第17讲 二项式定理（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第17讲 二项式定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求型的展开式】 【考点二：二项展开式的逆用】 【考点三：二项展开式中的特定项问题】 【考点四：三项展开式中的特定项问题】 【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.用计数原理分析的展开式，得到二项式定理； 2.用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理。 一、二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 3、对通项公式的两点说明 （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。 二、运用二项式定理的解题策略 1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。 形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。 2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。 三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法 求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（） （1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解； （2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解； （3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解； 四、求形如展开式中特定项的求解方法 1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题； 2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题； 3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。 五、求形如的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出与的二项展开式的通项； 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）； 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 【考点一：求型的展开式】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 【答案】答案见解析 【分析】利用二项展开公式运算即可. 【详解】 ． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】 根据二项式定理直接展开作答. 【详解】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 【答案】 【分析】根据二项式的展开式即可得到答案. 【详解】 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）先利用立方差公式化简式子，再利用二项展开即可得解； （2）将看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解. 【详解】（1） . （2）原式 . 【考点二：二项展开式的逆用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式逆用求解即可. 【详解】因为, 所以. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【答案】 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 三、解答题 3．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 【考点三：二项展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 故选：A 2．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【详解】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 二、填空题 3．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 4．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 【答案】7 【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可. 【详解】由题意知二项式展开式通项公式为， 又因为的系数为84，所以， 所以. 故答案为：7. 5．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】 【分析】根据题意求出的值，利用二项展开式的通项求解即可得到结果. 【详解】由题意得：. 在的二项展开式中，通项为， 由得，该项为，含项的系数为. 故答案为：. 【考点四：三项展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【答案】B 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式可知，或，再结合的展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】的展开式的通项为， 要得到项，必有，所以，所以，或. 当时，，而展开式中的项为， 故中项的系数为； 当时，，而中的常数项为1， 故中项的系数为，所以所求项的系数为. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 3．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（    ） A．24 B．25 C．48 D．49 【答案】D 【分析】利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入通项公式即可运算求解. 【详解】的展开式通项为 ， 令，得满足题意的数组可以是：， 规定， 故所求为. 故选：D. 二、填空题 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】将视作为，再利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 故答案为：. 【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【详解】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 2．（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果. 【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数， 即. 故选：B 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【详解】的展开式的二项式通项为，令，则． 的展开式的二项式通项为， 令，可得． 故项的系数为． 故选：D. 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】展开式的通项为，， 又， 分别令、，分别解得和， 所以的展开式含项的系数为. 故选：C. 一、单选题 1．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式的展开式中常数项为（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入得出答案. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为， 故选:C. 2．（24-25高二上·上海·假期作业）设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】， 故选：C 3．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【详解】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的展开式中常数项为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】将改写成，利用二项展开式的通项公式求出其通项，再按照常数项要求，对进行赋值即可求得. 【详解】对于可写成，故其通项为：，即 , 要求展开式中的常数项，需要x的幂指数为0，即需使，即，当时，；当时，. 故二项展开式中的常数项为： 故选：C 二、填空题 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘法，找到展开式中的项和项即可. 【详解】的展开式中含的项为， 故的展开式中含项的系数为． 故答案为： 7．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】根据题意，展开式中的项为或，令或，可得常数项. 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 8．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 9．（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 【答案】1 【分析】写出的展开式通项公式为，从而根据的系数得到方程，求出. 【详解】的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 则的展开式中的系数为，解得. 故答案为：1 10．（2024·山西朔州·一模）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】先变形为，写出通项得到；再写出的通项，得到，最后把两项系数相乘即可. 【详解】， 通项为， 所以，即， 又通项为，当时，才能得到， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 三、解答题 11．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用二项式展开公式即可得解． 【详解】（1） . （2） . 12．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 二项式定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求型的展开式】 【考点二：二项展开式的逆用】 【考点三：二项展开式中的特定项问题】 【考点四：三项展开式中的特定项问题】 【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.用计数原理分析的展开式，得到二项式定理； 2.用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理。 一、二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 3、对通项公式的两点说明 （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。 二、运用二项式定理的解题策略 1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。 形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。 2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。 三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法 求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（） （1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解； （2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解； （3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解； 四、求形如展开式中特定项的求解方法 1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题； 2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题； 3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。 五、求形如的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出与的二项展开式的通项； 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）； 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 【考点一：求型的展开式】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 【考点二：二项展开式的逆用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 三、解答题 3．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【考点三：二项展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 2．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 4．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 5．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）将个班分别从个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为 . 【考点四：三项展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 2．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 3．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（    ） A．24 B．25 C．48 D．49 二、填空题 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 5．（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 【考点五：几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 2．（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A．200 B．180 C．150 D．120 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·四川南充·期末）二项式的展开式中常数项为（    ） A．6 B．12 C．15 D．30 2．（24-25高二上·上海·假期作业）设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的展开式中常数项为（    ） A． B．15 C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答） 7．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 8．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 9．（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 10．（2024·山西朔州·一模）的展开式中的系数为 ． 三、解答题 11．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 12．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$