14 第一章 空间向量与立体几何 章末重构拓展-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 章末重构拓展 巩固层·知识重构 章末重构拓展 类型1　空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养． 提升层·题型探究 章末重构拓展 【例1】　(1)(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝b，＝c， 则下列选项正确的为(　　) A．＝(a＋b＋c) B．＝(a＋2b＋c) C．＝a＋b＋c D．＝a＋b＋c (2)已知空间直角坐标系中，A(1，1，1)，B(－1，3，2)，C(0，2，1)． ①若，求P的坐标；②求三角形ABC的面积． √ √ √ 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 (1)ABC　[∵P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上， 且CQ∶QA1＝4∶1，又＝c， ∴＝＝(a＋b＋c)， 即(a＋b＋c)，∴A选项正确； ∴＝ ＝(a＋b)＋(b＋c)＝(a＋2b＋c)，即(a＋2b＋c)，∴B选项正确； ∴＋b＋c，即＋b＋c，∴C选项正确； ∴＝＝c，∴D选项错误．故选ABC．] (2)[解]　①设点P(x，y，z)，由于，所以(x－1，y－1，z－1)＝2(－1－x，3－y，2－z)，整理得P． ②由于A(1，1，1)，B(－1，3，2)，C(0，2，1)． 所以＝3，＝， 故cos A＝，由于0＜A＜π，所以sin A＝， 故S△ABC＝． 类型2　利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 【例2】　如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 [证明]　法一：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以，故AB1⊥A1B1． 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC， 得B1C1＝， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2， 连接AC1(图略)，由CC1⊥AC，得AC1＝，所以，故AB1⊥B1C1． 又A1B1∩B1C1＝B1，所以AB1⊥平面A1B1C1． 法二：如图所示，以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，A，A1，B1(1，0，2)，C1，则＝＝，＝． 由＝0，得AB1⊥A1B1． 由＝0，得AB1⊥A1C1． 又A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1． 法三：如法二建立空间直角坐标系，则A，A1，B1，C1，的坐标同法二． 设m＝(x，y，z)是平面A1B1C1的法向量， 则即 令z＝1，得m＝是平面A1B1C1的一个法向量，因为AB1＝2m，所以AB1⊥平面A1B1C1． 类型3　利用空间向量求距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝(如图1)． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为PQ＝(如图2)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 【例3】　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则点D到平面A1BC1的距离为(　　) A．　　　B．　　　C． D． (2)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AD＝AA1＝1． 若空间有一点P满足：＋2，求点P到直线BD的距离． √ 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 (1)D　[设AA1＝h，则＝10，所以4h－h××4＝10，解得h＝3． 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，3)，B(2，2，0)，C1(0，2，3)，所以＝(0，2，－3)，＝(2，0，－3)． 设m＝(x，y，z)是平面A1BC1的法向量，则令z＝2，可得平面A1BC1的一个法向量m＝(3，3，2)． 又＝(2，2，0)，故点D到平面A1BC1的距离为＝＝．故选D．] (2)[解]　因为，所以，所以＝7． 在菱形ABCD中，∠BAD＝60°， 则△ABD为等边三角形，所以BD＝1， 所以＝＝， 则点P到直线BD的距离d＝． 类型4　利用空间向量求空间角 1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性． 2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 【例4】　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，各侧棱及底边BC，DA的长均为a，AB，CD的长为a，记AC与BD的交点为O，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E． (1)求二面角E-AC-D的余弦值； (2)求EO与底面ABCD所成角的大小； (3)求DO与平面EAC所成角的正弦值． 巩固层·知识重构 提升层·题型探究 章末重构拓展 [解]　(1)因为PB∥平面ACE，平面PBD∩平面ACE＝OE，PB⊂平面PBD，所以PB∥OE．又O是BD的中点，所以E是PD的中点．连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，又PA＝PC，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD． 以O为原点，OP所在直线为z轴，过点O平行于 AD的直线为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴， 建立空间直角坐标系，如图所示． 易知A，B，C，D，P，E，则＝． 显然，是平面ACD的一个法向量，设n1＝(x，y，z)是平面ACE的 法向量，则 即 取y＝1，可得平面ACE的一个法向量n1＝(，1，2)， 所以cos 〈n1，〉＝＝． 因为二面角E-AC-D是锐二面角，所以二面角E-AC-D的余弦值为． (2)设EO与底面ABCD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝， 所以EO与底面ABCD所成角的大小为． (3)设DO与平面EAC所成的角为β， 则sin β＝＝， 所以DO与平面EAC所成角的正弦值为． $$