13 第一章 高考命题探源(一)-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 高考命题探源(一) [命题点分析]　高考卷中的对线、面的平行和垂直问题，一般不用向量法求解，但利用向量的坐标运算证明线、面的平行与垂直可以将逻辑推理转化为代数运算，降低思维难度，主要以解答题的形式呈现，难度中等．主要考查直观想象学科素养． 探源1　线面位置关系问题 高考命题探源(一) 【案例1】　(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D √ 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) A　 [在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D， 所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)， ＝(2，2，0)，＝(2，0，2)， ＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，0)， 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则有可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)， 平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误，故选A．] [考题来源]　本考题来源于教材P33练习T3和P43习题1.4T12的综合，高考题和教材习题高度一致，高考题把教材中两个练习题综合起来考查，既考查了平面与平面的垂直，又考查了平面与平面的平行，与教材习题的命题角度一致，难度也基本相当．本题若选择几何法解决，则需利用线面位置关系的判定和性质进行繁杂的论证；选择向量法解决，则只需建立空间直角坐标系，用坐标运算解题即可，体现了向量方法在研究几何问题中的简洁之美． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) [试题评价]　试题以正方体为载体，考查线面位置关系的证明，题目难度一般，属于对基础知识及基本方法的考查，但需要具备逻辑推理、直观想象、数学运算等基本数学素养．由此可见，平时学习时既要重视基本知识点，又要重视数学思想方法，更需要逐步提升自己的数学素养． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) [命题点分析]　直线和平面所成的角是高考的重点，主要以空间几何体为载体考查线面关系及直线和平面所成的角．求直线和平面所成的角一般用向量法，主要以解答题的形式呈现，有时也出现在选择题、填空题中，难度中等．考查直观想象、数学运算素养． 探源2　直线和平面所成的角的问题 高考命题探源(一) 【案例2】　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1． (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2， 求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) [解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1． 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1， ∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1， 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC． (2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝． 建立空间直角坐标系C-xyz如图所示， 则C(0，0，0)，A，BC1， ∴＝＝＝．设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)． 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝． ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为． [考题来源]　本题源于教材P49复习参考题1T14，两者均考查了直线与平面所成的角的问题及利用向量法解决空间几何问题的方法．难度稍高于教材练习题． [试题评价]　试题考查了直线、平面的位置关系，直线与平面所成角的相关问题，题目难度中等，考查向量法解决线面角的正弦值的方法，做题时需要将其转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值求解． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) [命题点分析]　二面角是每年高考的必考考点，主要以空间几何体为载体考查线面关系及二面角．求二面角的大小一般用向量法求解，通过坐标运算实现问题的解决，可以有效避免较复杂的逻辑推理过程，但是向量法往往对学生的运算能力要求较高．试题主要以解答题的形式呈现，难度中等．考查直观想象、数学运算素养． 探源3　平面和平面的夹角(或二面角)的问题 高考命题探源(一) 【案例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) [解]　(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)， 所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)， 所以，所以B2C2∥A2D2． (2)设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)， 所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)， 设平面PA2C2的法向量为a＝(x1，y1，z1)， 所以则 令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)． 设平面A2C2D2的法向量为b＝(x2，y2，z2)， 又＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)， 所以则 令y2＝1，得b＝(1，1，2)． 所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝＝， 整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3， 所以BP＝1或BP＝3，所以B2P＝1． [考题来源]　本题来源于教材P49复习参考题1T11，两题均考查了空间中的位置关系和二面角，难度较教材有所增加． [试题评价]　试题以考生熟悉的正四棱柱为载体，构建空间几何体，使考生感觉到所给的空间图形“似曾相识”不相认，平凡之中赋新意，试题通过考查立体几何中的定理、空间中直线与直线的位置关系、二面角公式的应用以及方程思想，考查考生的直观想象、逻辑推理等学科素养，难度适中． 探源1 探源2 探源3 高考命题探源(一) $$