第08讲 导数中构造函数的应用（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第08讲 导数中构造函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：构造函数比较大小】 【考点二：构造函数解不等式】 【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】 【考点四：构造函数证明不等式】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解需要构造函数的一般形式. 2.掌握指对同构在写题中的应用. 一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1、同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3、常见的构造函数有 （1）与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （3）对于，构造． 模型11.（1） （2） 【考点一：构造函数比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点二：构造函数解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 【考点四：构造函数证明不等式】 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：． 2．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知函数 在处的切线方程为． (1)求的值; (2)求证：恒成立．(参考数据： 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 5．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·山东威海·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 9．（重庆市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25高二上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 11．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ． 三、解答题 12．（2024高二·全国·专题练习）当时，证明：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 14．（24-25高二上·四川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 15．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明： ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 导数中构造函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：构造函数比较大小】 【考点二：构造函数解不等式】 【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】 【考点四：构造函数证明不等式】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解需要构造函数的一般形式. 2.掌握指对同构在写题中的应用. 一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1、同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3、常见的构造函数有 （1）与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （3）对于，构造． 模型11.（1） （2） 【考点一：构造函数比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个对数值的特点，构造函数，求导得到函数的单调性，利用函数在上的单调性和对数运算性质，化简计算即可比较大小. 【详解】设，函数定义域为，则， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减. 因，且，故，即， 即，则，故. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较，构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，进而可比较的大小，即可得解. 【详解】因为， 所以， 令，则， 所以在上为增函数， 所以，即，所以， 则，即， 综上所述，. 故选：A. 3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，由正弦函数、对数函数性质可得，再构造函数比较的大小. 【详解】由，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，于是，即，因此， 由，得， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：A 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得. 【详解】记，则， 可知在上单调递增，则，即， 可得； 又因为，则，即； 所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小. 【详解】设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以， 又，，所以. 再设，（），因为， 由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 所以. 又，即. 故. 故选：A 【考点二：构造函数解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导得到其单调性，并结合，得到时，，从而求出解集. 【详解】设， 因为， 所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为. 故选：A 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式. 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及讨论即可得出答案． 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,． 故选：B． 5．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，根据导数研究单调性，结合已知将问题化为，再根据的单调性即可求出结果. 【详解】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：构造函数，根据题意，可得其单调性，从而求解不等式. 6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用同构可得，再结合导数讨论新函数的单调性后可得的最小值. 【详解】因为，故， 而为上的增函数，故即，故， 设，则， 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故， 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可. 【详解】已知，由得，， 构造函数则是R上的增函数，则由得：， 即，令， ， 当则单调递减， 当，则单调递增， ∴，则又则. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据可得，构造函数和，求导即可根据函数的单调性求解最值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 设函数，则， 设，由于均为上的减函数，易知在区间内单调递减，且， 故当时，；当时，． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以，故． 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 4．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按分类讨论，构造函数，利用导数探讨单调性转化为恒成立的不等式求解. 【详解】由，得，当时，，当时，， 不等式恒成立，当时，令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增，而当时，， 不等式，即，于是， 因此，恒成立，令，求导得， 则函数在上单调递增，，于是，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果. 【详解】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A 6．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 【答案】D 【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 【详解】由，得， 所以对恒成立， 令，则在上单调递增， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，即 令， 则在上单调递增， 由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 【考点四：构造函数证明不等式】 一、解答题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式. 【详解】令， 则 ， ，，又因为，则恒成立， 当时，，即在上单调递增， ， 即． 2．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知函数 在处的切线方程为． (1)求的值; (2)求证：恒成立．(参考数据： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数几何意义可以求解； （2）利用导数求出函数在上的最小值，构造函数结合单调性求解即可得证. 【详解】（1）已知函数 在x=0处的切线方程为． 由 ； （2） 令 则 恒成立， 所以 在上单调递增． 又 所以 存在唯一的零点， 且满足 ① 当x变化时， f(x)和f'(x)的变化情况如下： x 0 减 极小值 增 所以 将①带入上式，得 令，并构造函数 则有 所以在上单调递增． 所以 即 所以f(x)>0恒成立． 3．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数的最小值，得到最小值大于或等于0即可. （2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可. （3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值. 【详解】（1）设， 则， 由，得；由，得. 所以函数在上递减，在上递增. 所以，所以恒成立. 即恒成立. （2）由（1）得，（当时取“”） 所以. 设， 则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以（当时取“”） 因为，中，“”成立的条件不一致， 所以. （3）由题意可知，， 即， 函数是增函数+增函数，所以单调递增， 所以，即，所以， ， 设，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程两边同构成，根据函数的单调性得到等式，这是解题的关键. 5．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，得出，将问题化为证，构造函数并证明其单调性，得出，即可得出结论； （2）写出表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在中，， 当时，，要证，只需证， 令，则， 令，得， 所以当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由题意及（1）得，，， 在中， ， 令，由题意，在时恒成立， 设，， 则， 令， 当时，， 所以，在上单调递减， 所以，符合题意， 当时，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，且时，，即， 所以在上单调递增，所以，不符合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则， 由题意可得：， 整理可得，即， 又因为在内单调递减，则在内单调递减， 可得，则， 构建，可得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以的最小值为. 故选：B. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】构造，结合题设易知在上为单调递减函数，利用单调性比较函数值大小，即可得答案. 【详解】由题设，即， 构造函数，所以，即在上为单调递减函数， 所以，化简得， 同理，化简得． 故选：D 3．（2024·山东威海·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系，可得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合条件可得，即可求解. 【详解】令，则， 则是偶函数， 又，当时，恒成立， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，且，即，所以，则，所以选项B正确， 当时，，所以选项A和D错误， 当时，，所以选项C错误， 故选：B. 4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】构造同构函数利用的单调性求解参数的最大值. 【详解】正实数满足，则， 所以令，则， 设，，， 易知在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即，又因为， 故，所以， 所以，则，则，令，，， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以故的最小值为. 故选：A 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 6．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导可得为单调递减函数，即可求解. 【详解】由于的定义域为，且， 故， 因此， 因此为单调递减函数，由于，故故， 即， 故选：D 7．（24-25高二上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得. 【详解】设，则， ∵，∴，， 函数在上单调递增，又，∴， 由，可得，即， 又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为. 故选：A． 8．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，进一步比较，由此即可得解. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， ， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解. 9．（重庆市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 【详解】令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 二、填空题 10．（24-25高二上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 11．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先通过对数运算得到，然后构造函数分析出的关系式，由此可将化简为关于的函数，借助的单调性可求出的最小值. 【详解】因为，所以，则， 于是，，所以， 构造函数，且，当时，，所以在上单调递增， 所以，于是， 又，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故，当且仅当，即（舍去）时取到最小值， 所以， 故答案为：． 三、解答题 12．（2024高二·全国·专题练习）当时，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【详解】证明：令， 则，， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即， 所以当时，. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：当时，. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数单调性即可； （2）要证，即证，将指数函数与对数函数分离，即证；构造函数，借助导数及中间函数得证. 【详解】（1）函数， ，令，解得， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，， 要证， 即证，即证. 令函数， 则， 令，解得或， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 则，所以， 故， 即当时，得证. 14．（24-25高二上·四川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可； （2）两个方法，方法一，先将放大到，然后利用导数证明即可；方法二，直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明即可. 【详解】（1）解， 令 得时，，当时，， 故单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， 要证明，则只需证明， 令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， 当时，在区间上单调递减， ，即， 当时，得证. 【方法二】证明：令， ， ， ，当且仅当时，上式等号成立， ， 又当时，在区间上单调递减， ， 当时，得证. 15．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明： 【答案】证明见解析 【分析】法一：消参转化成无参数问题，由，是方程的两根，则是的两根，设，，则，从而，令，可得，利用导数的单调性证明可得； 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数，不妨设，可得，欲证明，即证.即证，即证：，令，构造，利用导数的单调性证明可得； 法三：直接换元构造新函数，由已知可得，设，则，故，即证，令，利用导数的单调性证明可得. 【详解】法一：消参转化成无参数问题： ， 是方程的两根，也是方程的两根， 则是的两根， 设，，则， 从而， 由，， 得，化简的， 设，令，则， 所以，则，则， 故要证，即证， 设，则， 所以在上单调递增，则， 所以，则， 所以，即， 所以 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设， ∵，∴， ∴，欲证明，即证. ∵，∴即证， ∴原命题等价于证明，即证：， 令，构造， 则， 所以在上单调递增，又， ， ，即 法三：直接换元构造新函数： 由已知，得， 设， 则， 则， 故， 要证，即证， 令， 则， 所以在上单调递增，又， ，所以， 所以 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$