专题03 因式分解（考点串讲，9个常考点+5种重难点题型+2个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 整式的乘除 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大常考点：知识梳理+针对训练 五大题型典例剖析 二大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式.把含多个项的整式化为几个 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形； (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性. 【清单02】提公因式法 1、公因式：我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫做这个 整式各项的公因式 2、提取公因式法：多个项的整式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可把公因 式m提到外面，将多个项的整式ma+mb+mc写成m与a+b+c的乘积形式，此法 叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多个项的整式各项的公因式．（2）提出公因式． （3）写成m与a+b+c的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：提公因式； 二套：套公式； 三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止 【清单03】公式法 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负 1、十字相乘法公式： x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) ①竖分二次项系数与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 2、用十字相乘法分解因式的步骤： 3、常数项分解的两因数符号的确定： ①当常数项为正数时，分解成同号两因数，与一次项系数符号相同； ②当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同； 【清单04】十字相乘法 如果一个含多个项的整式的各项没有公因式，也不符合公式的特征，我们可以把这个含多个项的整式适当地分组，使分组后各组之间有公因式或者可以用公式法，这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法 注意：若含多个项的整式有四项，且不能直接提公因式时， 可考虑用分组分解法， 常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组通常考虑用完全平方公式，再和剩下的一项用平方差公式来分解； 二、二分组通常考虑提取公因式或平方差公式，再用提公因式法来分解. 【清单05】分组分解法 考点1 因式分解的定义 1. [新视角·结论开放题 2023 嘉兴]一个整式，把它因式分解后有一个因式为 ( x ＋1)，请你写出一个符合条件的整式： ⁠. x2－1(答案不唯一)　 考点透视 2. [2023·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　C　) A. ( a ＋3)2＝ a2＋6 a ＋9 B. a2－4 a ＋4＝ a ( a －4)＋4 C. 5 ax2－5 ay2＝5 a ( x ＋ y )( x － y ) D. a2－2 a －8＝( a －2)( a ＋4) C 3. 对于① x －3 xy ＝ x (1－3 y )，②( x ＋3)( x －1)＝ x2＋2 x －3，从左到右的变形，表述正确的是(　C　) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 C 考点2 公因式的定义 4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 ⁠. 2 a 　 5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是(　D　) A. xmyn C. 4 xmyn B. xmyn－1 D. 4 xmyn－1 D 8 xmyn－1与－12 x3 myn 这两项的系数是8与－12，它们的最大公因数是4；两项的字母部分 xmyn－1与 x3 myn 都含有字母 x 和 y ，其中 x 的最低次数为 m ， y 的最低次数为 n －1，所以4 xmyn－1是所求公因式. 6. [2024·南京外国语学校月考]4 a2 b ( a － b )－6 ab2( b － a )中，各项的公因式是 (　D　) A. 4 ab C. ab ( a － b ) B. 3 ab D. 2 ab ( a － b ) D 考点3 提公因式法分解因式 7.把 a2＋2 a 分解因式得(　A　) A. a ( a ＋2) C. ( a ＋2)2 B. a ( a －2) D. ( a ＋2)( a －2) A 8. [2023·温州]因式分解：2 a2－2 a ＝ ⁠. 9. [新考法·整体代入法 2023 深圳]已知实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝6， ab ＝7， 则 a2 b ＋ ab2的值为 ⁠. ∵ a ＋ b ＝6， ab ＝7， ∴ a2 b ＋ ab2＝ ab ( a ＋ b )＝7×6＝42. 2 a ( a －1)　 42　 10. 用提公因式法分解因式： (1)9 x2－6 xy ＋3 x ；　 【解】 原式＝3 x ·3 x －3 x ·2 y ＋3 x ·1 ＝3 x (3 x －2 y ＋1). (2)( a － b )3－( a － b )2. 【解】 原式＝( a － b )2( a － b －1). 考点4 直接用平方差公式因式分解 11. 因式分解： x2－25 y2＝ ⁠. 12. [2023·杭州]因式分解：4 a2－1＝(　A　) A. (2 a －1)(2 a ＋1) C. ( a －4)( a ＋1) B. ( a －2)( a ＋2) D. (4 a －1)( a ＋1) ( x －5 y )( x ＋5 y )　 A 考点5 先提取公因式，再用平方差公式因式分解 13. [2023·北京]因式分解： x2 y － y3＝ ⁠. y ( x ＋ y )( x － y )　 考点6 完全平方式的特征 14. [2024·山西实验中学期中]下列多项式中，能用公式法因式分解的有(　A　) ①3 x2＋3 y2；②－ x2＋ y2；③－ x2－ y2； ④ x2＋ xy ＋ y2；⑤ x2＋2 xy － y2；⑥－ x2＋4 xy －4 y2. A. 2个 C. 4个 B. 3个 D. 5个 A 15. 若4 x2－( k ＋1) x ＋9能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为(　C　) A. ±6 C. －13或11 B. ±12 D. 13或－11 C 考点7 用完全平方公式因式分解 16. [2023·恩施州]因式分解： a ( a －2)＋1＝ ⁠. 17. 因式分解：( m ＋ n )2－6( m ＋ n )＋9＝ ⁠. 利用整体思想，将 m ＋ n 看作一个整体，即可简便解题. ( a －1)2　 ( m ＋ n －3)2　 18. 把( a ＋ b )2－4( a2－ b2)＋4( a － b )2因式分解的结果为(　C　) A. (3 a － b )2 C. (3 b － a )2 B. (3 b ＋ a )2 D. (3 a ＋ b )2 C ( a ＋ b )2－4( a2－ b2)＋4( a － b )2 ＝( a ＋ b )2－2×2( a ＋ b )( a － b )＋[2( a － b )]2 ＝[( a ＋ b )－2( a － b )]2＝(3 b － a )2.故选C. 19. 用十字相乘法分解因式： (1) x2＋3x＋2； (2) x2－3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)； 解：原式＝(x－1)(x－2)； 考点8 十字相乘法因式分解 (3) x2－7x＋12； (4) x2－x－12； 解：原式＝(x－3)(x－4)； 解：原式＝(x＋3)(x－4)； 20. 用十字相乘法分解因式： (1)2x2－3x＋1； (2)3x2－7x－6； (3)a2＋2ab－8b2. 解：原式＝(2x－1)(x－1)； 解：原式＝(3x＋2)(x－3)； 解：原式＝(a－2b)(a＋4b)． 21.分解因式：6k2+9km–6mn–4kn． 解 6k2+9km – 6mn–4kn =(6k2+9km) – (6mn+4kn) =3k(2k+3m) –2n (3m+2k) = (2k+3m)(3k–2n). 22.分解因式：2x3–2x2y+8y–8x． 2x3–2x2y+8y–8x =2(x3–x2y+4y–4x) =2[(x3–x2y) +(4y–4x)] =2[x2(x-y)-4(x-y)] =2(x-y)(x2-4) =2(x-y)(x+2)(x-2). 考点9 分组分解法因式分解 23.如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值． 解：原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ) = a2 (a +b)- 2b2 (a +b ) = (a +b) ( a2 - 2b2 ) =0 题型一：利用提公因式法分解因式计算 1. 利用简便方法计算： (1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4； 【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1) ＝202.4×10＝2 024. 题型剖析 (2)36.8× ＋20.2× －2× . 【解】 原式＝ ×(36.8＋20.2－2) ＝ ×55＝13. 题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算 2. 已知 x2－2 x －1＝0，则3 x3－10 x2＋5 x ＋2027的值等于 ⁠. 由 x2－2 x －1＝0，得 x2－2 x ＝1， 将所求式子变形为3 x ( x2－2 x )－4( x2－2 x )－3 x ＋2 027， 再整体代入计算即可. 2 023　 3. [新考法·整体代入法2022岳阳]已知 a2－2 a ＋1＝0， 求代数式 a ( a －4)＋( a ＋1)( a －1)＋1的值. 【解】 a ( a －4)＋( a ＋1)( a －1)＋1＝ a2－4 a ＋ a2－1＋1＝2 a2－4 a ＝2( a2－2 a ). ∵ a2－2 a ＋1＝0，∴ a2－2 a ＝－1.∴原式＝2×(－1)＝－2. 