第09讲 导数中的极值点偏移问题（思维导图+4知识点+五大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第09讲 导数中的极值点偏移问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：极值点偏移：加法型】 【考点二：极值点偏移：减法型】 【考点三：极值点偏移：乘法型】 【考点四：极值点偏移：其他型】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解极值点偏移问题的一般题设形式. 2掌握对称构造法在极值点偏移问题. 一、极值点偏移 1、极值点偏移定义 极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移 2、极值点偏移的原理 函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样 3、极值点偏移的图形定义 ①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则 ②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则 ③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则 二、极值点偏移的判断 根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察 三、答题模板（对称构造） 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 四、其他方法 1、比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 2、对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3、指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 【考点一：极值点偏移：加法型】 一、解答题 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点，求证：. 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【考点二：极值点偏移：减法型】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 3．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 【考点三：极值点偏移：乘法型】 一、解答题 1．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：． 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 【考点四：极值点偏移：其他型】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 4．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 一、多选题 1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 二、解答题 3．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 4．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 6．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 8．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 9．（2024·山东泰安·二模）已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两个极值点，，且，若，证明： （i）； （ii）. 10．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 导数中的极值点偏移问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：极值点偏移：加法型】 【考点二：极值点偏移：减法型】 【考点三：极值点偏移：乘法型】 【考点四：极值点偏移：其他型】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解极值点偏移问题的一般题设形式. 2掌握对称构造法在极值点偏移问题. 一、极值点偏移 1、极值点偏移定义 极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移 2、极值点偏移的原理 函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样 3、极值点偏移的图形定义 ①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则 ②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则 ③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则 二、极值点偏移的判断 根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察 三、答题模板（对称构造） 若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 四、其他方法 1、比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 2、对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3、指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 【考点一：极值点偏移：加法型】 一、解答题 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解； （2）构造函数与，利用导数证得，再利用（1）中结论可得，从而得解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令函数， 代入化简得， 令，求导得， 当时，，即在上单调递减，于是， 则当时，，即， 所以时，， 由题意不妨令，则， 又，所以， 根据（1）知在上单调递增， 而，所以，故得证. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程， （2）构造函数，求导，根据单调性可得，进而 ，构造函数，求导判断单调性，即可求解最值得解. （3）根据在单调递减.证明，即可求证，构造函数 以及，利用导数求解单调性，即可求证. 【详解】（1）， 则，， 故切线方程为，即， （2）， 令， 令， 当在单调递增，且， 当时，， 解集为， 故，进而即， 令，， 当单调递增，当，单调递减， 当时，， ，因此， 故 （3）在内有两个不同零点， 则有两个根，即， 由（2）知，当 在单调递增，单调递减. 故， 欲证，即证， 由于，在单调递减.即，即， 即证，即， 即证即证显然成立， 欲证 即证，即证 即证，即证，即证 令，则， 令， 故在单调递增，且， 在单调递增，，得证 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键. 4．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解； （2）构造函数，利用导数讨论其单调性，并结合即可证明. 【详解】（1）由题意， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又该函数在单调递增，故， 综上可知，的取值范围为 （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，令， 则， 所以在上单调递减，，即， 令，则，故， 又在上单调递增，，所以， 故 【点睛】方法点晴:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略: 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围; 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 【考点二：极值点偏移：减法型】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数可求得的单调区间，并确定极值点，由此可进一步求得极值； （2）根据单调性和极值可确定的范围，利用极值点偏移的证明方法，构造函数，，可证得，，结合不等式的性质可证得结论. