专题7.2 锐角三角函数与函数综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题7.2 锐角三角函数与函数综合 · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点． （1）求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）求线段的最大值． （3）若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）令，可求出的坐标，令，可求出的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）先表示出点的坐标，再表示出点的坐标，进而表示出的长，最后根据二次函数的性质即可求解； （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时． 【解题过程】 （1）解：令，则， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）根据题意得：， 轴于点，交于点， ， ， ，， 当时，线段有最大值，最大值为：； （3）存在，的值为或． 根据题意得：，，， 分以下三种情况讨论： ①当为对角线时，， 轴于点， ， ， ，， ， ， 解得：（舍去），； ②当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），； ③当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， ， ， ， ， 解得:（舍去）； 综上所述，的值为或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 2．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接、，，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使直线将的面积分成的两部分，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． （1）求出点和点的坐标； （2）如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标； （3）如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值． 4．（2023·山东菏泽·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，两点，，点P是第一象限内抛物线上的一点．    （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点P的坐标； （3）连接，，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与x轴、轴分别相交B，C，抛物线与轴交于点A，点B，且． （1）求和的值． （2）点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为，连接．四边形的面积为S，求S与的函数关系式． （3）点P为抛物线上的一点，连接，当，求P的坐标． 6．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线经过的三个顶点，其中为原点，，，点在线段上运动，点在直线上方的抛物线上，，于点，交于点，平分，，于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 8．（2024·湖南衡阳·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图1，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． （3）如图2，若点G为线段上的动点，过点G作交于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标． 9．（2024·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． （1）求抛物线表达式； （2）点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； （3）抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．    （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点在抛物线上，且在对称轴右侧，若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线通过变换得到顶点为的抛物线，交轴于，两点，，点在第四象限的抛物线上，过点作不平行轴的直线，分别交直线，于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证：． 11．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； （3）将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 12．（2024·重庆·二模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 13．（2024·重庆·一模）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作轴交直线BC于点D，过点D作交x轴于点E，求的最大值，并求此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线，新抛物线交y轴于点G，点H为新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程． 14．（2023·辽宁·二模）已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 15．（2023·江苏淮安·三模）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一动点，作轴，垂足为，连接． ①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标； ②若点在轴左侧时，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出点的坐标． 16．（2023·重庆沙坪坝·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与直线的交点为E．    （1）如图1，求直线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，过点P作x轴的平行线交直线于点H，求周长的最大值和此时P点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，新抛物线与坐标轴y轴交于点M．点D与点C关于x轴对称，连接，将沿直线平移得到．平移过程中，在直线上是否存在点N，使得N，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程． 17．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接．    （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作直线交x轴于点D，过点P作于点E，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点Q，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 锐角三角函数与函数综合 · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点． （1）求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）求线段的最大值． （3）若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）令，可求出的坐标，令，可求出的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）先表示出点的坐标，再表示出点的坐标，进而表示出的长，最后根据二次函数的性质即可求解； （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时． 