第06讲 导数中切线问题（思维导图+3知识点+六大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第06讲 导数中的切线问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：在某一点的切线】 【考点二：过某一点的切线】 【考点三：切线中平行、垂直、重合问题】 【考点四：求公切线】 【考点五：切线的条数问题】 【考点六：切线问题中的参数问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握求某点处切线的一般方法 2掌握常见公切线问题的解决方法 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【考点一：在某一点的切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 4．（23-24高二下·广西·期末）已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为 . 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知为奇函数，则在处的切线方程为 6．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【考点二：过某一点的切线】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽·期末）过点能向曲线作切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 3．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 . 5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 . 【考点三：切线中平行、垂直、重合问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 三、填空题 4．（2023·广东茂名·二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 . 5．（2024高三·全国·专题练习）曲线与在交点处存在公切线，则 ． 【考点四：求公切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 5．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 . 【考点五：切线的条数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点六：切线问题中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东·期中）已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（    ） A．0或1 B．0或 C． D．1 5．（24-25高三上·辽宁·期中）若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 6．（22-23高二下·北京房山·期末）函数，若，则 ． 7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 . 三、解答题 8．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2024高三·全国·专题练习）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 三、填空题 10．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 11．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与曲线相切，则 . 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 17．（24-25高三上·山东·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 四、解答题 18．（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 19．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：. 20．（广东省茂名市2024-2025学年高三上学期12月份联考数学试题）已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 导数中的切线问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：在某一点的切线】 【考点二：过某一点的切线】 【考点三：切线中平行、垂直、重合问题】 【考点四：求公切线】 【考点五：切线的条数问题】 【考点六：切线问题中的参数问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握求某点处切线的一般方法 2掌握常见公切线问题的解决方法 一、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 二、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 【考点一：在某一点的切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数几何意义，该点处的导数值为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程. 【详解】由，得， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得到切线斜率，再得到直线方程，再得到截距，进而得到面积. 【详解】解：由， 则， ， 所以在处切线的方程为， 令，得， 令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A 二、填空题 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程． 【详解】，所以， 故切线方程为， 故答案为：． 4．（23-24高二下·广西·期末）已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数公式求出函数导数即可求解. 【详解】，当时，， 因为切线方程过点，所以，化简得. 故答案为：. 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知为奇函数，则在处的切线方程为 【答案】 【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可. 【详解】因为 ， 所以， 因为为奇函数， 所以对恒成立， 所以，代入函数表达式得， 所以，则， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，由点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点， 因为 ， 令，得， 由导数几何意义知：， 又， 所以切点为， 故曲线在处的切线方程为：， 整理得： .    故答案为：. 【考点二：过某一点的切线】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 2．（23-24高二下·安徽·期末）过点能向曲线作切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设切点，求导写出切线方程，代入点，化简得到，将题设要求切线条数问题转化为该方程解的个数问题求解. 【详解】设切点为，由求导得,故切线斜率为，则切线方程为：， 因曲线经过点，则，又，则得，， 化简得，（*）， 令，则，因，故在上恒成立， 即在上为增函数， 又，而，由零点存在定理可得，在上必有一个零点， 即方程（*）只有一个解，故切线只有一条. 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解. 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 三、填空题 4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线方程，将代入，即可求得答案. 【详解】由题意设切点坐标为， 由，得，故直线的斜率为， 则直线l的方程为， 将代入，得， 则切点的坐标为， 故答案为： 5．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 . 【答案】 【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解. 【详解】由得 设切点为，则切线方程为 由于切线经过原点，所以，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【考点三：切线中平行、垂直、重合问题】 一、单选题 1．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，结合垂直关系运算求解即可. 【详解】因为，可得， 即曲线在处的切线斜率为， 且直线的斜率为， 由题意可得：，解得. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】由，， 则，， 设切点P的横坐标为（），则根据题意可得， 得，即， 设，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以方程有唯一解， 所以切点P坐标为，切线斜率， 则切线方程为. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】令，求出的导函数，依题意，即可判断A，又曲线在原点处的切线过点，即可得到，即可判断C，再由求出，即可判断B、D. 【详解】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD 三、填空题 4．（2023·广东茂名·二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 . 【答案】 【分析】求导，根据列方程可得. 【详解】， 由题意可知，，即，解得. 故答案为： 5．（2024高三·全国·专题练习）曲线与在交点处存在公切线，则 ． 【答案】2 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可， 【详解】设两曲线的公切点为，因为，， 依题意得，， 由，解得，将代入， 整理得，令，则，令， 则，令，解得（舍负）， 当时，；当时，， 所以有最小值，所以方程有唯一解，此时，解得． 故答案为：2. 【考点四：求公切线】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 二、多选题 2．（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】令，则， 令，有，则， 即有，即，故， 令，则， 令，有，则， 即有，即， 故有，即. 故选：BD. 三、填空题 3．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】/ 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】设曲线与的切点分别为， 易知两曲线的导函数分别为，， 所以， 则. 故答案为：. 