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得：或， 当时，；当时，； 的单调递增区间为和，单调递减区间为； 的极大值为，极小值为. （2）由（1）知：，，． 令，， 则； 令，则； 令，则， 在上恒成立，在上单调递增， ， 在上恒成立，在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增，， 对任意恒成立． ，，又，， 在上单调递增，，，即； 令，， 则； 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，．又，， 在上单调递增，且，，； 由得：，，. 【点睛】思路点睛：本题第（1）问用到导数零点九字诀：有没有，在不在，比大小．第（2）问用到第（1）问的两个极值点和，然后两次利用极值点偏移法，得出两个不等式和，再利用这两个不等式巧妙得出所要证明的不等式． 3．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间； （2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证. 【详解】（1），， 其中，， 当时，即，此时恒成立， 函数在区间单调递增， 当时，即或， 当时，在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增， 当时，，得或， 当，或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是，、是方程的两根， 有，， 又的图象与有三个公共点， 故，则， 要证，即证，又， 且函数在上单调递减，即可证， 又，即可证， 令，， 由， 则 恒成立， 故在上单调递增，即， 即恒成立，即得证； ②由，则， 令，， 则 ， 故在上单调递增，即， 即当时，， 由，故，又，故， 由，，函数在上单调递减，故， 即，又由①知，故， 又， 故. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到. 【考点三：极值点偏移：乘法型】 一、解答题 1．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）（i）求出函数及导数，分离参数并构造函数，探讨函数性质即可推理得证；（ii）由（i）中信息，构造函数，探讨函数在上的单调性，推理得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； ③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； ④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数法，从而只需证明，即可求解. 【详解】由题意得，令，则，， 所以在上单调递增，故至多有解； 又因为有两个零点，所以，有两个解， 令，，易得在上递减，在上递增，所以. 此时，两式相除，可得：. 于是，欲证只需证明：， 下证： 因为， 不妨设，则只需证， 构造函数，则， 故在上单调递减，故，即得证， 综上所述：即证. 【点睛】关键点睛：本题通过构造对数不等式证明极值点偏移问题. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数且结合导数求解极值点偏移问题. 【详解】证明：由题意，，令，得， 当，，所以在区间上单调递减， 当，，所以在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值. 所以与交于不同的两点，， 所以不妨设，且， 令，则，代入上式得，得， 所以， 设，则， 所以当时，为增函数，， 所以， 故证：. 【点睛】关键点睛：通过构造函数并结合函数的导数从而求解极值点偏移. 5．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，恒成立，即恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围； （2）方法一：由（1）得，转化为是的两个零点，求导得到单调性，得到，换元后即证，构造，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案； 方法二：先证明引理，当时,,当时, ，变形得到只需证，结合引理，得到，，两式结合证明出答案. 【详解】（1）的定义域为，， 由题意恒成立，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减, ∴在处取得极大值，也是最大值，， 故； （2）证法一：函数有两个极值点，由(1)可知， 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,又因为， 所以， 要证,只需证,只需证， 其中，即证， 即证， 由,设, 则,,则, 设， ， 由(1)知，故, 所以,,即，在上递增， ,故成立,即； 证法二： 先证明引理:当时,,当时, ， 设, ， 所以在上递增,又, 当时,，当时，， 故引理得证， 因为函数有两个极值点，由(1)可知, 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,即， 要证,只需证， 因为，即证， 由引理可得, 化简可得①， 同理， 化简可得②， 由①-②可得 ， 因为，，所以， 即,从而. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 【考点四：极值点偏移：其他型】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分别计算，的导函数，接着分析它们的单调性，求得在时，的最大值为，的最小值为，问题得解； （2）先将转化为，再设，数形结合得到，接着构造函数，利用函数的单调性得到，最后利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）由，， 得，， 当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，的最大值为． 当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为． 所以，故实数的取值范围为． （2）由得，两边取对数并整理， 得，即，即． 由（1）知，函数在上单调递增，在 上单调递减，，（技巧：注意对第（1）问结论的应用） 而，当时，恒成立，不妨设，则． 记，， 则 ，所以函数在上单调递增， 所以，即，， 于是，， 又在上单调递减，因此，即， 所以． 【点睛】利用对称化构造的方法求解极值点偏移问题的“三步曲”： （1）求导，得到函数的单调性、极值情况，作出函数图象，由得到的大致范围． （2）构造辅助函数（若要证，则构造函数；若要证，则构造函数.），限定的范围，求导，判定符号，获得不等式． （3）代入，利用及的单调性即得所证结论． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解. （2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解. 【详解】（1）因为函数的定义域是，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． （2）因为是函的两个零点，由（1）知， 因为，设，则， 当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减，． 又因为，且， 所以，． 首先证明：． 由题意，得，设，则 两式相除，得． 要证，只要证，即证． 只要证，即证． 设，． 因为，所以在上单调递增． 所以，即证得①． 其次证明：．设，． 因为，所以在上单调递减． 所以， 即． 所以②． 由①②可证得． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）利用导数研究函数的零点问题． 4．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 5．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据极小值的定义计算即可； （2）把问题转化为，进而转化为，令，只需证明即可. 【详解】（1）定义域均为， ，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且； 又，令，解得：， 所以在单调递减，在单调递增， 在取极小值，且 所以，解得：. （2）令，因为，所以， 由可得： （1）-（2）得：，所以， 要证：，只要证：， 只要证：， 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只要证：， 令， 所以在上单调递增，所以， 即有成立，所以成立. 【点睛】方法点睛：本地第二问考查极值点偏移问题，难度较大，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 本题使用的解法是对数平均不等式即证明：，称的对数平均数. 一、多选题 1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B，根据函数单调性和最值判断函数变化趋势，进而求出参数范围；对于C，利用对数均值不等式直接判断即可；对于D，利用同构方法进行转化即可. 【详解】对于A，定义域，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 定义域，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，故A正确； 对于B，若方程有唯一实根， 由于当时，，且， 结合已求的单调性和最值可知，或，故B错误； 对于C，因为方程有两个不同的实根，假设，则， 则，即，两式相减得， 即，由对数均值不等式， 则，即得证，故C正确； 对于D，当时，若，则， 即，显然，则， 则成立，故D正确. 故选：ACD 下面补证C选项对数均值不等式： 要证，即证， 设，即证，即证， 令，， 则在单调递增，当时，得证. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、解答题 3．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 4．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分析极值点情况即可得解. （2）由（1）的信息可设，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意； 当时，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点， 所以的取值范围是. （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由，，不妨令， 要证，只证，即证，就证， 令，求导得 ，于是函数在上单调递减，， 而，则，即，又， 因此，显然，又函数在上单调递增，则有， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出函数在实数取不同知值时的极值点个数； （2）由已知可得出，两式相除得到，令，则，则，，得，，分析可得，则． 令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求. 【详解】（1）解：函数的定义域为， 且． ①，，由，可得；由，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此在处取得极大值，故当时，有一个极值点； ②，令，其中，则， 由可得，由可得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故， 由可得，由可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值，故当时，有一个极值点； ③当时，， 令得或，令，由②知， 而，， 令，则， 所以在上单调递减，因此，故， 所以函数在和上各存在唯一的零点，分别为、， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故函数在和处取得极小值，在处取得极大值， 所以当时，有三个极值点． 综上所述，当或时，有一个极值点；当时，有三个极值点． （2）解：因为函数恰有三个极值点、、， 所以由（1）知，，， 由，两式相除得到． 令，则，则，，得，， 因此，所以，则． 令，其中，则， 令，则， 所以在上单调递增，则当时，， 即，故在上单调递增， 所以当时，，故的最大值为． 【点睛】易错点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值点个数，要注意“极值点”与“零点”的区别，在转化为导函数的零点问题时，还应注意函数在极值点附近的单调性的变化，紧扣“极值点”的定义来解题. 6．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解； （2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减．所以， 解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明. 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得； （2）由题意结合导数可得，，即可得， ，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，得到函数，利用导数计算其单调性即可得解. 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题. 8．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； (2)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）求导得到与的单调性，进而分别可得两函数斜率为0的切线方程，根据题意得到方程，求出的值； （2）令可得，由函数单调性可得，结合（1）可得，不妨设，构造差函数，解决极值点偏移问题. 【详解】（1）由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． （2），令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设进行变形，得到再利用导函数进行求解. 9．（2024·山东泰安·二模）已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两个极值点，，且，若，证明： （i）； （ii）. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况； （2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证； （ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论. 【详解】（1）方法一：，. 设，则. 设，则，单调递减. ，当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ， 当时，方程有一解，当时，方程无解； 方法二：设，则. 设，则.单调递增 当时，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，方程有一解. 当时，. 令, 令，则在上单调递增，又 ，则在上单调递减， 在上单调递增，则. 即， 无解，即方程无解. 综上，当时，方程有一解，当时，方程无解． （2）（i）当时，，则， ，是方程的两根. 设，则， 令，解得，在上单调递减，在上单调递增. ，，当时，，，. 由. 令，，，. 等价于. 设，， 则， 单调递增，， ，即，， 综上，； （ii）由（i）知，，. . 由（i）知，， 设，，则. 单调递减，，即. . 设，， 则. 单调递增，又，当时，. ，，即命题得证. 【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论. 10．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性和最值，求实数的取值范围，再结合函数的单调性和零点存在性定理，说明零点的情况； （2）构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，并结合，即可证明； （3）设，并求导，可证明，即可证明，设 ，设，并求导，证明. 【详解】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式有如下方法， 方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 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