【解题过程】 （1）解：令，则， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）根据题意得：， 轴于点，交于点， ， ， ，， 当时，线段有最大值，最大值为：； （3）存在，的值为或． 根据题意得：，，， 分以下三种情况讨论： ①当为对角线时，， 轴于点， ， ， ，， ， ， 解得：（舍去），； ②当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），； ③当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， ， ， ， ， 解得:（舍去）； 综上所述，的值为或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 【思路点拨】 （1）由可求出的长，进而可求得点坐标，设二次函数解析式为，将、、三点坐标代入，建立三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）过点作轴于点，设点坐标为（），利用各点坐标可分别求出、、、、的长，根据及三角形的面积公式，即可将四边形的面积用表示出来，将该二次函数化成顶点式，即可求得四边形面积的最大值以及此时的点坐标． 【解题过程】 （1）解：， ， 又， ， ， 设二次函数解析式为， 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点， 将上述三点坐标代入，可得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 点为抛物线第一象限上一动点， 设点坐标为（）， ， ， ， ， ， ， ， 函数图象开口向下， 当时，取得其最大值，最大值为， ， ， 答：点运动到时四边形的面积最大，最大面积为． 2．（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接、，，．    （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使直线将的面积分成的两部分，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）求出，则，由得，，设，由勾股定理可得，可得到，再用待定系数法可得答案； （2）设直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，，，分两种情况：当时，即时；当时，即时，分别进行求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴设抛物线解析式为， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 设，则，， ∴， 当时，即时，，即， ， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 解得或（与重合，舍去）， ∴， 当时，即时， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，的坐标为或． 3．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． （1）求出点和点的坐标； （2）如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标； （3）如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值． 【思路点拨】 （1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，利用二次函数的性质可得结论． 【解题过程】 （1）解：令， 解得或， ； ， 顶点； （2）如图，过点作轴于点， ，， ， ， ， 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ， 设，则，， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为：，将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； （3）点与点关于对称轴对称， ， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ，， 点横坐标为， ，， ， ，， ， ， 当时，的最大值为． 4．（2023·山东菏泽·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，两点，，点P是第一象限内抛物线上的一点．    （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点P的坐标； （3）连接，，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）把已知点坐标代入解析式，构造方程组计算即可． (2) 连接，设点P的坐标为，分别表示三角形的面积列出等式计算即可． (3)作平分交y轴于点M，作于点N，利用角的平分线性质定理，勾股定理，三角函数，解析式构造方程组计算即可． 【解题过程】 （1）∵抛物线经过点，，∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，连接，设点P的坐标为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为． （3）存在，且点P的坐标为．理由如下： 如图2，作平分交y轴于点M，作于点N，则， ∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， 设交y轴于点Q，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得，（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与x轴、轴分别相交B，C，抛物线与轴交于点A，点B，且． （1）求和的值． （2）点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为，连接．四边形的面积为S，求S与的函数关系式． （3）点P为抛物线上的一点，连接，当，求P的坐标． 【思路点拨】 本题是二次函数综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与特殊角度，正切函数等知识点； （1）求出，，再代入计算即可； （2）过作轴于，利用割补法得到，代入求面积即可； （3）由，，可得，，，当且点在轴上方时，即可得到，连接交轴于，过作于，可得 ∴，求出，再求出直线解析式与抛物线联立即可求出；作关于轴对称点，此时，求出直线解析式再与抛物线联立求出． 【解题过程】 （1）解：∵线与x轴、轴分别相交B，C，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入可得， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线解析式为， ∵点P是直线上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为， ∴，且， 过作轴于，则， ∴，，， ∴ ， ∴； （3）解：∵，，， ∴，， ∴，，， 当且点在轴上方时，连接交轴于，过作于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∵， ∴； 作关于轴对称点，此时，直线解析式为， 联立，解得或， ∵， ∴； 综上所述，P的坐标，． 6．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【思路点拨】 （1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【解题过程】 （1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线经过的三个顶点，其中为原点，，，点在线段上运动，点在直线上方的抛物线上，，于点，交于点，平分，，于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； （3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法可得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：（1）设抛物线的解析式为． 将，代入，得， 解得：， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线． 当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3， 则， 即． 如图1，连接、，    由点，得点与点关于原点对称， 点、、三点共线，且为的中点． ， ， ． 平分， ， ， ， 与间的距离为， 点到的距离为． ，， ． 当点运动至抛物线的对称轴上时，的面积为3； （3）解：的值为定值；理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点．    由题意得，， ． ， 在中，， ， ， ，即为等腰直角三角形． 设，则， 在和中， ， ， ， 即， ， ． 又， ， 即， ， ． 的值是定值，定值为． 8．（2024·湖南衡阳·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图1，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． （3）如图2，若点G为线段上的动点，过点G作交于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标． 【思路点拨】 （1）根据题意得到，结合三角函数得到点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可得到其顶点坐标； （2）根据题意得到顶点，进而得到为等腰直角三角形，过点作交于点，结合轴对称性质证明，得到，且有轴，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点，点坐标，根据点P在对称轴上，使得是直角三角形，设，则，，，结合勾股定理逆定理分以下三种情况①当时，②当时，③当时，建立等式，讨论求解，即可解题； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，利用平行的特点设的解析式为，分别得到，，进而根据表示出的表达式，再利用二次函数的最值，得到的最大值，并推出G点坐标． 【解题过程】 （1）解：抛物线与y轴交于点， ， ， ， ，即， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标； （2）解： 时，解得，， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， 过点作交于点， ， ， 由对称的性质可知，， ， ， ， ， 轴， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，有，解得， ，即， ， ， 点P在对称轴上，使得是直角三角形， 设， 则，，， ①当时， 有， 解得或， 的坐标为或； ②当时， 有， 解得， 的坐标为； ③当时， 有， 解得， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为（其中的横坐标范围为）， 联立与，有，解得， 当时，， 即， 当时，有，即， 即， ， ， 当时，有最大值为， 此时，G点坐标为． 9．（2024·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． （1）求抛物线表达式； （2）点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； （3）抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）直接利用待定系数法即可求解析式； （2）先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解． 【解题过程】 （1）解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得： 解得： ∴抛物线的表达式为：． （2）解：如图，过点作于， ∵、， 又∵， ， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， 又∵， ， ， ∴当 时，的最大值为 ∴点的坐标为． （3）如图，当点在的下方时，设与轴的交点为， ∵， ∴点 设直线的解析式为： 把 代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 ， 故点； 当点在的上方时，设与轴的交点为， ∴点 设直线的解析式为： 把 代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 故点 综上所述：点的坐标为 或 ． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．    （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点在抛物线上，且在对称轴右侧，若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线通过变换得到顶点为的抛物线，交轴于，两点，，点在第四象限的抛物线上，过点作不平行轴的直线，分别交直线，于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证：． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，作下方作，使得，过点C作的垂线，交直线于点N，其中点P在抛物线上，过N点作轴于点M，求出，，根据，可得，接着证明，可得，，即有，求出直线的解析式为：，联立：，可得此时点P的坐标为：； （3）设抛物线解析式为：，利用待定系数法可得， 再利用待定系数法可得：，，设P点坐标为：，Q点坐标为：，利用待定系数法可得，联立：，整理，根据直线与抛物线只有一个公共点，，可得方程的，可得，则有，再利用勾股定理可得，问题得证． 【解题过程】 （1）将，代入中，有：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）连接，作下方作，使得，过点C作的垂线，交直线于点N，其中点P在抛物线上，过N点作轴于点M，如图， 当时，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 即， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 又∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：（点B的坐标），或者， 此时点P的坐标为：； （3）∵抛物线经过顶点和点， ∴设抛物线解析式为：， 则有，即， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与x轴的另一个交点， ∵，，， ∴利用待定系数法可得：，， 设P点坐标为：，Q点坐标为：， ∴利用待定系数法可得， 联立：， 整理， ∵直线与抛物线只有一个公共点，， ∴方程的， 化简：， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； （3）将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而得到，，推出，即可求解； （3）根据，，可得，将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位，设平移后的新抛物线的解析式为，将新抛物线经过点代入可得到或，当时，新抛物线的解析式为，则，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；当时，同理可求得点的坐标． 【解题过程】 （1）解：抛物线交轴于点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线交轴于点， ， 设直线的解析式为，将，分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设，则， ， 轴， 点的纵坐标为，代入， 得， 解得：， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，点； （3） ，， ，， ， ， ， 原抛物线的顶点坐标为， 将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位， 平移后的新抛物线的解析式为， 新抛物线经过点时， ， 解得：或， 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， , ， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 则， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 当时，新抛物线的解析式为，则，如图， 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点， 同理可得，直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，符合题意所有点的横坐标为或或或． 12．（2024·重庆·二模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【思路点拨】 （1）根据抛物线与轴交于点，代入解析式求解即可． （2）设直线的解析式为：，确定直线的解析式为：，设，则，，延长交x轴于点E，确定，，得到的周长为 ，借以构造二次函数，用函数思想求最值即可． （3）先运用平移思想确定新抛物线的解析式，后运用分类思想，构造出符合题意的直线，确定直线与抛物线的交点，运用解析式交点法确定坐标即可． 【解题过程】 （1）∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 解方程， 解得， 故． （2）∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， ∴设，则， ∴， 延长交x轴于点E， ∵轴,, ， ∴， ∴， ∴的周长为 ∵， ∴的周长有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， 此时，故点． （3）∵抛物线的解析式为， 设平移后抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， 整理，得抛物线的解析式为， 作于点M， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，且， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 设直线与直线交于点N， 则， 此时， 延长交抛物线于点F， 则， 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 此时 故点； 过点E作，交抛物线于点F， 则； ∵直线的解析式为：， 不妨设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得，， 故点； 综上所述，符合题意的点或． 13．（2024·重庆·一模）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作轴交直线BC于点D，过点D作交x轴于点E，求的最大值，并求此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线，新抛物线交y轴于点G，点H为新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法把点，点代入抛物线，确定解析式即可． （2）先求得直线的解析式，设，则，求得，结合，利用两点间距离公式和点的位置求得，结合三角形函数求得，构造二次函数计算即可． （3）利用平移思想确定新的抛物线解析式，在结合分类讨论思想求得对应点的坐标即可． 【解题过程】 （1）把点，点，代入抛物线， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵,, 设点，则， 解得， 故； 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则 ∵，， ∴，， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， 此时，， 故． （3）∵， ∴先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线的解析式为： ， ∴， ∴点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故过点A作，交于点， ∴； ∵直线的解析式为：． 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点的横坐标为， 过点B作于点M， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 延长到点N使，连接， 则直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴； 点A作，交于点， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 过点N作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得． ∴直线的解析式为：， ∵， 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点的横坐标为， 综上所述，符合题意的点H的横坐标为或． 14．（2023·辽宁·二模）已知抛物线，直线与y轴交于A，与x轴交于B．抛物线过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M为抛物线第一象限一点，．若，求点M的横坐标； （3）如图2，，点P为中点，，且点E的横坐标为．，，作点A关于x轴的对称点F，，连接，．请直接写出的最小值（结果无需化简） ． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角函数的计算，解方程组，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键． （1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）先证明，过点O作于点E，交的延长线于点G，确定点G的坐标，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，求得x的值即可． （3）以点E为中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H，证明,，作交于点I，证明,得到，利用三角形不等式计算即可． 【解题过程】 （1）∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， 把，点分别代入解析式， 得， 解得，故抛物线的解析式为． （2）∵直线与y轴交于A，与x轴交于B， ∴，点， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点O作于点E，交的延长线于点G， ∵ ∴， ∴， 过点E作于点F， 则 ，， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点M的横坐标为． （3）以点E为旋转中心，将顺时针旋转到，过点P作于点P，交于点H， ∵，点，点P为中点， ∴，, ∵，且点E的横坐标为,, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴,， ∵， ∴轴, ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 作交于点I， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，最小， ∵点A关于x轴的对称点F，且， ∴ ∵， ∴， 的最小值， 故答案为：． 15．（2023·江苏淮安·三模）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一动点，作轴，垂足为，连接． ①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标； ②若点在轴左侧时，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出点的坐标． 