4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【答案】1 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值. 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 5．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案. 【详解】       由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得：； 由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得； 由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直.. 故答案为：. 【考点五：切线的条数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值． 【详解】两条切线，的倾斜角分别为，， 根据题意，， 若点是切点时，切线斜率为， 若点是切点（点不重合），则， 由，解得（舍去）， 所以直线斜率为， 则． 故选：C． 2．（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则， 当时，，故不存在； 当时，满足：. 所以：. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围． 【详解】设切点为，∴切线的斜率， ∴切线方程是， ∵切线过点A（a，0）， ∴，即， ∵过点A（a，0）可以作两条切线， ∴方程有两个不同的根， ∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3． 故选：D. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可. 【详解】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 6．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分离参数得出关于的方程有三个不同的实数根，通过数形结合即可顺利得解. 【考点六：切线问题中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据导数求出曲线在点处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于算出即可. 【详解】，则， 则，曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，由， 令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离. 故选：C. 3．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得，设切点为，根据，列出方程，得到，结合方程的根，即可求解. 【详解】 由函数，可得， 设切点为，可得，即， 整理得，解得或（舍去）， 因为存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 4．（23-24高二下·山东·期中）已知曲线过点的切线与函数的图象只有一个公共点，则的值为（    ） A．0或1 B．0或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，分类讨论和时，方程只有一个解求解即可. 【详解】设切线与曲线的切点为， 函数的导函数为，故， 解得，所以，故切线方程为， 当时，，显然成立， 当时，与联立，， 其中，解得， 综上所述，的值为0或1. 故选：A 5．（24-25高三上·辽宁·期中）若曲线的一条切线为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设切点，由题意得，从而构造函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B. 二、填空题 6．（22-23高二下·北京房山·期末）函数，若，则 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，再由给定导数值求出a值作答. 【详解】函数，求导得，而， 即，解得， 所以. 故答案为： 7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线，对于，设切点坐标为，可得切线斜率为，求切线方程列式求解即可. 【详解】因为，则， 当，可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，即； 又因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即， 可得，解得. 故答案为：. 三、解答题 8．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由，得， 当时，， 故曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 2．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在已知等式中，以替换，求解方程组得函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得，再求出，然后根据点斜式可得切线方程． 【详解】， ． 解得，， 在处的切线斜率为． 又， 函数在处的切线方程为， 即． 故选：C． 3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积. 【详解】因为，则，可得， 即切点坐标为，切线斜率为2， 则切线方程为，其与x轴交点为， 所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为. 故选：B. 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知曲线与曲线有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两曲线交点和导数几何意义可求得切线斜率，由此可构造方程求得a的值. 【详解】当时，曲线与曲线有唯一交点， 当时，因为和在上单调递增， 故函数在上单调， 因为曲线在上单调递增，且两曲线有相同切线， 所以函数在上单调递增，故， ，，与的交点为， ，在处的切线斜率， ，，解得：. 记，则， 所以在上单调递减，故有唯一解， 即曲线与曲线有唯一交点，满足题意. 故选：D. 5．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 6．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义即切点的坐标，可求的值. 【详解】设直线与函数的切点为，则. 设直线与函数的切点为，则. 由； 由，； 由. 由，所以. 故选：D 7．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可. 【详解】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 二、多选题 8．（2024高三·全国·专题练习）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 【答案】BCD 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论. 三、填空题 10．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案. 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 11．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据导数的几何意义求出切线l的方程，进而求解即可. 【详解】由，， 而，则， 所以切线l的方程为， 令，得， 即l与轴交点的坐标为. 故答案为：. 12．（2024高三·全国·专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，代入原点坐标，根据关于的方程有两不等根由可解. 【详解】，. 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为. 切线过原点，， 整理得. 切线有两条，，解得或， 的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 14．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与曲线相切，则 . 【答案】 【分析】由的导数出发，设出切点坐标，利用导数列方程，由此求得的值. 【详解】由，得，设切点为， 则，，消去得， 函数在上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】先设直线与两曲线切点分别为和，再结合导数几何意义和切点既在切线上又在曲线上即可依次列出关于切点和参量的方程组计算求解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对求导得，所以，即切点， 所以； 对求导得， 所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高三上·山东·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题 18．（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导函数与切线斜率的关系求解； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以,解得. （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，,时，， 所以实数m的取值范围为． 19．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导.令，解得，分析其导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间. （2）求导，由导函数的几何意义得曲线在点处的切线的斜率与曲线在点处的切线的斜率，再由两直线平行的条件得出两边取以为底的对数，可得证. 【详解】（1）由已知可得函数，则， 令，解得. 又，所以， 所以当时，，当时，， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （2）由可得， 所以曲线在点处的斜率为， 由可得 所以曲线在点处的斜率为 因为这两条切线平行，故有 即两边取以为底的对数，得， 所以. 20．（广东省茂名市2024-2025学年高三上学期12月份联考数学试题）已知函数． (1)若，证明：； (2)若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，并求其最小值，即可证得结论成立； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义化简得出，分析可知，可得出，从而可知的取值范围即为函数的值域，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，. （2）设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中， 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$