题型三：利用提公因式法将多项式分组分解 4. [新考法·选择阅读法]阅读下面因式分解的过程： 把 am ＋ an ＋ bm ＋ bn 因式分解. 解法一： am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝( am ＋ an )＋( bm ＋ bn )＝ a ( m ＋ n )＋ b ( m ＋ n )＝( m ＋ n )( a ＋ b )； 解法二： am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝( am ＋ bm )＋( an ＋ bn )＝ m ( a ＋ b )＋ n ( a ＋ b )＝( a ＋ b )( m ＋ n ). 请你选择一种方法因式分解： mx － my ＋ nx － ny ； 【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny ) ＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ). 题型四：利用平方差公式因式分解及求值 5. [新考法·数形结合法]如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 a ， b 的正方形秧田 A ， B ，其中不能使用的面积为 M (图中阴影部分). (1)用含 a ， M 的式子表示 A 中能使用的面积： ⁠ ⁠； a2－M 　  (2)若 a ＋ b ＝10， a － b ＝5，求 A 比 B 多出的使用面积. 【解】 A 比 B 多出的使用面积为 ( a2－ M )－( b2－ M )＝ a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b ) ＝10×5＝50. 题型五：利用平方差公式及整体思想巧求值 6. (1)[2022·苏州]已知 x ＋ y ＝4， x － y ＝6，则 x2－ y2＝ ⁠； (2)已知｜ a － b －3｜＋( a ＋ b －2)2＝0，求 a2－ b2的值 ； 【解】 因为｜ a － b －3｜＋( a ＋ b －2)2＝0， 所以 a － b ＝3， a ＋ b ＝2. 所以 a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b )＝2×3＝6. 24　 (3)已知 m ， n 互为相反数，且( m ＋2)2－( n ＋2)2＝4，求 m ， n 的值. 【解】 因为( m ＋2)2－( n ＋2)2＝4，所以( m ＋2＋ n ＋2)( m ＋2－ n －2)＝4， 即( m ＋ n ＋4)( m － n )＝4. 又因为 m ＋ n ＝0，所以4( m － n )＝4，即 m － n ＝1， 所以 m ＝ ， n ＝－ . 易错点1 提公因式后因符号问题或漏项而出错 1. 下列因式分解正确的有(　B　) ①3 x2－6 xy ＋ x ＝ x (3 x －6 y )＝3 x ( x －2 y )； ②－5 x ＋5 xy ＝－5 x (1＋ y )； ③4 x3－2 x2 y ＝2 x2(2 x － y )； ④6 a3 b3＋4 a2 b2＋2 ab ＝2 ab (3 a2 b2＋2 ab ). A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 B 提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确.此外，当提取的公因式有 “－”号时，应注意括号内各项要变号. 易错易混 易错点2 分解不彻底导致出错 2. 因式分解：(2 x － y )2－(4 x ＋3 y )2＝ ⁠ ⁠. 【点拨】 因式分解要彻底. 原式＝[(2 x － y )＋(4 x ＋3 y )]·[(2 x － y )－(4 x ＋3 y )] ＝(6 x ＋2 y )(－2 x －4 y ) ＝－4(3 x ＋ y )( x ＋2 y ). －4(3 x ＋ y )( x ＋2 y )　 1.（2023秋•宝山区期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ____ ) A.x(x+y)=x2+xy B.x2-2xy=x(x-2y) C.24=2×2×2×3 D.x2+x+1=x(x+1)+1 【解析】解：x(x+y)=x2+xy,是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意； x2-4xy=x(x-2y)，符合因式分解的定义；则B符合题意； 24=2×6×2×3，等式的左边不是一个含有多个项的整式，则C不符合题意； x2+x+1=x(x+1)+1，等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：B． B 押题预测 2.（2023秋•松江区期末）分解因式：2ax2-12axy+18ay2=　　． 【解析】解：原式=2a(x2-6xy+9y2) =2a(x-3y)2． 故答案为2a(x-3y)2． 3.（2023秋•金山区期末）因式分解：x2-5x+6= ___________ ． (x-2)(x-3) 【解析】解：x2-5x+6=(x-2)(x-3)． 4.（2023秋•普陀区校级期末）分解因式：3a-12a2+12a3． 【解析】解：3a-12a2+12a3=3a(1-4a+4a2) =6a(1-2a)2． 5.（2023秋•杨浦区期末）因式分解：2a2-6bc+4ab-3ac. 【解析】解：2a2-6bc+4ab-3ac =(2a2+4ab)-(6bc+3ac) =2a(a+2b)-3c(2b+a) =(a+2b)(2a-3c)．