精品解析：河南省三门峡市第三次联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年上期第二次学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字笔直接把答案写在答题卡相应位置上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号等内容填在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 3. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（ ） A. 点D在上 B. 点D在外 C. 点D在内 D. 无法确定 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为________平方米． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 13. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 14. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 15. 如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是_____． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，的三个顶点分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，其中内任意一点平移后的对应点，画出平移后的； （2）若和关于原点成中心对称，则的坐标为________； （3）将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象直接写出时的取值范围； （3）在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 19. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 20. 如图，在的角平分线交于点D． （1）利用尺规作出的外接圆，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并加以证明． 21. 某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点， ①在点、中，为关于点的旋垂点是_________； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，则点横坐标的最大值是_________； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期第二次学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字笔直接把答案写在答题卡相应位置上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号等内容填在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4， ∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c， 解得b=﹣2，c=﹣8 ∴b+c=﹣10． 故选A． 【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 6. 如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（ ） A. 点D在上 B. 点D在外 C. 点D在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8. 如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，连接，，先根据切线的性质求出，进而求出，再根据求出，再求出即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：连接， 是的切线，是切点， ， ， ， 是直径， ， ，即， ， ， ， 故选：． 9. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，由可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 的长为3， 设，则， 解得：或3， ， ，， 为半圆的直径， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，可知，计算求解即可． 【详解】解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为， 将代入得，，即， ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次函数与二次方程之间的关系． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为________平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解． 【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为， 则另一个交点坐标为 ∴一元二次方程的解是， 故答案为：，． 13. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，过作于,根据垂径定理求出、,根据勾股定理求出,根据勾股定理求出即可，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键， 【详解】解：过作于,则， ，过， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 14. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案为：． 15. 如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，若拋物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键． 根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴直线的解析式为； 联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：， ，得； 此时抛物线与扇形的边界只有一个公共点； 把点B坐标代入中，得， 解得：， 此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点； 综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点； 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开方法和因式分解法解一元二次方程，利用直接开方法和因式分解法分别对所给一元二次方程进行求解即可，熟知直接开方法和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程化为：， ∴； 【小问2详解】 解：方程化为， ∴， ∴或， 解得：． 17. 如图，的三个顶点分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，其中内任意一点平移后的对应点，画出平移后的； （2）若和关于原点成中心对称，则的坐标为________； （3）将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为平移后的图形： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移、中心对称，旋转的性质； （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点、、，顺次连接即可得到，从而得出点的坐标； （2）利用中心对称变换的性质即可得出的对应点的坐标； （3）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，顺次连接即可得到，从而得出点的坐标． 【小问1详解】 略 ∵向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到， ∴向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度得到， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，和关于原点成中心对称： 此时的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，绕点逆时针旋转，得到： 此时的坐标为， 故答案为：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）观察图象直接写出时的取值范围； （3）在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数在一次函数图象的下方，即可解决问题； （3）先求解的面积为，再根据与的面积关系，建立方程可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∴， 将代入得，， 将代入得，， 点坐标为或． 19. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率， （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意有4个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个， ∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种， 妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 20. 如图，在的角平分线交于点D． （1）利用尺规作出的外接圆，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并加以证明． 【答案】（1） 解：如图，圆O即为所作； （2） 解：直线是的切线，理由如下： 在 ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查作三角形的外接圆以及切线的判定，正确作出图形是解答本题的关键． （1）分别作出和的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆O，则圆O即为所作； （2）连接，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）当时，，当时，， 当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元； （3） 在坐标系中画函数图象如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据公式“总利润单件利润数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得出答案； （3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设当时的函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴当时的函数解析式为； 设当时的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当时的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴w随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大为万元； 当时，， ∵， ∴当时，w最大，最大为万元； ∵， ∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元； 【小问3详解】 解：由（2）得第一年的年利润为万元， ∴16万元应作为第二年的成本， ∴第二年的年利润， 当时，解得， 在坐标系中画函数图象如下： ∴由函数图象可知，当时，第二年年利润不低于103万元． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． （1）如图1，若点， ①在点、中，为关于点的旋垂点是_________； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，则点横坐标的最大值是_________； （2）如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，求的取值范围． 【答案】（1）①，②5 （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，结合新定义解答即可． ②过点A作于点D，轴于点F，设点P的旋转对应点为S，连接，根据点为关于点的旋垂点，得点S在内部或上，设，根据定义，建立不等式解答解答即可． （2）设直线为直线，交轴于点，交轴于点，，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，，作直线，则是直线绕点顺时针旋转后所得直线，先求得直线为，又根据直线上存在关于点的旋垂点，得直线为与有交点，当直线直线为与相切时，直线与有唯一交点，设交点为，构造方程，根据根与系数的关系即可得解． 【小问1详解】 解：①设与x轴的正半轴交点为点N，过点A作于点E， 连接， ∵的半径为1， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点O在的内部， ∴点为关于点的旋垂点； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点N在上， ∴点为关于点的旋垂点； 故答案为：，． ②解：过点A作于点D，轴于点F， 设点P的旋转对应点为S，连接， ∵点为关于点的旋垂点， ∴点S在内部或上， 设， ∴要想使m取最大值，； ∵点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点S一定在y轴上，且在上或内部， ∴， ∴， ∵的半径为1， ∴， 解得， ∴点横坐标的最大值是5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：设直线为直线，交轴于点，交轴于点，，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，，作直线，则是直线绕点顺时针旋转后所得直线， 当时，， 令，则，解得， ∴，， ∴，两点绕点顺时针旋转后的对应点分别为，， 设直线为， 把，，代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∵直线上存在关于点的旋垂点， ∴直线为与有交点， 当直线为与相切时，直线与有唯一交点，设交点为， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵直线与有唯一交点，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得，，； ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，切线的性质，待定系数法，旋转的性质，熟练掌握材料中定义，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，切线的性质等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $