精品解析：四川省自贡市富顺县富顺第二中学校2024－2025学年八年级上学期12月月考数学试卷

富顺二中2024-2025学年八年级上册第三次月考 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ） A. 30° B. 36° C. 60° D. 72° 4. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的一半 D. 保持不变 5. 下列式子变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 8. 如图，在中，， ，分别是、边上的高且相交于点P，的平分线分别交、于M、N、以下四个结论，①等边三角形；②除了外，还有4个等腰三角形；③；④当时，则．其中正确的结论有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 若式子，则实数x的值是______________． 10. 因式分解：______． 11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 12. 已知，则________． 13. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 14. 如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 _______． 三、解答题（本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. （1）计算：； （2）分解因式：． 16. 先化简，再求值： ，其中，满足． 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 18. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 20. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E､F，连接EF，EF与AD相交于点G．AD与EF垂直吗？证明你的结论． 21. 综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则___________． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 22 如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． （1）若，求的度数； （2）若点F是的中点，求证：． 23. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 24. 如图1，平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 富顺二中2024-2025学年八年级上册第三次月考 满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】沿着一条直线翻折，两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据定义依次判断. 【详解】A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形， 故选：A. 【点睛】此题考查轴对称的定义，正确理解图形的特点是解题的关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、零次幂的运算及完全平方公式，熟知相关运算法则是正确解决本题的关键． 运用积的乘方、同底数幂的乘法、零次幂的运算及完全平方公式的运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，此选项不正确，不符合题意； B． ，此选项不正确，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意； D．，此选项不正确，不符合题意； 故答案为：C. 3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ） A. 30° B. 36° C. 60° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形内角和公式立方程求出n的值，再根据多边形外角和为360度即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∵， ∴该多边形的一个外角是36°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和和外角和，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 4. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小到原来的一半 D. 保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，得： ； 可见新的分式是原分式的4倍； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练应用分式的基本性质． 5. 下列式子变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的运算法则对各选项依次进行判断即可解答． 【详解】A．，故错误； B．，故错误； C．，故正确； D．,故错误；故选C. 【点睛】本题考查分式的变形，解题的关键是正确理解分式的运算法则. 6. 内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据P到A、C两点的距离相等，可知P在AC的垂直平分线上，根据P到C和A到C的距离相等，可知A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上，由此判定即可. 【详解】解：∵P到A、C两点的距离相等 ∴P在AC的垂直平分线上 又∵P到C和A到C的距离相等 ∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上 故选C. 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，解题的关键在于能够熟练掌握垂直平分线的定义. 7. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 8 B. C. D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构求解即可． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴，则或， 故选：D． 8. 如图，在中，， ，分别是、边上的高且相交于点P，的平分线分别交、于M、N、以下四个结论，①等边三角形；②除了外，还有4个等腰三角形；③；④当时，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于、角的平分线的性质求得各个内角的度数可判断①，根据已知条件分别证明为等腰三角形可判断②，利用②的结论可证明可判断③，当时，利用角直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求得，即可判断④，从而可得正确答案． 【详解】解： ， ，分别是，边上的高，， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 的平分线分别交，于，， ， 又， 为等腰三角形， 中，， ， ， ， 为等腰三角形， ， ，， ， 为等边三角形，故①正确； ，， ， ， ， 为等腰三角形； 除了外，为等腰三角形，还有4个等腰三角形，故②正确； ，分别是，边上的高， ， ， ，， ，故③正确； 在直角三角形中， ，， ，在等腰三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定、角的平分线的定义及三角形内角和定理、外角性质；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 若式子，则实数x的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件及利用平方根解方程，熟练掌握分式的值为0的条件为：分式的分子等于0，分母不等于0是解题的关键． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式与平方差公式相结合解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 11. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 12. 已知，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】由已知等式求出和c-a，代入原式进行计算即可． 【详解】解：由a-b=2，a-c=1， 可得：2a-b-c=3，c-a=-1， ∴原式=， 故答案为：10． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接， ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7， 故答案为7． 14. 如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，再由的面积是6可得，从而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得：， ， ，的面积是2， ， ， ， 的面积是6， ， ， ， 故答案为：8． 三、解答题（本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式、单项式乘多项式和分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则计算得出答案； （2）直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式即可． 详解】解：（1）； ； （2） ． 16. 先化简，再求值： ，其中，满足． 【答案】，6 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算先化简代数式，再根据确定x和y的值，代入求值即可． 【详解】解： =4x2-4xy+y2-4x2+y2+3xy-2y2 =． ∵ ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查代数式的化简求值．熟练掌握整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键． 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【小问1详解】 如图，即所求． 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 18. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证即可求证； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， . 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键． 19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）观察日历得出所求等式即可； （2）设最小的一个数为，其他三个分别为，，，验证即可． 【小问1详解】 解：例如：； ； 【小问2详解】 设最小的一个数为，其他三个分别为，，， 则 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E､F，连接EF，EF与AD相交于点G．AD与EF垂直吗？证明你的结论． 【答案】垂直，见解析 【解析】 【分析】利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，得到△AED≌△AFD，可知AE=AF，根据线段垂直平分线性质得出即可． 【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中，， ∴Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE=AF， ∵DE=DF， ∴AD是EF的垂直平分线， ∴AD与EF垂直． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形全等的判定及性质进行解答， 21. 综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则___________． 【知识迁移】（3）将两块全等特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 22. 如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． （1）若，求的度数； （2）若点F是的中点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可； （2）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，，又易证，即得出． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，合理转化角与角之间的关系． 23. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于的一次多项式的特征系数对在第　　象限；关于的二次多项式的特征系数对为　　； （2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值； （3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值． 【答案】（1）二； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，新定义问题，给赋予特殊值是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义即可解答； （2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； （3）根据特征多项式定义先写出多项式，然后再令即可得出答案； 【小问1详解】 解：关于的一次多项式的特征系数对为，在第二象限， 关于的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：二；； 【小问2详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，； 【小问3详解】 解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求的面积； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1） （2） （3）①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． 【小问2详解】 解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图： ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 【小问3详解】 解：①延长，，它们相交于点，如图： 等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图： ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$