第05讲 函数的最值与导数（思维导图+2知识点+五大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第05讲 函数的最值与导数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求不含参数的函数最值】 【考点二：求含参数的函数最值】 【考点三：已知函数的最值求参数】 【考点四：与函数最值有关的恒成立（有解）问题】 【考点五：函数极值、最值的综合应用】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数的最值的概念,了解函数的最值与极值的区别与联系,提升数学抽象、直观想象的核心素养. 2.会用导数求在给定区间上函数的最值,提升数学运算和直观想象素养. 3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题,提升数学建模及数学运算的核心素养. 一、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2、求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 二、恒成立和有解问题 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 4、若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 5、对于任意的，总存在，使得； 6、对于任意的，总存在，使得； 7、若存在，对于任意的，使得； 8、若存在，对于任意的，使得； 9、对于任意的，使得； 10、对于任意的，使得； 11、若存在，总存在，使得 12、若存在，总存在，使得． 【考点一：求不含参数的函数最值】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数，则的最小值是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 6．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，求函数的最小值； 【考点二：求含参数的函数最值】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东佛山·期中）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、解答题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 4．（23-24高二下·山东济南·期末）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【考点三：已知函数的最值求参数】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数，若，且的最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【考点四：与函数最值有关的恒成立（有解）问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数，若恒成立，则 . 三、解答题 5．（23-24高二下·广东阳江·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知. (1)当时，求函数的最值; (2)若，求实数的取值范围. 【考点五：函数极值、最值的综合应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东济宁·期中）若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 2．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 3．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有 A．有唯一零点 B．无最大值 C．在区间上单调递增 D．为的一个极小值点 8．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，则（    ） A．有两个极值点， B．有三个零点 C．点是的对称中心 D．在区间上有最大值，则a的取值范围为 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为0，则（    ） A．0 B． C．1 D．e 4．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 8．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）已知函数，则（   ） A．当时，是上的减函数 B．当时，是的极小值点 C．当时，取到最小值 D．当时，恒成立 三、填空题 9．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为 . 四、解答题 11．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的最小值. 12．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围． 14．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若恒成立，求a的取值范围. 15．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 16．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $