专题7.3 解直角三角形的有关的计算（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题7.3 解直角三角形的有关的计算 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【思路点拨】 此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质． （1）过作于点，在中通过，求出即可求解； （2）过作于点，在中通过，求出即可． 【解题过程】 （1）如图，过作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作于点， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，若，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，把沿着翻折得到，若．则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D是内一点，连接．若，，，则的面积是 ． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，于点为上一点，于点，交于点．则 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形中，点、、分别在边、、上，连接、，若，，，则线段的长为 ． 11．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，求． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． （1）求的长； （2）求的长． 14．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂足为D，，求的值． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，． （1）求的值； （2）延长至点，使得，求的长． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． （1）求的长． （2）求的值． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 18．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，为中点，，，是的外接圆． （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）求的半径． 20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 解直角三角形的有关的计算 · 典例分析 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【思路点拨】 此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质． （1）过作于点，在中通过，求出即可求解； （2）过作于点，在中通过，求出即可． 【解题过程】 （1）如图，过作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作于点， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查圆周角定理，解直角三角形，连接，由圆周角定理得到 由勾股定理求出求出，即可得到的值，解题的关键是由圆周角定理得到掌握锐角的正弦定义． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵是圆的直径， ， 故选：C． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，若，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形，构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是正确解决本题的关键． 作于，在和中，可将和用含的函数式表示出来，再根据的长可将点到的距离即的长求出． 【解题过程】 解：作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： C． 3．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【解题过程】 解：过点B作于点F． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴，即 ∴ ∴， ， ． ， ， ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，设，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得，从而得，在中，解直角三角形得，，进而求得即可求得． 【解题过程】 解：过点作垂直于的延长线于点，如下图， ∵等腰直角的斜边为， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，把沿着翻折得到，若．则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、等腰三角形的判定、勾股定理、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键． 根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解． 【解题过程】 解：∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，延长交于， ∴ ，则， ， 过点作，设，则，，   ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 故选：B． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【解题过程】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【解题过程】 解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．   故答案为：． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D是内一点，连接．若，，，则的面积是 ． 【思路点拨】 过点D作于点E，过点B作于点F，，结合，，得到，设设，则，，利用勾股定理，解方程求解即可． 【解题过程】 解：过点D作于点E，过点B作于点F， ∵， ∴， ， ， ∵，，， ∴，，， 设， 则，， 根据题意， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（舍去） ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，于点为上一点，于点，交于点．则 ． 【思路点拨】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．设，由勾股定理得，证明得，证明得，然后根据即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形中，点、、分别在边、、上，连接、，若，，，则线段的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，作于，则，解直角三角形得出，设，则，则，证明四边形、为矩形，得出，，，求出，得出，，再求出，最后由勾股定理即可得解． 【解题过程】 解：如图，作于，则， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理，解直角三角形、相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，正确运用相关性质定理是解题的关键． 过A作于E，用三角函数求出，证，得，进而可得答案． 【解题过程】 解：过A作于E，作于F，与的延长线交于点F， ，， ， ， ，，， 在中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ，得， ， 中，， ， ． 故答案为： 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，求． 【思路点拨】 本题考查了三角函数的运用和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据，求出，设，则，再根据，求出，再利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：∵中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 整理得：，即， 解得：或（舍去） ． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【思路点拨】 （1）由，则，通过，则，求出即可； （2）由，则，通过，则，求出，然后由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 由（）得：， ∴， ∴的长为． 14．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂足为D，，求的值． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．证明得，设，求出，然后根据正切的定义求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 设， 则， ， ． 15．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，． （1）求的值； （2）延长至点，使得，求的长． 【思路点拨】 本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理． （1）过点作的垂线，垂足为，利用等腰三角形性质得到，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【解题过程】 （1）解：过点作的垂线，垂足为， ，， ． 在中，， ∴． （2）解：在中，，即， ， ． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【思路点拨】 （1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【解题过程】 （1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得，即， ∴在中，． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 【思路点拨】 根据的值，可设，在中可得，，根据，利用三角函数的知识求出，然后在中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【解题过程】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴矩形的周长为． 18．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【思路点拨】 本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，为中点，，，是的外接圆． （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）求的半径． 【思路点拨】 （1）证明，得到，即可解答； （2）连接，并延长交于F，连接，证明即可； （3）过点A作，垂足为E，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，．在中，根据勾股定理构造方程，求得，．由得到，根据正弦的定义即可求出，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：，， ． ，即 ，D为中点， ， ∴ ． （2）连接，并延长交于F，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的切线； （3）解：过点A作，垂足为E， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． ∵为的直径， ． ． ， 即的半径为． 20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，C为上一点，过点C作的切线l，过上一点A作直线l的垂线交于点B，垂足为D，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】 （1）连接，由题意可得，，从而得出，，进而得出，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得证； （2）作于，于，于，证明，得出，设，则，，再由等腰三角形的性质可得，再由等面积法求出，再由勾股定理得出，即可得解． 【解题过程】 （1）证明：如图：连接， 由题意可得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于，于，于， 则， 由垂径定理可得：， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$