专题27.3 切线的性质与判定（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（华东师大版）

专题27.3 切线的性质与判定 · 典例分析 【典例1】如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． （1）求证：直线是的切线； （2）当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理和含角的直角三角形的性质，得到；再利用圆的切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接，如图， 为的直径， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ， ． 直线与相切， ， ， ， 为等边三角形， ． 在和中， ， ， ． 同理：， ． ． 由题意：， ， ， 长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． · 学霸必刷 1．（2024·河南·一模）如图，内接于，为的直径，弦交于点F．延长至点E，连接．有下列条件：①；②与相切；③．请从上述三个条件中任选两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明． 【思路点拨】 本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理．条件：②③结论：①，根据切线的性质和圆周角定理，证明，推出；条件：①③结论：②，根据圆周角定理，推出，即可推出与相切；条件：①②结论：③，根据切线的性质和圆周角定理，即可证明． 【解题过程】 解：条件：②与相切，③，结论：①； 证明：∵为的直径， ∴， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件：①，③，结论：②与相切； 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； 条件：①，②与相切，结论：③； 证明：∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【思路点拨】 本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解题过程】 证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 3．（2024·河南濮阳·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，点D是弧上的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的半径． 【思路点拨】 （1）连接，如图，先利用垂径定理得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先根据圆周角定理得到，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）证明：连接， ∵点D是弧的中点， ， ， ， ∴直线与相切； （2）解：设的半径长，则， 是的直径， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的半径长为． 4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径的长． 【思路点拨】 本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【解题过程】 （1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，过点作AD的垂线，交的延长线于点，连接．    （1）若平分，求证：是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【思路点拨】 （1）由平分及，可得，再由，则可证明结论成立； （2）由圆内接四边形的性质可求得的度数；由及是直径，可求得的度数；由是⊙O的切线及可得，进而求得的度数，最后由三角形内角和定理即可求得结果． 【解题过程】 （1）证明：平分， ， ， ， ， ∥， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； （2）解：四边形内接于⊙O， ， ， ， ， ， 是⊙O的直径， ， ， 是⊙O的切线， ， ， ∥， ， ． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 【思路点拨】 （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【解题过程】 （1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：． 7．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案． 【解题过程】 （1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵直线是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． （1）求的半径； （2）求证：与相切． 【思路点拨】 （1）先设的半径为 ，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案； （2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线． 【解题过程】 （1）解：（1）设的半径为 ， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 9．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知是的直径，与相切于点，连接，交于点，弦． （1）求证：点是的中点； （2）求证：是的切线． 【思路点拨】 本题主要考查了垂径定理，切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等： （1）由是直径推出，再由得到，再由垂径定理可得，即点是的中点； （2）先证明，从而，由与相切于点可知，从而得解． 【解题过程】 （1）证明：如图所示，连接， 是直径， ， ， ， ，(垂径定理) 即点是的中点； （2）证明：如图所示，连接， 由（1）知， ∴， ，， ， 与相切于点， ， ∴, 又∵是的半径， 是的切线． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据题意得，根据得，，根据得，则，根据可得，则，根据是的半径，即可得； （2）设的半径为r，由（1）得，，在中，根据勾股定理得，即，进行计算得，可得，即可得，由（1）得，，则，在中，根据勾股定理得，即，进行计算即可得； 【解题过程】 （1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设的半径为r， 由（1）得，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即的长为6． 11．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 【思路点拨】 本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【解题过程】 （1）证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 12．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为，，求的长． 【思路点拨】 （1）如图1，连接，由等边对等角可得，，即，，则，进而结论得证； （2）如图2，连接，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【解题过程】 （1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵以为直径的与相切于点E， ∴，为半径， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． （1）的长为__________； （2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【思路点拨】 本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，证明四边形是矩形，即得得解； （2）过作于，连接，根据垂径定理得出，证明，即可证明为小的半径，证出与小相切． 【解题过程】 （1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （2）解：相切． 证明：过作于，连接， ∵，，， ， ， ， ∴， 即为小的半径， ∴与小相切． 14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．    （1）求的大小； （2）若点F在的延长线上，且，求证：与相切． 【思路点拨】 （1）根据切线的性质，得出，进而求出，，再根据圆周角定理得出答案； （2）根据等腰三角形的判定和性质可得，进而得出，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出即可． 【解题过程】 （1）解：连接，    与相切于点， ，即， ， ， ， ， （2）证明：连接，    ，， ， ， 又， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， 即， ，是半径， 是的切线． 15．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，连接，求证：． 【思路点拨】 （1）连接，先证明，再，得，然后根据，得，得到，根据切线的判定定理得出结论； （2）连接，设，则， 在中，由勾股定理，得，由面积法求出，再由勾股定理，得，再证明是的中位线，得，从而得，即可证得是等腰直角三角形，即由勾股定理得出结论． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接，    是的切线， ， ∴， ∵，O是圆心，是的弦， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即， 是的半径， 是的切线； （2）证明：连接，如图，    设，则， 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴ ∴， 在中，由勾股定理，得， 由（1）得，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理，得． 16．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． （1）求证： 是的切线； （2）若，求长． 【思路点拨】 （1）连接，，根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可得，进而可得，又由于，可得， ，由此可得是的切线． （2）过点D作于Q，由切线的性质可得四边形是矩形， ， ．设，则，，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可． 【解题过程】 （1）连接，， 是的切线， ， 是的直径， ． ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）过点D作于Q， ，，都是的切线， ，， ， ∴四边形是矩形， ，， ． 设，则，，， ∵在中，， ， 解得    ， 即  ． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若． （1）求证：为的切线； （2）如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长． 【思路点拨】 （1）连接，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）设，根据切线长定理可得，过点E作于M，可得，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案． 【解题过程】 （1）证明：连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 过点E作于M，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． （1）求证：； （2）如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理和性质定理，找出全等三角形是解题关键． （1）根据正方形的性质和圆的切线的性质，可证，进而推出，利用“”即可证明； （2）同（1）理可证：，推出，从而得出，证明，得到，进而得到，证明出是的切线，即可得解． 【解题过程】 （1）证明：四边形是正方形， ，， 以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 四边形是正方形， ， 同（1）理可证：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.3 切线的性质与判定 · 典例分析 【典例1】如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足． （1）求证：直线是的切线； （2）当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理和含角的直角三角形的性质，得到；再利用圆的切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接，如图， 为的直径， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ， ． 直线与相切， ， ， ， 为等边三角形， ． 在和中， ， ， ． 同理：， ． ． 由题意：， ， ， 长度为线段长度2倍的所有线段有：，，，． · 学霸必刷 1．（2024·河南·一模）如图，内接于，为的直径，弦交于点F．延长至点E，连接．有下列条件：①；②与相切；③．请从上述三个条件中任选两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 3．（2024·河南濮阳·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，点D是弧上的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的半径． 4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径的长． 5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，过点作AD的垂线，交的延长线于点，连接．    （1）若平分，求证：是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 7．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． （1）求的半径； （2）求证：与相切． 9．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知是的直径，与相切于点，连接，交于点，弦． （1）求证：点是的中点； （2）求证：是的切线． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 11．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 12．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为，，求的长． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． （1）的长为__________； （2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．    （1）求的大小； （2）若点F在的延长线上，且，求证：与相切． 15．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，连接，求证：． 16．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，的直径，和是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与，分别相交于点D，C两点，连接并延长，交点P，． （1）求证： 是的切线； （2）若，求长． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接，若． （1）求证：为的切线； （2）如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长． 18．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． （1）求证：； （2）如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$