∴A、B的个数要尽可能的少，B的个数要尽可能的多， ∴， 故答案为：1，1，3． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，不等式和方程相结合的问题，正确理解题意列出对应的方程和不等式是解题的关键． 13．（2022·北京石景山·二模）某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动． 说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次； ②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款 小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付 元； 若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是 ． 【答案】 160 【分析】根据题意按参加“满减”活动和享八折优惠的方式付款分别求解再比较即可；根据题意设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵若购买标价总额为220元的甜品， ∴若先参加“满减”活动再享八折优惠的方式付款，则需付款（元）， 若按享八折优惠的方式付款，则需付款（元），，不再参加“满减”活动，则实际付款为元； 最少需支付元； 设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款，根据题意得，，解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了有理数运算的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 14．某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 人数 29 19 25 23 22 27 21 24 若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是 ． 【答案】1班或5班 【分析】设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人，根据题意和结合表格数据得19≤190﹣7x≤29，解之即可解答． 【详解】解：设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人， 由题意，19≤190﹣7x≤29， 解得：23≤x≤， ∵x为整数， ∴x=23或24， 当x=23时，190﹣7x=29， 当x=24时，190﹣7x=22， 所以，还没有体检的班级可能是1班或5班， 故答案为：1班或5班． 【点睛】本题考查统计表、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式组是解答的关键． 15．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是 ． 【答案】购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖 【分析】设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，进而由题意得到2x＜y＜3x，再根据总费用为1500元，且x、y均为正整数，将y用x的代数式表示，然后解一元一次不等式组即可求解． 【详解】解：设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，则2x＜y＜3x， 25x+15y=1500， ∴， 又已知有：， ∴，解得， 又为正整数，且，， ∴=22，23，24，25，26，27； 由(1)式中，均为正整数， ∴必须是3的倍数， ∴或， 当时，单色砖的块数为； 当时，单色砖的块数为； 故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况． 16．（2024·北京·模拟预测）2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴，与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 【答案】6100 【分析】本题考查了方程和不等式的应用，解题关键是根据题意中的数量关系，设未知数，列出方程，根据等式的性质进行变形，整体代入求解． 设徽章和抱枕的价格为元，风铃的价格为元，公仔的价格为元，公仔的销售数量为件，徽章的销售数量为件，则风铃和抱枕的销售数量为件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设徽章和抱枕的价格为元，风铃的价格为元，公仔的价格为元，公仔的销售数量为件，徽章的销售数量为件，则风铃和抱枕的销售数量为件， 根据题意列方程得，， 化简得，； 徽章和风铃销售总额为， 把代入得， ， 当时，徽章和风铃销售总额的最大，最大值是(元)； 故答案为：6100． 17.某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 18.某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 19.（2020·北京·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，老百姓越来越依赖电商渠道获取必要的生活资料．石经营的水果店也适时加入了某电商平台，并对销售的水果中的部分（如下表）进行 促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满 128 元减 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的80%． （1）当x=8时，某顾客一次购买苹果和车厘子各 1 箱，小石会得到 ______________元； （2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为_____ ． 参入促销水果 水果 促销单价 苹果 58元/箱 耙耙柑 70元/箱 车厘子 100元/箱 火龙果 48元/箱 【答案】（1）120；（2）16 【分析】（1）由题意计算出一次购买苹果和车厘子各1箱的金额为158元，则顾客需要支付158-8=150元，小石会得到150×80%，即可得出结果； （2）在促销活动中，设订单总金额为m元，当0＜m＜128时，则小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，当m≥128时，得出不等式方程，求解即可得出结果． 【详解】解：（1）一次购买苹果和车厘子各1箱共计金额为：58+100=158（元）， ∵158＞128， ∴顾客需要支付：158-8=150（元）， 小石会得到：150×80%=120（元）， 故答案为：120； （2）在促销活动中，设订单总金额为m元， 当0＜m＜128时，则小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折， 当m≥128时，0.8（m-x）≥0.7m，即m≥8x， 对m≥128恒成立， ∴8x≤128， 解得：x≤16， ∴x的最大值为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，得出一元一次不等式是解题的关键． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$