精品解析：云南省大理白族自治州大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

大理州民族中学2024-2025学年上学期12月月考 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 记为等差数列的前项和.若，则公差为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 11. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为： B. P，A，B不共线时，面积的最大值为 C. 存在点P，使得 D. 为坐标原点，最小值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若且，则__________. 13. 已知等差数列，则__________. 14. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）求过点圆的切线方程. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 17. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，. （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆方程； （2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 19. 函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间上单调，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）； （2）求函数的“优美区间”； （3）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大理州民族中学2024-2025学年上学期12月月考 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法即可得到答案. 【详解】， 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 记为等差数列的前项和.若，则公差为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式基本量运算即可. 【详解】由等差数列前项和公式：可得： . 故选：A. 5. 圆：与圆：的公共弦的弦长等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交， 联立两圆方程，得， 即公共弦所在直线的方程为， 故圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为：. 故选：D 6. 设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点坐标公式可求得，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果. 【详解】设，，中点横坐标为，则，解得：； . 故选：C. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，，利用双曲线的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【详解】如图所示，因为双曲线关于轴对称， 所以， 由双曲线的定义得：， 由直角三角形得： 所以离心率. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 11. 已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为： B. P，A，B不共线时，面积的最大值为 C. 存在点P，使得 D. 为坐标原点，的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】设，用坐标表示出题设条件化简即得轨迹方程，从而判断A，由椭圆的性质确定三角形面积最大值判断B，利用以为直径的圆与椭圆是否相交判断C，把转化为到直线的距离后，当共线时取得最小值，从而判断D． 【详解】选项A，设，则，平方整理得，即为点轨迹方程，A错； 选项B，由轨迹方程知点轨迹是椭圆，，由于，椭圆的焦点是， 当点为椭圆短轴顶点时，面积最大，此时面积为，B正确； 选项C，由于，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在，使得，C错； 选项D，如图，作，为垂足，则，， 当且仅当共线时，取得最小值4，即的最小值为4，D正确． 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行和垂直关系求解. 【详解】因为直线，且， 所以，解得，经检验成立， 因为直线，且， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知等差数列，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，. 故答案为：8. 14. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，设出圆的一般式方程，列出方程组求解即得. （2）按切线斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求出切线方程. 【小问1详解】 由，解得，即点， 设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由，得点在圆外， 圆的圆心到直线的距离为2，则过点的圆切线方程可以是； 当切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意结合正弦定理得，再转化即可求得，进而可得解. （2）先由高表示面积和正弦定理形式表示的面积得①，接着在和中由正弦定理结合得②，再接着由余弦定理即可计算求出，再由和正弦定理形式面积公式即可计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又 所以，故, 所以，又，所以. 【小问2详解】 由题可得①， 又因为，是的平分线，所以， 因为，所以，所以由正弦定理得②， 又由余弦定理得③， 所以由①②③计算可得， 所以由即得 . 17. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，. （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形， 以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得、、、、， 当时，，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，、平面，所以平面. 【小问2详解】 易知，则， 当时，点，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以， 故当时，求直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求得得标准方程； （2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得，计算即可； （3）设，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程求得点C坐标，同理求得点D坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论． 【小问1详解】 椭圆的长轴长为，离心率为， 则，则，则， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上点关于直线的对称点， 则， 解之得，则， 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或， 当时与点重合，舍去， 则. 【小问3详解】 设，则， 又，则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 令则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 则， ， 由点和点三点共线，可得， 则， 整理得，则. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间上单调，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）； （2）求函数的“优美区间”； （3）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设函数存在“优美区间”，可得，判断方程解的个数，即可得出结论； （2）假设函数存在“优美区间”，可得出，解方程，即可得出结果； （3）分析函数单调性，根据“优美区间”的定义转化为二次方程有两解的问题，利用二次函数的零点分布，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 函数在区间单调递增，若存在“优美区间”，则， 所以，方程有两个不同的实数解，即， 由于，故方程无解， 所以，函数在区间上不存在“优美区间”. 小问2详解】 因为，在上单调递增. 若函数存在“优美区间”，则， 即方程有两解，解得，， 故函数的“优美区间”为. 【小问3详解】 假设函数在上存在“优美区间”是， 因为函数在单调递减，在单调递增. ①若，则，即有两个不相等的非负实数根， 则， 设此时方程两根分别为、，则； ②若，则，即， 所以，即方程有两个不相等的非正实根， 则， 设此时方程两根分别为、，则，即. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$