【思路点拨】 （1）把点，代入，即可求解； （2）①设，过点作于点，求出，根据，列出方程求出的值即可； ②过点作轴于点，先求出直线的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解． 【解题过程】 （1）解：把点，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：①设，过点作于点，如图，      ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（不合题意，舍去） ∴ ∴； ②如图，过点作轴于点，    令，， 解得： 舍去， 点，， ， ， 设直线的解析式为， 把点，，，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 点关于直线的对称点落在轴上时， ，，， 轴， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 轴， ， ， 设点，则点， 当点在轴左侧时，， 当时，， ， ， 解得：或舍去， 点的坐标为； 当点在轴左侧，x轴上方时，， 当时，， ，解得：或舍去， 点的坐标为 当点在轴右侧，即时，，， ，解得：或， 不符合题意，舍去； 综上所述，点的坐标为或． 16．（2023·重庆沙坪坝·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与直线的交点为E．    （1）如图1，求直线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，过点P作x轴的平行线交直线于点H，求周长的最大值和此时P点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，新抛物线与坐标轴y轴交于点M．点D与点C关于x轴对称，连接，将沿直线平移得到．平移过程中，在直线上是否存在点N，使得N，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出N点的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程． 【思路点拨】 （1）根据抛物线解析式，确定A、B、C的坐标，再利用待定系数法确定解析式即可． （2）根据，得到，继而得到，得到周长等于，设点，则，确定，根据二次函数最值计算即可． （3）根据抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，结合，得到即将，为向左平移个单位长，再向上平移2个单位长，得到，整理得到如下解析式： 确定M的坐标，从而确定直线的解析式， 根据得到，设平移变换为向右平移个单位长，再向上平移个单位长，根据确定，分情况讨论：是菱形的对角线，是菱形的边，分别解题，得到N的坐标，代入直线的解析式确定t即可． 【解题过程】 （1）∵，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 令， ∴， 解得； 令， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴周长等于， ∵， 设点，则， ∴， 故当时，取得最大值，且最大值为， 此时，， 故周长的最大值为，此时P点的坐标是． （3）∵抛物线沿射线方向平移4个单位得到新抛物线，， ∴即将，为向左平移个单位长，再向上平移2个单位长，得到， 整理得， ∴M的坐标为， ∵直线的解析式为，抛物线的顶点坐标为， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． ∵，    ∴，设平移变换为向右平移个单位长，再向上平移个单位长， ∵， ∴， 当是菱形的对角线时， ∵菱形的对角线互相垂直平分，轴，， ∴轴， ∴对角线交点坐标为，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当是菱形的边时，如图，则 轴， ∴点坐标为, 把代入解得：， ∴； 当是菱形的边时，如图，则 轴， ∴点坐标为, 把代入解得：， ∴； 综上所述：点坐标为或或 17．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）设抛物线解析式为，将代入，得：，解得，即可求出抛物线解析式为； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式为，证明，得出，，即可解得； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设，且， 在中， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值是； （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ∵点F是的中点，，，， ∴， ∴，，， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立方程组，得 解得：，（不合题意，舍去） ∴D的横坐标为： ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立方程组，得 解得：解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为： ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 18．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接．    （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作直线交x轴于点D，过点P作于点E，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点Q，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【思路点拨】 （1）把点点和点的坐标代入求出a、b的值即可解答； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，如图1，过点P作轴交于F，过点A作轴交于G，设，则， ，可证得，求得，证明四边形是平行四边形，再证明，可得，表示出关于t的函数关系，再运用二次函数的性质，求出的最大值及此时点的坐标即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，如图2，过点Q作轴交y轴于J，过点P作轴于S，根据三角函数定义可得，过点C作AC的垂线，在该垂线上分别截取，使或，分别过点L、T作y轴的垂线，垂足分别为K、N；再证得，可得，根据图形与坐标得出点的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式为，联立解析式求解即可；同理求得另一种情况． 【解题过程】 （1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，把代入， 得，解得：， ∴直线的解析式为， 在中，， ∴， 如图1，过点P作轴交于F，过点A作轴交于G， 则，    设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：由，可得原抛物线的顶点为， 将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 如图2，过点Q作轴交y轴于J，过点P作轴于S， 则，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作AC的垂线，在该垂线上分别截取，使或， 分别过点L、T作y轴的垂线，垂足分别为K、N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为y＝k1x+b1，把代入， 得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，整理得， ∴或（舍去）； 同理可得，直线的解析式为， 联立方程组得，整理得， ∴或（舍去）． 综上所述，所有符合条件的点M的横坐标为或． 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $$